11. Sınıf Matematik: Dörtgenlerde Yükseklik, Köşegen ve Bileşik Alan

Rehberli anlatımda söylenen yönlendirmeler dâhil tam metin. Düşünme araları sessizdir.

1. Giriş

   Konuya başlayalım. Bir dörtgenin alanını bulmak için yalnız kenarlarını tanımak yeterli olmayabilir; yüksekliğin hangi tabana ait olduğunu ve köşegenlerin hangi özellikleri taşıdığını da bilmek gerekir. Bu derste dışbükey paralelkenar, yamuk, dikdörtgen ve eşkenar dörtgen üzerinde çalışacak, birleşik boyalı veya boyasız bölgeleri parçalara ayıracaksın. Önkoşullar dik uzaklık, üçgen alanı, Pisagor ve temel dörtgen özellikleridir. Çizimde eğik görünen bir kenarı otomatik olarak yükseklik seçme. Önce şeklin türünü gerekçelendir, sonra gereken yardımcı doğruyu belirle ve en son hesap yap. Uzunluk ile alan birimlerinin farklı olması, sonuç kontrolünün önemli bir parçasıdır.

2. Ayrıntılı anlatım

   Önkoşul: alan formülünden önce doğru yüksekliği seç. Paralelkenarın alanı A = b·h biçimindedir; “seçilen taban çarpı o tabana ait dik yükseklik” diye okunur. b taban uzunluğu, h ise iki paralel kenar arasındaki dik uzaklıktır. Eğik yan kenar ile yüksekliğin aynı olması gerekmez. Tabanı on iki, yan kenarı on ve bu tabana yüksekliği sekiz santimetre olan bir paralelkenarın alanı 12·8 = 96 santimetrekaredir. On ikiyle onu çarpmak alanı yüz yirmi yapar, fakat aradaki açı dik değilse bu işlem uygun değildir. Aynı paralelkenarda on santimetrelik kenarı taban seçersek yeni yükseklik 96/10 = 9,6 santimetredir. Alan değişmez, fakat taban değiştiğinde ona ait yükseklik değişebilir. Bu iki hesabın aynı alanı vermesi eşleştirme kontrolüdür. Yükseklik, gerekirse tabanın uzantısına indirilebilir; dik uzaklık düşüncesi yine korunur. Bu dersteki şekiller dışbükeydir: içlerinde bir çöküklük bulunmaz ve köşegenleri şeklin içinde kalır. Özel dörtgenlerin bazı özellikleri ortaktır, fakat her paralelkenar dikdörtgen değildir. Formül seçerken şeklin sahip olmadığı bir diklik veya eşitlik özelliğini çizimden tahmin ederek eklememelisin. Verilen bilgi, yardımcı çizgi ve hesaplanan sonuç birbirine açıkça bağlanmalıdır. İşlenmiş örnekler: yamuk alanı ve dikdörtgen köşegeni. Paralel tabanları on sekiz ve on, yüksekliği altı santimetre olan bir yamuğun alanını hesapla. A = (a+b)h/2 bağıntısı “paralel tabanların toplamı çarpı yükseklik, bölü iki” diye okunur. Yerine yazınca A = (18+10)·6/2 = 84 santimetrekare olur. İki tabanın ortalaması on dört olduğu için aynı işlem 14·6 biçiminde de görülebilir. İkizkenar yerleşimli bu örneği bir dikdörtgen ve iki yan üçgene ayırırsan ortadaki alan altmış, iki üçgenin toplamı yirmi dört olur; toplam yine seksen dörttür. Dikdörtgende köşegen ve iki komşu kenar bir dik üçgen oluşturur. Köşegeni on üç, bir kenarı beş santimetre olan dikdörtgende diğer kenara x diyelim. x^2+5^2 = 13^2, yani x^2 = 169−25 = 144 olur. Uzunluk pozitif olduğundan x = 12 bulunur. Alan 5·12 = 60 santimetrekare, çevre 2(5+12) = 34 santimetredir. Alan yerine köşegenle kenarı çarpmak, köşegenin dikdörtgen yüksekliği olmadığını gözden kaçırır. Aynı veriden birden fazla büyüklük hesaplanabilir; sorunun alan mı, çevre mi, bilinmeyen kenar mı istediğini ayır. Sonuçları kontrol ederken köşegenin her bir kenardan uzun olduğunu da görebilirsin. Yanılgı denetimi: eşkenar dörtgende yarım köşegenleri kullan. Eşkenar dörtgenin köşegenleri birbirini dik keser ve ortalar. Uzunlukları on altı ile on iki santimetre olsun. Oluşan dört dik üçgenin dik kenarları sekiz ve altıdır. Alan her üçgen için 8·6/2 = 24, dört üçgenin toplamı doksan altı santimetrekaredir. Kısa formül A = d_1d_2/2 aynı sonucu verir: 16·12/2 = 96. Bu formülün gerekçesi dik kesişme ve yarıya bölünme bilgisidir; yalnız dört kenarlı olması bir şekle aynı özelliği kazandırmaz. Bir kenarı bulmak için sekiz ve altının oluşturduğu dik üçgende Pisagor uygula. Kenar uzunluğu √(64+36) = 10, çevre kırk santimetre olur. Köşegenlerin tamamını dik kenar sayarsan √(256+144) = 20 bulursun; bu gerçek kenarın iki katıdır. Hatanın kaynağı karekök hesabı değil, köşegenlerin kesişimde ikiye ayrıldığını unutmandır. Ayrıca köşegenler eşit olmak zorunda değildir; eşkenar dörtgen adı kenarların eşitliğini söyler. Kare özel bir eşkenar dörtgendir, fakat her eşkenar dörtgen kare değildir. Soruda kare olduğu belirtilmedikçe dik açı veya eşit köşegen varsayımı yapma. Alanı dört üçgenle, çevreyi tek kenarla yeniden kurmak iki sonucu birbirinden bağımsız denetlemene yardım eder. Transfer: boyasız parçalar ve ikizkenar yamuk yüksekliği. Yirmi metreye on dört metre boyutundaki dikdörtgen bir panoda birbirine değmeyen iki boyasız bölge bulunsun. Birincisi altıya dört metrelik dikdörtgen, ikincisi tabanı sekiz ve yüksekliği beş metrelik üçgen olsun. Boyasız alanlar 6·4 = 24 ve 8·5/2 = 20 metrekaredir; toplam boyasız alan kırk dörttür. Panonun tamamı 20·14 = 280 metrekare olduğundan boyalı alan 280−44 = 236 metrekare olur. Bölgelerin üst üste binmemesi toplama için gerekli bilgidir. Çakışma olsaydı ortak bölgeyi iki kez saymamak gerekirdi. Soru boyasız kısmı istiyorsa iki yüz otuz altı değil, kırk dört cevabı seçilir. İkizkenar bir yamuğun tabanları yirmi iki ve on, eş yan kenarları on santimetre olsun. Üst tabanın uçlarından alt tabana dikmeler indirildiğinde kenarlarda iki eş dik üçgen oluşur. Taban farkı on ikidir; simetri nedeniyle her üçgenin yatay dik kenarı altı olur. Yüksekliğe h dersek h^2+6^2 = 10^2, yani h^2 = 64 ve h = 8 bulunur. Alan (22+10)·8/2 = 128 santimetrekaredir. Taban farkının tamamını tek üçgene vermek yanlış yükseklik üretir. Önce ikizkenarlığın sağladığı eş paylaşımı kullanmak, sonra Pisagor ve alan hesabına geçmek gerekir. Böylece yardımcı çizginin neden seçildiği de anlaşılır. Kontrol ve çıkış ödevi: parçaları yeniden birleştir. Bir alan çözümünde her parçayı bir kez saydığını, çıkarılan bölgelerin bütünün içinde kaldığını ve bütün yüksekliklerin ilgili tabanlara dik olduğunu denetle. Alanın birimi uzunluğun karesidir; çevreyle aynı birimde yazılamaz. Bir kenarı Pisagor ile bulduğunda sonucu dik üçgene geri yerleştir. Yamukta kullanılan iki uzunluğun gerçekten paralel tabanlar, eşkenar dörtgende kullanılan iki uzunluğun gerçekten köşegenler olduğunu açıkça belirt. Şekillerin adlarını doğru bilmek kadar formüldeki her değişkeni çizimde doğru yere bağlamak önemlidir. Çıkış ödevinde tabanı dokuz santimetre ve alanı altmış üç santimetrekare olan paralelkenarın yüksekliğini bul; sonuç yedidir. İkinci soruda tabanları on dört ile sekiz, alanı elli beş olan yamuğun yüksekliğini hesapla. 55 = (14+8)h/2 eşitliği 55 = 11h verir ve yükseklik beş bulunur. Son soruda köşegeni on yedi, bir kenarı sekiz olan dikdörtgende diğer kenarı ve alanı bul. Kalan kenarın karesi 289−64 = 225 olduğundan kenar on beş, alan yüz yirmidir. Her örnekte başka bir makul görünen yanlışı da açıkla: yan kenarı yükseklik almak, iki tabanı çarpmak veya köşegeni kenar sanmak hangi bilgiyi ihlal eder? Bu gerekçe, yalnız sayı bulmaktan şeklin yapısını kullanmaya geçişi gösterir.

