11. Sınıf Matematik Dörtgenler ve Özel Dörtgenler Konu Anlatımı

Rehberli anlatımda söylenen yönlendirmeler dâhil tam metin. Düşünme araları sessizdir.

1. Giriş

   Konuya başlayalım. Dörtgenler, dört kenarlı kapalı şekiller olmanın ötesinde güçlü bir sınıflandırma ağı oluşturur. Paralellik, kenar eşitliği, dik açı, köşegenlerin uzunluğu ve kesişme biçimi bir dörtgenin hangi özel ailelere ait olduğunu belirler. Kare hem dikdörtgen hem eşkenar dörtgendir; fakat her dikdörtgen kare değildir. Bu ilişkileri ezber listesi olarak değil, gerekli ve yeterli koşullar üzerinden görmek geometri problemlerini kısaltır. Alan ve açı bağıntıları üçgenlere ayırma, paralel doğrular ve simetriyle gerekçelendirilebilir.

2. Ayrıntılı anlatım

   Dörtgenin açı ve köşegen yapısı. Her dışbükey dörtgen bir köşegeniyle iki üçgene ayrılır; bu yüzden iç açılar toplamı 2·180°=360° olur. Dört köşe arasından komşu olmayanları birleştiren iki köşegen vardır. İçbükey dörtgende de yönlü düşünme korunur fakat köşegenlerden biri şeklin dışında kalabilir. Açı toplamı bilgisi tek başına özel türü belirlemez; paralellik ve kenar koşulları ayrıca incelenmelidir. Yamuk ve paralelkenar. En az bir çift karşı kenarı paralel dörtgen yamuktur. Paralel kenarlara taban denir. Orta taban uzunluğu iki tabanın aritmetik ortalamasıdır: (a+b)/2. Alan, tabanlar toplamının yükseklikle çarpımının yarısıdır. Paralelkenarda iki çift karşı kenar paraleldir; karşı kenarlar ve karşı açılar eşit, ardışık açılar bütünlerdir. Köşegenler birbirini ortalar. Alan herhangi bir kenar ile o kenara ait yüksekliğin çarpımıdır. Dikdörtgen ve eşkenar dörtgen. Dikdörtgen, dört açısı 90° olan paralelkenardır. Paralelkenar özelliklerine ek olarak köşegenleri eşit uzunluktadır. Eşkenar dörtgen, dört kenarı eşit paralelkenardır; köşegenleri birbirini dik keser ve köşe açılarını ortalar, fakat genel durumda uzunlukları eşit değildir. Alanı taban-yükseklikle veya köşegenler çarpımının yarısıyla hesaplanabilir. Köşegen özelliklerinin tersleri kullanılırken hangi ek koşulların gerektiği dikkatle belirtilmelidir. Kare ve deltoid. Kare dört eş kenarı ve dört dik açıyı birleştirir; bu nedenle paralelkenar, dikdörtgen ve eşkenar dörtgen özelliklerinin tümünü taşır. Köşegenleri eşit, dik, birbirini ve köşe açılarını ortalayan doğrulardır. Deltoidde ise iki ayrı komşu kenar çifti kendi içinde eşittir. Köşegenlerden biri diğerini dik ortalar ve eş kenarların birleştiği köşe açılarını böler. Deltoidin alanı da köşegenler çarpımının yarısıdır. Hiyerarşi ve gerekli-yeterli koşullar. “Bir dikdörtgenin komşu iki kenarı eşitse karedir.” ifadesinde dikdörtgen olmak ve ek kenar eşitliği birlikte yeterlidir. “Köşegenleri eşit olan her dörtgen dikdörtgendir.” doğru değildir; örneğin ikizkenar yamukların da köşegenleri eşittir. Bir özelliğin yalnız belirli aile içinde ayırt edici olabileceği unutulmamalıdır. Ters önerme kurulurken başlangıç sınıfı ve bütün koşullar açıkça yazılır. Alan problemleri ve doğrulama. Alan