11. Sınıf Matematik Çokgenler ve Çokgen Problemleri Konu Anlatımı

Rehberli anlatımda söylenen yönlendirmeler dâhil tam metin. Düşünme araları sessizdir.

1. Giriş

   Konuya başlayalım. Çokgenler, doğru parçalarının uç uca birleşmesiyle oluşan basit kapalı şekillerdir. Kenar sayısı arttıkça açı, köşegen ve simetri örüntüleri belirginleşir. Bu örüntüler ezberlenecek ayrı formüller değildir; bir köşeden çizilen köşegenlerle şekli üçgenlere ayırma ve tam dönüşü 360° olarak yorumlama üzerinden türetilebilir. Dışbükeylik, düzgünlük ve simetri kavramlarını doğru ayırmak, formülün hangi şekle uygulanabileceğini belirler. Her hesap sonunda kenar sayısının tam sayı ve en az üç olması temel bir denetimdir.

2. Ayrıntılı anlatım

   Çokgen ve sınıflandırma ölçütleri. Basit çokgende komşu olmayan kenarlar kesişmez. Üç, dört, beş ve daha çok kenarlı şekiller üçgen, dörtgen, beşgen biçiminde adlandırılır. Dışbükey çokgende herhangi iki iç nokta arasındaki doğru parçası tamamen şeklin içinde kalır ve bütün iç açılar 180°den küçüktür. İçbükey çokgende en az bir iç açı 180°den büyüktür ve bazı köşegenler şeklin dışından geçer. Düzenlilik ise bütün kenar ve bütün iç açıların eşit olmasını gerektirir. İç açı toplamını türetme. n kenarlı dışbükey çokgende bir köşeden komşu olmayan köşelere çizilen köşegenler şekli n-2 üçgene ayırır. Bu nedenle iç açı toplamı (n-2)·180°dir. Örneğin sekizgende altı üçgen oluşur ve toplam 1080°dir. Bu toplam açıların eşit olduğunu söylemez; yalnız düzgün çokgende her iç açı toplamın n’ye bölünmesiyle bulunur. Formül dışbükey şekiller için doğrudan görselleştirilse de basit içbükey çokgenlerde de toplam korunur. Dış açı ve düzgün çokgen. Her köşede aynı yönde alınan birer dış açı, çokgen çevresinde tam dönüş oluşturur; toplam her zaman 360°dir. Düzgün n-genin bir dış açısı 360°/n, bir iç açısı ise 180°-360°/n olur. Bir dış açı verildiğinde n=360°/dış açı bağıntısı kullanılır. Elde edilen n tam sayı değilse verilen açı düzgün çokgenin dış açısı olamaz. İç ve komşu dış açı bütünlerdir. Köşegen sayısı. Bir köşeden kendisine ve iki komşusuna köşegen çizilemez; bu nedenle bir köşeden n-3 köşegen çıkar. Bütün köşeler için n(n-3) bağlantı sayılır fakat her köşegen iki uçtan iki kez sayıldığı için toplam n(n-3)/2 olur. Örneğin sekizgende 8·5/2=20 köşegen vardır. Bir köşeden çizilen köşegenlerin oluşturduğu üçgen sayısı n-2 ile köşegen sayısı n-3 karıştırılmamalıdır. Simetri ve alan. Düzgün n-genin n dönme konumu ve n simetri ekseni vardır. Merkezden köşelere çizilen yarıçaplar şekli n eş ikizkenar üçgene ayırır. Alan, çevre ile apotem uzunluğunun çarpımının yarısıdır: A=çevre·apotem/2. Düzgün altıgen özel olarak altı eşkenar üçgenden oluşur. Düzgün olmayan çokgenler ise köşegenlerle üçgen, paralelkenar veya yamuk gibi parçalara ayrılarak hesaplanabilir. Problem çözme ve sonuç denetimi. Soruda verilen açı iç açı mı dış açı mı, tek köşeye mi toplam değere mi ait önce belirlenir. Bilinmeyen kenar sayısı için formül denklem hâline getirilir. Köşegen denkleminde n≥3 koşulu ve pozitif kök kontrol edilir. Düzgünlük söylenmiyorsa açıları eşit kabul etmek yanlıştır. Alan sonucunda kare birim, çevrede uzunluk birimi kullanılmalı; parçalayarak bulunan alanların üst üste gelmediği ve boşluk bırakmadığı ayrıca doğrulanmalıdır. Bağıntıları birbirinden ayırma. Bir köşeden çıkan köşegen sayısı n-3, aynı köşeden oluşan üçgen sayısı n-2, toplam köşegen sayısı ise n(n-3)/2’dir. Bu üç ifade benzer görünür fakat farklı nesneleri sayar. Sorudaki “bir köşeden” ve “toplam” sözcükleri özellikle işaretlenmelidir. Küçük bir beşgen üzerinde kontrol yapılırsa değerlerin sırasıyla 2, 3 ve 5 olduğu görülür; formül hatası kolayca yakalanır. Denklemden kenar sayısı bulma. İç açı toplamı veya köşegen sayısı verildiğinde n için denklem kurulur. Cebirsel denklemin bütün kökleri geometrik olarak geçerli değildir; n pozitif tam sayı ve en az üç olmalıdır. Düzgün çokgende dış açı 360/n olduğundan verilen açının 360’ı tam bölmesi beklenir. Sonuç yerine konarak hem başlangıç sayısı hem de düzenlilik koşulu doğrulanır; yalnız yaklaşık bir değer kabul edilmez.

3. Sık sorulanlar

   Sık sorulan sorular. Soru: Dışbükey ve içbükey çokgen nasıl ayırt edilir? Cevap: Dışbükey çokgende bütün iç açılar 180°den küçüktür ve köşegenler içeride kalır; içbükeyde en az bir iç açı büyüktür. Soru: n kenarlı çokgenin iç açıları toplamı nasıl bulunur? Cevap: Bir köşeden oluşturulan n-2 üçgen kullanılır ve toplam (n-2)·180° olarak hesaplanır. Soru: Bir çokgenin dış açıları toplamı neden 360 derecedir? Cevap: Kenarlar boyunca aynı yönde ilerlerken her köşedeki dönüşler birlikte bir tam dönüş oluşturur. Soru: n kenarlı çokgenin toplam köşegen sayısı nedir? Cevap: Her köşeden n-3 köşegen çıkar ve iki kez sayımı düzeltmek için toplam n(n-3)/2 olur. Soru: Düzgün çokgenin alanında apotem nasıl kullanılır? Cevap: Çevre ile merkezin kenara dik uzaklığı olan apotem çarpılır ve sonuç ikiye bölünür.

4. Bölüm 4

   Şimdi öğrendiğini dene. Kısa testi çöz; her seçenekteki açıklamayla doğru yöntemi pekiştir. Teste başla.