11. Sınıf Matematik Bileşke ve Fonksiyonlarda Dört İşlem Konu Anlatımı

Rehberli anlatımda söylenen yönlendirmeler dâhil tam metin. Düşünme araları sessizdir.

1. Giriş

   Konuya başlayalım. Bileşke fonksiyon, bir işlemin çıktısını başka bir işlemin girdisi yapar. (f∘g)(x)=f(g(x)) ifadesinde önce g, sonra f uygulanır; sıra değiştiğinde sonuç çoğunlukla değişir. Gerçek yaşamda vergi sonrası indirim, ölçü birimi dönüşümü veya sensör verisinin kalibrasyonu ardışık fonksiyonlarla modellenebilir. Fonksiyonlarda dört işlem noktasal olarak yapılır fakat tanım kümeleri kesiştirilmelidir. Bölümde ayrıca paydadaki fonksiyonun sıfır olduğu değerler çıkarılır. Cebirsel sonuç kadar hangi x değerlerinde geçerli olduğu da cevabın parçasıdır.

2. Ayrıntılı anlatım

   Bileşke tanımı ve işlem sırası. (f∘g)(x)=f(g(x)) biçiminde önce parantezin içindeki g hesaplanır. f(x)=2x+1 ve g(x)=x² ise (f∘g)(x)=2x²+1, fakat (g∘f)(x)=(2x+1)² olur. Bu örnek bileşkenin genel olarak değişmeli olmadığını gösterir. Bir noktadaki değer hesaplanırken de önce g(a), sonra f(g(a)) bulunur; aradaki çıktı f’nin tanım kümesinde olmalıdır. Bileşkenin tanım kümesi. f∘g için x önce g’nin tanım kümesinde olmalı, ayrıca g(x) değeri f’nin tanım kümesine girmelidir. f(u)=√u ve g(x)=x-3 ise √(x-3) için x≥3 gerekir. Yalnız iki fonksiyonun ayrı tanım kümelerini kesiştirmek yeterli değildir; iç fonksiyonun çıktısı dış fonksiyonun girdisine uygun olmalıdır. Rasyonel ve logaritmik dış fonksiyonlarda bu koşul özellikle önemlidir. Birim, birleşme ve değişme. I(x)=x birim fonksiyonu için f∘I=I∘f=f olur. Uygun tanım koşullarında bileşke birleşmelidir: (f∘g)∘h=f∘(g∘h). Bu özellik üç aşamalı süreci farklı gruplandırmayı sağlar, fakat işlem sırasını değiştirmez. Genel olarak f∘g≠g∘f; eşitlik ancak özel fonksiyon çiftlerinde veya belirli bir alt kümede gerçekleşebilir. Ters fonksiyon varsa f∘f^(-1)=I bağıntısı kurulur. Fonksiyonlarda toplam, fark ve çarpım. (f+g)(x)=f(x)+g(x), (f-g)(x)=f(x)-g(x) ve (fg)(x)=f(x)g(x) olarak tanımlanır. Bu işlemlerin tanım kümesi, f ile g’nin tanım kümelerinin kesişimidir. Cebirsel sadeleşme bazı yasak değerleri görünmez kılsa bile başlangıçtaki tanım koşulları korunur. Örneğin √x ile 1/(x-2) toplamında x≥0 ve x≠2 birlikte gerekir. Bölüm işlemi ve sıfır koşulu. (f/g)(x)=f(x)/g(x) için x her iki fonksiyonun tanımında olmalı ve g(x)≠0 sağlanmalıdır. f(x)=x²-1, g(x)=x-1 için bölüm cebirsel olarak x+1’e sadeleşir; ancak başlangıçta x=1 yasaktır ve sonuç fonksiyonunda da çıkarılmış kalır. Bu ayrıntı iki cebirsel ifadenin aynı kuralı görünse de farklı tanım kümeleriyle farklı fonksiyonlar olabileceğini gösterir. Ayrıştırma, modelleme ve doğrulama. h(x)=(3x-2)² kuralı g(x)=3x-2 ve f(u)=u² seçilerek h=f∘g biçiminde ayrıştırılabilir. Ayrıştırma tek olmayabilir; amaç gerçek sürecin aşamalarını anlamlı temsil etmektir. Bir fiyat önce yüzde 20 indirilip sonra sabit kargo ekleniyorsa iç fonksiyon indirim, dış fonksiyon kargo olabilir. Sonuç, birkaç kolay x değeriyle hem doğrudan kuralda hem aşamalı hesapta sınanarak işlem sırası doğrulanır. Temsil değiştirerek bileşkeyi sınama. Bileşke yalnız cebirsel formülle değil tablo ve süreç şemasıyla da okunabilir. Bir tabloda x önce g sütununa, çıkan değer de f sütununa taşınır; son sütun f∘g değerini verir. Sözel bir süreçte “önce” sözcüğü iç fonksiyonu, “sonra” sözcüğü dış fonksiyonu belirlemeye yardım eder. Ancak yüzde indirim ve vergi gibi işlemlerde kullanılan oranların hangi tutara uygulandığı ayrıca kontrol edilmelidir. Cebirsel bir kural elde edildikten sonra x=0 ve x=1 gibi iki kolay değer hem aşamalı yöntemle hem doğrudan kuralda hesaplanır. Sonuçların eşleşmesi, yerine koyma ve parantez açma hatalarını yakalayan hızlı bir bağımsız kontroldür. İşlem doğrulama defteri ve tanım izi. Fonksiyon işlemlerinde çözüm defteri üç sütunla tutulabilir: başlangıç tanım koşulları, yapılan cebirsel işlem ve işlem sonrası korunacak yasak değerler. Örneğin (x²-1)/(x-1) ifadesi x+1 olarak sadeleşse de x=1 başlangıçta paydayı sıfır yaptığı için yasak kalır. Bileşkede ise x’in iç fonksiyon için uygunluğu ve iç fonksiyon çıktısının dış fonksiyona uygunluğu ayrı satırlarda yazılır. log₂(x²-5x+6) örneğinde iç ifade pozitif olmalı; çarpanlara ayırma x’in 2’den küçük veya 3’ten büyük olmasını verir. Bu kayıt yöntemi, yalnız sadeleşmiş kurala bakıp tanım kümesini genişletme ve iki fonksiyonun tanım kümelerini mekanik biçimde kesiştirme hatalarını önler.