sorusunda öncelikle gerçek yüksekliğin tabana dik uzaklık olduğu belirlenir; eğik kenar yükseklik değildir. Bir dörtgen köşegenle üçgenlere ayrılarak alanlar toplanabilir veya uygun özel dörtgen bağıntısı kullanılabilir. Sonucun birimi kare birim olmalı ve uzunlukların ölçeğiyle uyumlu görünmelidir. Paralelkenarda taban değiştirildiğinde ona ait yüksekliğin de değişeceği, alanın ise aynı kalacağı ikinci bir çözüm kontrolü sağlar. Koordinat ve vektör yaklaşımı. Koordinat düzleminde paralelkenarın karşı kenarları eşit yönlü vektörlerdir. A-B-C-D sıralamasında C=B+D-A bağıntısı dördüncü köşeyi hızlı buldurur. Dikdörtgende komşu kenar vektörlerinin skaler çarpımı sıfır, eşkenar dörtgende kenar uzunlukları eşittir. Koordinat sonucu yalnız çizime bakılarak değil uzaklık, eğim veya vektör hesabıyla doğrulanmalıdır. Böylece ölçekli olmayan taslakların oluşturduğu yanıltıcı izlenim engellenir. Özellikten türe karar verme. Bir özellik sorusunda önce başlangıç sınıfı yazılır. “Paralelkenarın köşegenleri eşit” bilgisi dikdörtgen sonucuna götürürken, yalnız “bir dörtgenin köşegenleri eşit” bilgisi yeterli değildir. Ardından özelliğin zorunlu mu yalnız mümkün mü olduğu sorgulanır. Karşı örnek kurmak güçlü bir denetimdir: İkizkenar yamuk, eşit köşegenlerin tek başına dikdörtgeni garanti etmediğini gösterir. Sonuç cümlesi bütün öncülleri açıkça taşımalıdır. Geometri çözüm defteri. Bir dörtgen probleminde verilenler, kullanılacak özel tür özelliği ve bulunan sonuç ayrı satırlara yazılabilir. Örneğin paralelkenarda ardışık açıların bütünler olması yalnız açı hesabını; köşegenlerin birbirini ortalaması ise uzunluk hesabını destekler. Bu iki özelliğin gerekçeleri karıştırılmaz. Alan sonucunda uzunluk birimleri önce eşitlenir, tabana ait dik yükseklik seçilir ve cevap kare birimle kaydedilir. Son kontrol için şekil bir köşegenle üçgenlere ayrılıp alanlar yeniden toplanabilir. Aynı sonucun bağımsız iki yoldan elde edilmesi, eğik kenarı yükseklik sanma veya özel dörtgen hiyerarşisini ters okuma hatalarını erken gösterir.

3. Sık sorulanlar

   Sık sorulan sorular. Soru: Dörtgenin iç açıları toplamı neden 360 derecedir? Cevap: Bir köşegen dörtgeni iki üçgene ayırır; iki üçgenin iç açı toplamı 2·180°=360° eder. Soru: Her kare neden aynı zamanda dikdörtgendir? Cevap: Dikdörtgen için gerekli dört dik açının tümünü taşır; eş kenarlı olması bu sınıfa girmesine engel değildir. Soru: Paralelkenarın köşegenleri için kesin özellik nedir? Cevap: Köşegenler birbirini ortalar; eşit veya dik olmaları genel paralelkenar için zorunlu değildir. Soru: Yamuğun orta tabanı nasıl hesaplanır? Cevap: Paralel iki tabanın uzunlukları toplanıp ikiye bölünür; orta taban her iki tabana paraleldir. Soru: Eşkenar dörtgenin alanı köşegenlerle nasıl bulunur? Cevap: Birbirini dik kesen köşegenlerin uzunlukları çarpılır ve sonuç ikiye bölünür.

4. Bölüm 4

   Şimdi öğrendiğini dene. Kısa testi çöz; her seçenekteki açıklamayla doğru yöntemi pekiştir. Teste başla.