10. Sınıf Matematik Sayma Stratejileri, Kombinasyon ve Algoritma Konu Anlatımı

Rehberli anlatımda söylenen yönlendirmeler dâhil tam metin. Düşünme araları sessizdir.

1. Giriş

   Konuya başlayalım. Sayma problemlerinde amaç nesneleri tek tek listelemek değil, hiçbir sonucu atlamadan ve iki kez saymadan yapıyı görünür kılmaktır. Bir süreç ardışık aşamalardan oluşuyorsa seçenek sayıları çarpılır; birbirini dışlayan farklı yollar varsa toplanır. Sıra önemli olduğunda düzenleme, yalnız grubun kimlerden oluştuğu önemli olduğunda seçim düşünülür. Kombinasyonlar Pascal üçgeni ve tümleyenle sayma gibi ilişkilerle kontrol edilebilir. Güvercin yuvası ilkesi, ayrıntılı dağılım bilinmeden en az bir grubun doluluğu hakkında kesin sonuç verir. Algoritmik dil ise sayma ve cebirsel işlemleri girdi, koşul, döngü ve çıktı adımlarına ayırarak çözümün tekrar edilebilir, denetlenebilir ve bilişim ortamına aktarılabilir olmasını sağlar.

2. Ayrıntılı anlatım

   Toplama ve çarpma ilkelerini olay yapısından seç. Bir iş birbirini izleyen aşamalardan oluşuyor ve her aşamadaki seçim önceki seçimin ardından yapılıyorsa çarpma ilkesi kullanılır. Üç gömlek ve dört pantolondan birer tane seçmek 3×4=12 kombin üretir. Bir yere yalnız otobüsle beş veya yalnız trenle yedi farklı yoldan gidilebiliyor ve yollar çakışmıyorsa toplama ilkesi 5+7=12 sonuç verir. “Ve” sözcüğü her zaman çarpma, “veya” her zaman toplama demek değildir; durumların ardışık mı, ayrık mı olduğu incelenmelidir. Ağaç şeması, tablo veya düzenli liste küçük örneklerde yapıyı görünür kılıp genel stratejiyi doğrular. Sıralama ile seçimi ayırt et. n farklı nesnenin tamamını sıralama sayısı n! biçimindedir. n nesneden r tanesi seçilip sıraya konuyorsa ilk yere n, sonraki yere n−1 seçenek düşer ve n!/(n−r)! sonucu elde edilir. Yalnız hangi r nesnenin seçildiği önemliyse aynı grup r! farklı sırada tekrar sayılmış olacağından bu sayı r!’ye bölünür: C(n,r)=n!/[r!(n−r)!]. Başkan ve sekreter seçimi görevler farklı olduğu için sıralama; üç kişilik komite seçimi görev ayrımı olmadığı için kombinasyondur. Problemde “kaç grup” ile “kaç farklı görev dağılımı” ifadeleri dikkatle ayrılmalıdır. Tekrarlı nesne ve kısıtları çözüme kat. Bazı nesneler özdeşse bütün sıralamalar farklı sonuç üretmez. ANNE sözcüğünde dört harf sıralanır fakat iki N yer değiştirdiğinde yeni sözcük oluşmaz; sayı 4!/2!=12’dir. Bir şifrede tekrar serbest veya yasak oluşu her konumdaki seçenek sayısını değiştirir. Zorunlu elemanlı seçimde bu elemanlar önce gruba yerleştirilir, kalan yerler diğerlerinden seçilir. “En az bir” koşulu çoğu zaman tüm seçimlerden hiç istenen tür bulunmayan seçimlerin çıkarılmasıyla daha kısa çözülür. Her kısıtın hangi aşamayı etkilediği yazılırsa hem eksik hem çift sayma önlenir. Pascal, tümleyen ve güvercin yuvasıyla genelle. Pascal üçgenindeki her sayı üstündeki iki sayının toplamıdır ve C(n,r)=C(n−1,r−1)+C(n−1,r) ilişkisini gösterir: Belirli bir elemanı içeren ve içermeyen seçimler ayrılır. C(n,r)=C(n,n−r) eşitliği seçilen grubu belirlemenin dışarıda kalan grubu belirlemekle aynı olduğunu anlatır. n elemanlı kümenin bütün alt kümeleri toplamı 2^n, boş olmayan alt kümeleri 2^n−1’dir. Güvercin yuvası ilkesine göre k kutuya k+1 nesne dağıtılırsa en az bir kutuda en az iki nesne vardır. İlke hangi kutunun dolacağını söylemez; yalnız kaçınılmazlığı kanıtlar. Algoritmayı girdi, koşul, döngü ve çıktıyla yaz. Algoritma sonlu, açık ve sıralı adımlarla bir problemi çözer. Önce girdi ve beklenen çıktı tanımlanır; ardından ara değişkenler, işlemler ve karar koşulları yazılır. “Sayı çiftse yarısını al, tekse üç katının bir fazlasını al” ifadesi dallanma içerir. 1’den n’ye kadar sayıların toplamını bulan süreçte sayaç ve toplam değişkeni kullanan döngü kurulabilir; her turda sayaç toplama eklenir. Bir algoritmanın doğruluğu örnek girdiler, sınır değerler ve ters kontrolle sınanır. Aynı matematiksel işlem farklı algoritmalarla yapılabilir; doğruluk yanında adım sayısı, açıklık ve genellenebilirlik de değerlendirilir. Sayma problemi algoritmaya dönüştürülürken her adımın önceki seçimlerden bağımsız mı yoksa onlara bağlı mı olduğu belirtilir. Bağımsız ardışık seçimler çarpma, ayrık alternatifler toplama ilkesini doğurur. Döngü sayacı başlangıç ve bitiş değerlerinde bir fazla ya da eksik çalışmamalıdır. Küçük bir girdi için bütün olasılıkları elle listelemek, üretilen sayıyla formül sonucunu karşılaştırmaya ve tekrar sayılan durumları fark etmeye yardım eder.

3. Sık sorulanlar

   Sık sorulan sorular. Soru: Saymada toplama ilkesi ne zaman kullanılır? Cevap: Birbirini dışlayan alternatif yolların sonuçları bir araya getiriliyorsa her yolun sayısı toplanır. Soru: Çarpma ilkesi ne zaman kullanılır? Cevap: Bir sonuç ardışık seçim aşamalarından oluşuyorsa her aşamadaki seçenek sayıları birbiriyle çarpılır. Soru: Permütasyon ile kombinasyon arasındaki temel fark nedir? Cevap: Permütasyonda seçilen nesnelerin sırası veya görevi önemlidir; kombinasyonda yalnız grubun hangi nesnelerden oluştuğu önemlidir. Soru: En az bir koşulu nasıl hızlı sayılır? Cevap: Çoğu problemde bütün uygun sonuçlardan istenen türün hiç bulunmadığı sonuçlar çıkarılarak tümleyenle sayma yapılır. Soru: Güvercin yuvası ilkesi neyi garanti eder? Cevap: Nesne sayısı kutu sayısından fazlaysa en az bir kutunun birden çok nesne içermek zorunda olduğunu garanti eder.

4. Bölüm 4

   Şimdi öğrendiğini dene. Kısa testi çöz; her seçenekteki açıklamayla doğru yöntemi pekiştir. Teste başla.