8. Sınıf Matematik Çarpanlar ve Katlar Konu Anlatımı

Rehberli anlatımda söylenen yönlendirmeler dâhil tam metin. Düşünme araları sessizdir.

1. Giriş

   Bir matematikçi gibi düşünelim. Çarpanlar ve Katlar dersinde yalnız bir işlem adı seçmeyeceğiz. Önce verilen sayıyı ve koşulu temsil edecek, sonra “bölen mi, kat mı; grup sayısı mı, grup içeriği mi; başlangıç dâhil mi?” sorularını kanıtla yanıtlayacağız. İlk iki bölüm asal çarpan ve EBOB temelini kurar. Sonraki iki bölüm EKOK ile aralarında asal olmayı ayırır. Her soruda Kanıtı bul, Çeldiriciyi ele ve Sonucu bağla sırasını kullan; bulduğun sayının sorulan nicelik ve sınırlarla gerçekten uyuştuğunu geri kontrol et.

2. Ayrıntılı anlatım

   Pozitif böleni ve asal çarpanı kanıtla ayır. Önüne 24 küçük kart koyduğunu düşün. Kartları artmadan eşit sıralara dizmek istiyorsun. Bir sıraya 1 kart koyarsan 24 sıra, 2 kart koyarsan 12 sıra, 3 kart koyarsan 8 sıra, 4 kart koyarsan 6 sıra oluşur. İşte 1·24, 2·12, 3·8 ve 4·6 çarpan çiftleridir. Aynı çiftin yerini değiştirmek yeni bir bölen üretmez. Pozitif bölenleri küçükten büyüğe yazınca 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 elde edilir. Şimdi dur ve 25 için çiftleri düşün. 1·25 ve 5·5 vardır. Ortadaki 5 iki ayrı bölen değildir; yalnız bir kez sayılır. Bu kontrol, tam karelerde bölen sayısını bulurken sık yapılan çift sayma hatasını önler. Bir sayının böleni o sayıyı kalansız böler. Her bölenin asal olması gerekmez: 24'ün böleni 6'dır ama 6 asal değildir. Ayrıca 1 asal sayı değildir. Asal çarpanlara ayırma, çarpımı asal sayılar kalıncaya kadar parçalamaktır: 24 = 2·12 = 2·2·6 = 2·2·2·3 = 2³·3. Ağaçta bileşik bir yaprak kaldıysa çalışma bitmemiştir. Üs tekrar sayısını gösterir; burada üç tane 2, bir tane 3 kullanıldı, fakat farklı asal çarpan sayısı ikidir. Kendini kontrol et: son çarpımı hesapla, başladığın sayıyı yeniden bul. Asal çarpanla pozitif böleni aynı liste sanma. Örnek: 84 sayısını asal çarpanlarına ayırırken 84 = 2 × 42 = 2 × 2 × 21 = 2² × 3 × 7 yazılır. Son çarpım 4 × 3 × 7 = 84 verdiği için ayrıştırma doğrulanır. Farklı asal çarpanlar 2, 3 ve 7’dir; 2’nin üssü iki olsa da farklı asal türü sayısını artırmaz. 72 sayısını asal çarpanların kuvvetleriyle yaz; ardından farklı asal çarpan sayısını ve 72’nin pozitif bölenlerinden dört tanesini belirt. 72 = 2³ × 3²’dir. Farklı asal çarpanları 2 ve 3 olmak üzere iki tanedir. Örneğin 1, 2, 3 ve 4 sayıları 72’nin pozitif bölenleridir. Sık hata: Çarpan ağacında 15 gibi bileşik bir yaprak bırakıp işlemi tamamlanmış sayma. Yaprakların hepsi asal olmalı ve son çarpım başlangıç sayısını yeniden vermelidir.