3. Sık sorulanlar

   Sık sorulan sorular. Soru: Paralelkenarın yan kenarı ne zaman yükseklik yerine kullanılamaz? Cevap: Seçilen tabana dik değilse kullanılamaz. Alan için iki paralel kenar arasındaki dik uzaklık gerekir. Eğik kenar daha uzun olabilir ve onunla çarpmak gerçek alanı büyütebilir. Soru: Yamuk alanında hangi iki kenar toplanır? Cevap: Birbirine paralel iki taban toplanır. Bu toplam dik yükseklikle çarpılıp ikiye bölünür. Yan kenarlar aynı formülde tabanların yerine geçirilemez. Soru: Eşkenar dörtgenin kenarını bulurken neden köşegenlerin yarısını alırım? Cevap: Köşegenler birbirini ortaladığından oluşan dik üçgende dik kenarlar tam köşegenler değil yarımlarıdır. Bir kenar bu küçük dik üçgenin hipotenüsüdür. Tam uzunlukları kullanmak sonucu iki katına çıkarır. Soru: Boyasız iki bölgenin alanını doğrudan toplamak için hangi koşul gerekir? Cevap: Bölgelerin ortak alanı olmamalıdır. Çakışıyorlarsa ortak kısım doğrudan toplamda iki kez sayılır. Boyalı alan isteniyorsa doğru hesaplanan boyasız toplam, bütün alandan çıkarılır. Soru: İkizkenar yamukta taban farkını neden ikiye bölerim? Cevap: Kısa tabanın uçlarından uzun tabana dikmeler indirildiğinde simetrik iki dik üçgen oluşur. Tabanlar arasındaki fark bu iki üçgenin yatay kenarları arasında eşit paylaşılır. Eşit paylaşım ikizkenarlık koşuluna dayanır.

4. Bölüm 4

   Şimdi öğrendiğini dene. Kısa testi çöz; her seçenekteki açıklamayla doğru yöntemi pekiştir. Teste başla.