11. Sınıf Matematik: Üstel Değişimde Hedef Zaman ve Logaritmik Model

Rehberli anlatımda söylenen yönlendirmeler dâhil tam metin. Düşünme araları sessizdir.

1. Giriş

   Konuya başlayalım. Bir büyüklük her eşit zaman aralığında aynı miktarda değil aynı oranla değişiyorsa üstel model düşünülür. Bu model büyüme kadar yarılanmayı da açıklayabilir. Bu derste başlangıç miktarı ile çarpanı ayıracak, iki ölçümden model kuracak ve hedefe ulaşma zamanını inceleyeceksin. Ayrıca logaritmik bir ifadenin içindeki ötelemenin tanım aralığını nasıl değiştirdiğini göreceksin. Önkoşullar üslü sayılar, pozitif sayıların kuvvetleri, temel logaritma tanımı ve eşitsizlik yorumudur. Sürekli zaman ile tam sayı aşama sayısını baştan ayır; bir hedefin tam olarak alınması ile ilk kez aşılması farklı sorular oluşturur.

2. Ayrıntılı anlatım

   Önkoşul: başlangıç değeri, taban ve zaman birimi. Q(t) = A·b^t ifadesi “A çarpı b üzeri t” diye okunur. A pozitif başlangıç miktarıdır; çünkü t sıfırken b^0 = 1 olur. b pozitif bir çarpandır. b birden büyükse eşit zaman aralıklarında büyüme, sıfır ile bir arasındaysa azalma görülür. Zaman birimi değiştiğinde bir adımda uygulanan çarpanın da değişebileceğine dikkat et. Bir saatlik çarpanı dakika sayısı kadar uygulamak başka bir model kurar. Q(t) = 30·2^t için başlangıç otuz, birinci aşama altmış, üçüncü aşama iki yüz kırktır. “Her aşamada iki eklenir” yorumu yanlış olur; iki çarpanı bir önceki miktarın iki katına çıkmasını söyler. Yüzde yirmi beş artışta ise çarpan 1,25 olur. Başlangıcı altmış dört olan bir büyüklük iki aşama sonra 64·1,25^2 = 100 değerine ulaşır; ilk aşama seksendir. Yüzdeyi her defasında başlangıca uygulamak yerine önceki aşamanın değerine uyguladık. Bu örnekler ideal kurala göre hesaplamadır; gerçek bir sistemin aynı oranı süresiz koruduğu iddiası değildir. Model soruda verilmiş olmalı ya da neden uygun görüldüğü ayrıca açıklanmalıdır. İki sayının artıyor olması tek başına üstel davranışı kanıtlamaz. İşlenmiş örnekler: yarılanma ve tam hedef zamanı. Bir modelde miktar başlangıçta yüz altmış birim ve her üç saatte yarıya iniyor olsun. M(t) = 160·(1/2)^(t/3) yazılır. Üstteki t/3, geçen sürede kaç yarılanma dönemi bulunduğunu gösterir. Altı saatte iki dönem geçtiğinden M(6) = 160/4 = 40 olur. Dokuz saatte üç dönem sonunda yirmi kalır. Miktarın on birime düşmesi için dört yarılanma gerekir; dolayısıyla süre on iki saattir. Üç saatlik dönemi unutup üssü doğrudan t yazmak, azalmayı üç kat hızlı bir zaman ölçeğinde hesaplar. Başka bir model Q(t) = 20·3^t olsun ve hedef beş yüz kırk birim verilsin. Eşitlik 20·3^t = 540, yirmiye bölünce 3^t = 27 olur. Yirmi yedi üçün üçüncü kuvveti olduğundan t = 3 bulunur. Kontrol için başlangıç katsayısını geri koy: 20·27 = 540. Yalnız hedefi üçe bölmek zamanı vermez; değişken kuvvette bulunduğu için kuvvet ilişkisi kurulmalıdır. Taban birden büyük olduğundan model sıkı artar ve aynı hedefi iki farklı gerçek zamanda alamaz. Azalan yarılanma modelinde de pozitif hedefe karşılık gelen zaman tektir; ancak hedefin başlangıçtan büyük olması, yalnız gelecekteki zamanlara izin verilen bir soruda uygun olmayabilir. Yanılgı denetimi: iki ölçüm arasında kaç çarpma var? Q(t) = A·b^t, A > 0 ve b > 1 modelinde Q(1) = 18, Q(3) = 162 verilsin. İkinci ölçümü birinciye bölersen 162/18 = 9 bulursun. Bu oran b değil b^2 değeridir; zamanlar arasında iki birim vardır. Pozitif taban koşuluyla b = 3 olur. Birinci ölçüm A·3 = 18 verdiği için A = 6 bulunur. Model Q(t) = 6·3^t, dördüncü zamandaki miktar ise Q(4) = 486 olur. Kontrol için Q(1) ve Q(3) değerlerini tekrar üret. On sekizi doğrudan başlangıç miktarı almak, birinci zamanı sıfırıncı zamanla karıştırır. Dokuzu taban seçmek ise iki aşamadaki değişimi tek aşamaya yükler. Bu iki hata sayısal olarak farklıdır, fakat ikisinin kaynağı zaman etiketlerini atlamaktır. Çözümde küçük bir çizelgeye sıfır, bir ve üç zamanlarını yazıp bilinenleri uygun yerlere yerleştirmek yardımcı olur. İki ölçümden bir üstel model kurabilmek, gerçek verinin kesinlikle bu modele uyduğunu göstermez; soru zaten bu model ailesini varsayıyorsa parametreler bulunur. Başka bir aile aynı iki ölçümden geçebilir. Yeni bir ölçüm gelirse bulunan modeli o noktada da sınamak, varsayımın kullanım sınırını değerlendirmeye yardım eder. Verilenler ile model kabulünü ayrı tutmak matematiksel yorumun bir parçasıdır. Transfer: logaritmik öteleme ve ilk tam sayı eşik. f(x) = log_3(x−2)+1 ifadesinde logaritmanın içi pozitif olmalıdır: x−2 > 0, yani x > 2. Dışarıdaki artı bir tanım aralığını değiştirmez; çıktı değerlerini bir artırır. İçteki eksi iki ise temel logaritmanın girdisini iki birim sağa taşır. x on bir olduğunda içerisi dokuz, logaritma iki ve sonuç üç olur. Fonksiyonun sıfırı için log_3(x−2) = −1 yazılır; x−2 = 1/3 ve x = 7/3 bulunur. Bu sayı ikiden büyük olduğundan tanım koşulunu sağlar. Logaritma sonucunun negatif olabilmesi, içindeki sayının negatif olabileceği anlamına gelmez. Tam sayı aşamaları için Q(n) = 5·2^n modelinde miktar ilk kez ne zaman en az yüz elli olur? Eşitsizlik 2^n ≥ 30 verir. Dördüncü aşamada miktar seksen, beşinci aşamada yüz altmıştır; bu nedenle ilk uygun tam sayı beştir. Yüz ellinin tam olarak alınması ayrı sorudur ve bu modelin tam sayı aşamalarında gerçekleşmez. Hedef “yüz altmıştan fazla” olarak verilirse beşinci aşamadaki eşitlik yeterli olmaz; altıncı aşama gerekir. Eşik sorusunda önce karşılaştırma işaretini oku, sonra bulduğun adayla bir önceki aşamayı birlikte denetle. Artan modelde bu komşu kontrolü ilk uygun tam sayıyı belirlemeyi sağlar. Kontrol ve çıkış ödevi: modeli kendi verileriyle sınırla. Bir üstel çözümde başlangıç katsayısını, tabanı ve zaman birimini ayrı ayrı kontrol et. Büyüme varsa sonraki değer önceki değerden büyük, yarılanma varsa küçük olmalıdır. Hedef zaman bulunduğunda onu başlangıç modeline koyarak istenen miktarı geri elde et. Logaritmik ifadede ise önce tabanın pozitif ve birden farklı, iç ifadenin pozitif olduğunu doğrula. Tam sayı aşaması sorusunda gerçek sayı cevabını gelişigüzel yuvarlama; eşik yönüne uygun aday ile komşusunu karşılaştır. Tanım, zaman aralığı ve ölçü birimi aynı çözümün farklı denetimleridir. Çıkış ödevinin ilk sorusunda B(t) = 12·2^t için dördüncü zamandaki miktarı bul; cevap yüz doksan ikidir. İkinci soruda M(t) = 96·(1/2)^(t/2) için altı saat sonrasını hesapla. Üç yarılanma olduğundan on iki birim kalır. Üçüncü soruda log_2(5−x) = 2 denklemini incele. Tanım x < 5, üs biçimi 5−x = 4 ve çözüm x = 1 olur. Son soruda 7·3^n > 180 eşitsizliğini sağlayan ilk negatif olmayan tam sayıyı bul. İkinci aşama altmış üç, üçüncü aşama yüz seksen dokuz olduğundan n = 3 seçilir. Her sonucun neden tek veya ilk uygun değer olduğunu açıkla; yalnız doğru sayıyı yazmak, eşitlik ile eşik arasındaki ayrımı göstermeye yetmez.