3. Ayrıntılı anlatım

   EBOB ile eş grubu ve sorulan niceliği bul. EBOB, iki doğal sayının ortak pozitif bölenleri içindeki en büyük değerdir. 48 = 2⁴ × 3 ve 60 = 2² × 3 × 5 için ortak asal çarpanların küçük üsleri alınır: EBOB(48,60) = 2² × 3 = 12. Neden küçük üs? Ortak bölen her iki sayının içinde de eksiksiz bulunmalıdır; bir sayıda olmayan fazla çarpan ortak bölenin parçası olamaz. Eş gruplama probleminde EBOB sonucunun hangi niceliği temsil ettiğini ayrıca belirle. 42 mavi ve 30 sarı kart, her pakette aynı sayıda mavi ve aynı sayıda sarı kart olacak biçimde en çok sayıda pakete ayrılırsa paket sayısı EBOB(42,30) = 6’dır. Bir paketin içeriği ise 42/6 + 30/6 = 7 + 5 = 12 karttır. “6”yı her sorunun son cevabı saymak, işlem sonucu ile sorulan niceliği karıştırır. Her paket yalnız tek renk içeriyorsa ortak bölen bazen paket başına nesne sayısını gösterir. “En çok” sözcüğü tek başına EBOB komutu değildir: en çok paket isteniyorsa küçük paketler, en büyük eş paket içeriği isteniyorsa EBOB düşünülür. Önce istenen niceliği bir sözcükle yaz, sonra bölen koşulunu kur. Kesme sorularında parça sayısı ile kesim sayısı farklıdır. 48 cm ve 72 cm şeritler artmadan en uzun eş parçalara ayrılırsa parça uzunluğu EBOB(48,72) = 24 cm olur; parça sayıları 2 ve 3’tür. Şeritler ayrı ayrı, katlanmadan kesiliyorsa kesim sayıları 1 ve 2, toplam 3’tür. Sonucu birim, artan ve kısıtlarla kontrol et. Örnek: 54 kırmızı ve 72 beyaz boncuk, her pakette iki renkten de eşit sayıda olacak biçimde en çok pakete ayrılır. EBOB(54,72) = 18 paket bulunur. Her pakette 54/18 = 3 kırmızı ve 72/18 = 4 beyaz, toplam 7 boncuk vardır. Paket sayısı 18, paket içeriği 7’dir. 36 kalem ve 48 silgi, her kutuda eşit sayıda kalem ve eşit sayıda silgi olacak şekilde en çok kutuya ayrılıyor. Kutu sayısını ve bir kutudaki toplam ürün sayısını bul. EBOB(36,48) = 12 kutudur. Bir kutuda 36/12 = 3 kalem ve 48/12 = 4 silgi, toplam 7 ürün bulunur. Sık hata: EBOB’u bulduktan sonra sorunun paket sayısını mı, paket başına miktarı mı, parça boyunu mu yoksa kesim sayısını mı istediğini denetlemeden cevabı yazma.

4. Ayrıntılı anlatım

   EKOK ile ortak zamanı ve ilk ortak katı doğrula. EKOK, iki doğal sayının pozitif ortak katları içindeki en küçük değerdir. 12 = 2² × 3 ve 18 = 2 × 3² için iki sayıda görülen asal çarpanların büyük üsleri alınır: EKOK(12,18) = 2² × 3² = 36. Ortak kat her iki sayının çarpan ihtiyacını karşılamalıdır; küçük üs kullanmak bazı çarpanları eksik bırakabilir. Aynı anda başlayan düzenli olaylarda başlangıçtan sonraki ilk ortak an EKOK ile bulunur. Biri 12, diğeri 18 saniyede bir yanan iki ışık 0. saniyede birlikte yanıyorsa sonraki ilk ortak an 36. saniyedir. Adayı 36/12 = 3 ve 36/18 = 2 tam sayı kontrolleriyle iki çizelgede de doğrula. Başlangıç anları farklıysa yalnız periyotların EKOK’unu yazmak yeterli değildir. Bir sinyal 0’dan başlayıp 8 saniyede bir, diğeri 4. saniyeden başlayıp 12 saniyede bir geliyorsa çizelgeler 0, 8, 16, 24… ve 4, 16, 28… olur; ilk ortak an 16’dır. Başlangıç kaymasını denkleme veya listeye kat. “Kaç kez?” sorusunda sınırlar sayımı değiştirir. Ortak olay 30 dakikada bir oluyorsa 0 ile 90 dakika arasında iki sınır dâhil 0, 30, 60 ve 90 olmak üzere dört an vardır. Yalnız 90/30 = 3 yazmak başlangıç anını dışarıda bırakır. “Başlangıçtan sonra” deniyorsa 0 sayılmaz; “90 dâhil” deniyorsa son an sayılır. Örnek: Biri 15, diğeri 20 dakikada bir kalkan iki servis saat 09.10’da birlikte kalkıyor. EKOK(15,20) = 60 dakika olduğundan sonraki ortak kalkış 10.10’dadır. 60’ın hem 15’in hem 20’nin katı olduğu ve başlangıca bir saat eklendiği kontrol edilir. İki bakım 0. günde birlikte yapılıyor; sonra biri 8, diğeri 12 günde bir tekrarlanıyor. 0. gün sayılmadan 72. gün dâhil kaç ortak bakım vardır? EKOK(8,12) = 24 gündür. Başlangıç hariç ve 72 dâhil ortak günler 24, 48, 72 olduğundan üç ortak bakım vardır. Sık hata: Her tekrar probleminde EKOK bulup başlangıcı 0 kabul etme. Başlangıçların aynı olup olmadığını, ilk ortak an mı yoksa ortak an sayısı mı istendiğini ve sınırların dâhil olup olmadığını yaz.

