11. Sınıf Matematik Trigonometrik Fonksiyonlar ve Nitel Özellikleri Konu Anlatımı

Rehberli anlatımda söylenen yönlendirmeler dâhil tam metin. Düşünme araları sessizdir.

1. Giriş

   Konuya başlayalım. Trigonometrik fonksiyonlar birim çemberdeki yönlü açıyı sayı değerine dönüştürür ve periyodik değişimleri modellemek için kullanılır. Sinüs ve kosinüs tüm gerçek sayılarda tanımlı ve sınırlıyken tanjant ile kotanjant belirli noktalarda tanımsızdır. Referans fonksiyonların periyot, simetri, sıfır ve görüntü özellikleri bilindiğinde k·f(mx-r)+s biçimindeki geniş bir aile yalnız katsayılar okunarak çözümlenebilir. Dönüşümlerde yatay ve düşey etkilerin karıştırılmaması için içerideki ve dışarıdaki katsayılar ayrı incelenmelidir.

2. Ayrıntılı anlatım

   Birim çember ve referans fonksiyonlar. Birim çemberde açının bitim noktasının x koordinatı cos x, y koordinatı sin x’tir. Bu nedenle sinüs ve kosinüsün görüntü kümesi [-1,1], tanım kümesi gerçek sayılardır. tan x=sin x/cos x olduğundan cos x=0, yani x=π/2+kπ noktalarında tanjant tanımsızdır. cot x=cos x/sin x olduğundan x=kπ noktalarında kotanjant tanımsızdır. Bu tanım kısıtları işlem boyunca korunur. Periyot ve sıfırlar. Sinüs ve kosinüsün temel periyodu 2π, tanjant ve kotanjantın temel periyodu π’dir. sin x sıfırları x=kπ, cos x sıfırları x=π/2+kπ biçimindedir. tan x sıfırları x=kπ, cot x sıfırları x=π/2+kπ olur; tanımsız noktalar sıfır sayılmaz. f(mx) biçiminde temel periyot sinüs-kosinüs için 2π/|m|, tanjant-kotanjant için π/|m| olarak değişir. Teklik, çiftlik ve işaret. sin(-x)=-sin x olduğundan sinüs tek; cos(-x)=cos x olduğundan kosinüs çifttir. Tanjant ve kotanjant da tek fonksiyonlardır. Bu özellikler orijine veya y eksenine göre simetriyi açıklar. İşaret birim çember bölgelerinden belirlenir: sinüs üst yarıda, kosinüs sağ yarıda pozitiftir. Tanjant sinüs ve kosinüs aynı işaretliyken pozitiftir. Dönüşümler bu simetrileri değiştirebilir. Düşey dönüşümler. g(x)=k·sin x+s fonksiyonunda |k| orta doğruya göre genliktir; görüntü kümesi [s-|k|, s+|k|] olur. k negatifse değerler orta doğruya göre yansır. s, grafiği düşeyde taşır ve orta doğruyu y=s yapar. Örneğin g(x)=-3cos x+2 için görüntü [-1,5], maksimum 5, minimum -1’dir. Genlik kavramı sınırsız tanjant ve kotanjant için kullanılmaz. Yatay ölçek ve faz. g(x)=f(mx-r) ifadesi f(m(x-r/m)) olarak okunabilir. |m| büyüdükçe grafik yatayda sıkışır ve periyot küçülür. r/m faz kaymasını belirler; yalnız r’ye bakmak hatalıdır. sin(2x-π)=sin(2(x-π/2)) olduğundan sağa π/2 kayma vardır. Sıfırlar için içerideki ifade referans sıfırlarına eşitlenir ve tanım kısıtları ayrıca denetlenir. Nitel özellikleri sistemli çıkarma. Bir fonksiyon incelenirken önce referans türü, sonra tanım kümesi, periyot, orta doğru, görüntü ve sıfırlar sırasıyla bulunur. Maksimum-minimum yalnız sınırlı sinüs ve kosinüs ailelerinde vardır. Teklik-çiftlik yatay öteleme varsa çoğu zaman kaybolur; doğrudan g(-x) hesabıyla kontrol edilir. Bir cebirsel sonucun doğruluğu özel açılarla test edilebilir: x=0, π/2 ve π değerleri işaret veya öteleme hatalarını hızlıca ortaya çıkarır. Dönüşüm sırasını okuma. g(x)=k·f(mx-r)+s fonksiyonunda önce içteki mx-r ifadesi, sonra referans f, ardından k ile düşey ölçek ve en son s ile öteleme düşünülür. Yatay öteleme r değil r/m’dir; çünkü iç ifade m(x-r/m) biçimine ayrılır. Birden çok katsayıyı tek adımda yorumlamak, özellikle periyot ve fazı karıştırır. Her dönüşümün hangi özelliği değiştirdiği ayrı bir satırda yazılabilir. Cebirsel ve sayısal doğrulama. Periyot T adayı için g(x+T)=g(x) eşitliği cebirsel olarak sınanır. Görüntü aralığı için sinüs veya kosinüsün eksi bir ile bir arasındaki değerleri dış katsayı ve sabitle dönüştürülür. Sıfırlar doğrudan iç ifadeyi referans sıfırlarına eşitleyerek bulunur. Sonuçlar x=0, π/2, π gibi kolay değerlerle kontrol edildiğinde yansıma ve işaret hataları görünür hâle gelir. Grafik okuma ve işlem defteri. Bir trigonometrik grafiği doğrulamak için orta doğru, maksimum, minimum, ardışık iki tekrar arasındaki uzaklık ve seçilen bir sıfır birlikte kaydedilir. Örneğin 3sin(2x)+1 için orta doğru y=1, genlik 3, görüntü [-2,4] ve periyot π olur. x=0 değeri grafiğin orta doğrudan geçtiğini doğrular. Bu özelliklerden biri cebirsel kuralla uyuşmuyorsa faz, dış katsayı veya düşey öteleme yeniden incelenir. Tanjantta genlik aranmaz; bunun yerine periyot, sıfırlar ve tanımsızlık doğruları kaydedilir. Böyle bir işlem defteri, yalnız çizimin görünüşüne güvenmek yerine her grafik kararını ölçülebilir bir özelliğe bağlar.

3. Sık sorulanlar

   Sık sorulan sorular. Soru: Sinüs ve kosinüs fonksiyonlarının görüntü kümesi nedir? Cevap: Birim çember koordinatları oldukları için her ikisinin görüntü kümesi kapalı [-1,1] aralığıdır. Soru: Tanjant fonksiyonu hangi noktalarda tanımsızdır? Cevap: Paydadaki kosinüsün sıfır olduğu x=π/2+kπ, k tam sayı noktalarında tanımsızdır. Soru: sin(mx) fonksiyonunun temel periyodu nasıl bulunur? Cevap: Sinüsün 2π olan temel periyodu |m| değerine bölünür ve 2π/|m| elde edilir. Soru: k·sin x+s fonksiyonunda genlik ve orta doğru nedir? Cevap: Genlik |k|, orta doğru y=s ve görüntü kümesi [s-|k|,s+|k|] olur. Soru: Yatay öteleme miktarı neden yalnız r değildir? Cevap: mx-r ifadesi m(x-r/m) olduğundan gerçek yatay öteleme r/m ile belirlenir.

4. Bölüm 4

   Şimdi öğrendiğini dene. Kısa testi çöz; her seçenekteki açıklamayla doğru yöntemi pekiştir. Teste başla.