3. Sık sorulanlar

   Sık sorulan sorular. Soru: Üstel modelde başlangıç miktarı neden t sıfırda okunur? Cevap: Pozitif tabanın sıfırıncı kuvveti birdir. Bu nedenle Q(0) = A olur. Birinci zamandaki ölçüm ise A ile tabanın çarpımıdır; doğrudan başlangıç miktarı sayılamaz. Soru: Üç saatte yarılanan modelde üste neden t/3 yazılır? Cevap: Üs geçen yarılanma dönemi sayısını göstermelidir. Altı saat, üç saatlik iki dönem içerir. t yazmak her saati bir yarılanma dönemi kabul ederek zaman ölçeğini değiştirir. Soru: İki zaman birimi arayla alınan ölçümlerin oranı neden tabanın karesidir? Cevap: Bir ölçümden diğerine iki eşit çarpma adımı vardır. Katsayılar bölmede yok olur ve b üzeri iki kalır. Tabanı bulurken bu iki adımı tek adım sanmamak gerekir. Soru: Logaritmanın dışına eklenen sabit tanım aralığını değiştirir mi? Cevap: Hayır. Dış sabit çıktı değerini değiştirir. Tanım için logaritmanın içindeki ifadenin pozitif olması ve tabanın geçerli olması kontrol edilir. İçteki öteleme ise bu pozitiflik eşitsizliğinin sınırını değiştirebilir. Soru: Hedef miktara eşit olmak ile onu ilk kez aşmak neden farklıdır? Cevap: Tam sayı aşamalarında model hedefin üzerinden atlayabilir; hedefe tam eşit olan bir aşama bulunmayabilir. İlk aşma sorusunda eşitsizlik çözülür ve uygun aday ile önceki aşama karşılaştırılır. Eşitliğin kabul edilip edilmediği de işarete bağlıdır.

4. Bölüm 4

   Şimdi öğrendiğini dene. Kısa testi çöz; her seçenekteki açıklamayla doğru yöntemi pekiştir. Teste başla.