5. Ayrıntılı anlatım

   Aralarında asallığı iddia, bağıntı ve karşı örnekle sınırla. İki sayının EBOB'u 1 ise bu sayılar aralarında asaldır. Bu, sayıların ayrı ayrı asal olması demek değildir. 9 ile 20 bileşik oldukları halde ortak pozitif bölenleri yalnız 1'dir. Buna karşılık 9 ile 15'in ortak böleni 3 vardır. Ardışık pozitif tam sayılar da aralarında asaldır; ikisini bölen bir sayı farkları olan 1'i de bölmek zorunda kalır. İki pozitif tam sayı için EBOB(a,b)·EKOK(a,b) = a·b bağıntısı kullanılabilir. Bu bağıntıyı üç sayıya aynı biçimde genelleme. Asal çarpan açısından iki sayının her asal için küçük ve büyük üslerini toplamak, iki sayının üslerini toplamakla aynıdır. Aralarında asal sayılarda EBOB 1 olduğundan EKOK doğrudan çarpımdır. Örneğin 9 ile 20'nin EKOK'u 180'dir. Bir sayı, EBOB ve EKOK verildiyse diğer sayıyı bağıntıyla bulup mutlaka geri kontrol et. Verilenler kendi içinde tutarsız olabilir; yalnız bölme yapmak yetmez. Aralık sorularında ortak katı bulduktan sonra onun katlarını sırala ve istenen eşitsizliği uygula. “100'den büyük” ifadesi 100'ü kabul etmez; “en küçük” sözü uygun olan ilk değeri ister. Bir aday yalnız aralığa uyduğu için doğru değildir; bölen veya kat koşullarına da uymalıdır. Çözümü iki sütunlu kontrol listesiyle bitir: sayı koşulu ve aralık koşulu. “İki sayının EKOK'u her zaman çarpımlarıdır” iddiasını duyduğunda birkaç başarılı örnek yeterli kanıt değildir. 6 ve 10'u dene: çarpımları 60, EKOK'ları 30'dur. Tek karşı örnek, “her zaman” iddiasını çürütür. Çarpım kuralı ancak aralarında asal olma koşuluyla kullanılabilir. Benzer biçimde bir ortak bölen bulmak, onun en büyük olduğunu kanıtlamaz; daha büyük ortak bölen olup olmadığını araştırmalısın. İki sayıyı EBOB'larına böldüğünde elde edilen bölümler aralarında asaldır. Nedenini düşün: bu bölümlerde 1'den büyük ortak bölen olsaydı, onu EBOB ile çarparak başlangıçta daha büyük bir ortak bölen bulurdun. Bu da en büyük olma koşuluna ters düşer. Buradaki sayılar bölme işleminin bölümleridir; kalanlar sıfırdır. Bu açıklama, yalnız işlem yapmakla gerekçe kurmak arasındaki farkı gösterir. Eksik bilgiye de dikkat et. EBOB'un 5 olması EKOK'u tek başına belirlemez; 5 ve 10 ile 5 ve 15 aynı EBOB'a, farklı EKOK'a sahiptir. Bir sayıyı artırmak EBOB'u her zaman artırmaz; yeni çiftin ortak bölenleri yeniden incelenmelidir. Son testte iddiayı bir örnek, karşı örnek veya geri kontrol ile değerlendir. Yanlış yaptıysan yalnız doğru sayıyı ezberleme. “Hangi koşulu atladım, hangi niceliği karıştırdım, bunu nasıl kontrol ederim?” sorularını birer cümleyle cevapla; sonra aynı bölümdeki örneği yardım almadan yeniden çöz. Örnek: 18 ve 35’in asal çarpanları sırasıyla 2 × 3² ile 5 × 7’dir. Ortak asal çarpan bulunmadığı için EBOB(18,35) = 1 ve sayılar aralarında asaldır. İkisinin de bileşik olması bu sonucu değiştirmez. Bu durumda EKOK doğrudan 18 × 35 = 630 olur. “İki sayının EKOK’u çarpımlarına eşitse iki sayı da asaldır” iddiasını değerlendir ve gerekiyorsa bir karşı örnek ver. İddia yanlıştır. 8 ve 15 bileşiktir; EBOB(8,15) = 1 olduğu için aralarında asaldır ve EKOK(8,15) = 8 × 15 = 120 olur. Eşitlik iki sayının ayrı ayrı asal olduğunu değil aralarında asal olduğunu gösterir. Sık hata: Aralarında asal olmak için iki sayının da asal olması gerektiğini sanma. Ölçüt, sayıların ayrı ayrı türü değil, 1’den başka ortak pozitif bölenlerinin bulunmamasıdır.