3. Sık sorulanlar

   Sık sorulan sorular. Soru: (f∘g)(x) ifadesinde hangi fonksiyon önce uygulanır? Cevap: Önce içteki g fonksiyonu, sonra g’nin çıktısına dıştaki f fonksiyonu uygulanır. Soru: Bileşke fonksiyonlar her zaman değişmeli midir? Cevap: Hayır. Genel olarak f∘g ile g∘f farklıdır; yalnız özel fonksiyon çiftlerinde eşit olabilirler. Soru: f∘g bileşkesinin tanım kümesi nasıl belirlenir? Cevap: x, g’nin tanımında olmalı ve elde edilen g(x) değeri f’nin tanım kümesine girmelidir. Soru: Fonksiyonların bölümünde hangi ek koşul vardır? Cevap: Ortak tanım kümesine ek olarak paydadaki g(x) değerinin sıfır olmadığı x değerleri alınır. Soru: Cebirsel sadeleşmede yasak değer neden korunur? Cevap: Başlangıç fonksiyonunda o değer tanımsızdır; sadeleşmiş ifade aynı görünse de tanım kümesi fonksiyon kimliğinin parçasıdır.

4. Bölüm 4

   Şimdi öğrendiğini dene. Kısa testi çöz; her seçenekteki açıklamayla doğru yöntemi pekiştir. Teste başla.