10. Sınıf Matematik: Karesel Modellerde Tepe, Kök ve Tam Sayı Koşulu

Rehberli anlatımda söylenen yönlendirmeler dâhil tam metin. Düşünme araları sessizdir.

1. Giriş

   Konuya başlayalım. İkinci derece bir modelin en küçük veya en büyük değerini bulmak için kare yapısından yararlanabiliriz. Kareli bir ifade negatif olamadığından uygun düzenleme, grafiğin dönüm yerini ve olası değerlerini doğrudan gösterir. Bu derste kare tamamlama, tepe biçiminden model kurma, kısıtlı aralıkta en büyük değer ve tam sayı eşitsizliği üzerinde çalışacaksın. Önkoşullar özdeşlikleri açma, birinci derece eşitsizlik ve koordinat okuma bilgisidir. Her soruda modelin bütün gerçek sayılarda mı, belirli bir aralıkta mı kullanıldığını ayır. Tepe noktasını bulmak önemli bir adımdır; fakat bu nokta izin verilen aralığın dışındaysa son cevap olamaz.

2. Ayrıntılı anlatım

   Önkoşul: kare tamamlama ile tepeyi görünür kıl. f(x) = a(x−h)^2+k biçimi, “a katsayısı çarpı x eksi h karesi, artı k” diye okunur. Tepe noktası (h,k) olur. a pozitifse kareli bölüm en az sıfırdır ve fonksiyonun en küçük değeri k olur. a negatifse kareli bölüm en çok sıfırdır ve en büyük değer k olur. Bu çıkarım karelerin işaretine dayanır; ayrıca bir değişim kuralı kullanmak gerekmez. Tepeyi bulduktan sonra simetri ekseni x = h olarak okunur. f(x) = x^2−8x+19 için x^2−8x bölümünü kareye tamamla. (x−4)^2 ifadesi x^2−8x+16 olduğundan üç ekleyerek başlangıç fonksiyonuna dönersin: f(x) = (x−4)^2+3. En küçük değer üç, bu değeri veren girdi dörttür. Fonksiyonun en küçük değeri ile bu değerin oluştuğu girdiyi birbirine karıştırma. İkinci örnekte g(x) = −2x^2+12x+1 olsun. İlk iki terimden eksi iki ortak çarpanını alıp kare tamamlayınca g(x) = −2(x−3)^2+19 bulunur. En büyük değer on dokuzdur ve x üç olduğunda alınır. Düzenlenmiş ifadeyi yeniden açmak, sabit terimin yanlış değiştirilip değiştirilmediğini denetler. Simetriyi sayısal olarak da inceleyebilirsin. İlk fonksiyonda üç ve beş girdileri, tepe girdisi dörtten eşit uzaklıktadır; her ikisinde çıktı dört olur. Bu eşitlik, grafiğin ekseninin iki yanında aynı kareli uzaklığın aynı yüksekliği verdiğini gösterir. Eşit çıktı, farklı girdilerin aynı sayı olduğu anlamına gelmez. İşlenmiş örnek: tepe biçiminde bilinmeyen katsayıyı bul. f(x) = a(x−2)^2−5 biçimindeki karesel fonksiyonun grafiği (4,7) noktasından geçsin. Tepe konumu parantezden ve dış sabitten okunur, fakat a katsayısı henüz bilinmez. Verilen noktanın koordinatlarını yerine yaz: 7 = a(4−2)^2−5. Önce parantez iki, karesi dört olur; 7 = 4a−5 eşitliğinden 12 = 4a ve a = 3 bulunur. Model f(x) = 3(x−2)^2−5 biçimindedir. Katsayıyı bulmak için yalnız birinci derece denklem çözüldü; ek bir kök ilişkisi gerekmedi. a pozitif olduğundan tepe noktası (2,−5) minimumu gösterir. x sıfır için f(0) = 3·4−5 = 7 bulunur; bu değer verilen x dört noktasındaki yüksekliğe eşittir. İki girdi simetri ekseni olan ikiden eşit uzaklıktadır. Bu karşılaştırma hem katsayıyı hem ötelemeyi kontrol eder. Fonksiyonu açarsan 3x^2−12x+7 elde edilir; tekrar kareli biçime dönmek tepeyi görünür kılar. Aynı tepe konumuyla a bir seçilseydi dört girdisindeki yükseklik eksi bir olurdu. Dolayısıyla tepeyi bilmek dikey ölçeği tek başına belirlemez. Ek nokta, farklı genişlikteki grafiklerden hangisinin soruya uyduğunu seçtirir; noktayı yalnız x koordinatıyla kullanmak yeterli değildir. Yanılgı örneği: izin verilmeyen tepeyi cevap seçme. g(x) = −(x−6)^2+25 fonksiyonu yalnız 0 ≤ x ≤ 4 aralığında kullanılacak olsun. Bütün gerçek sayılar üzerinde tepe girdisi altıdır, fakat altı verilen aralıkta değildir. İzin verilen girdiler altıya en fazla dört noktasında yaklaşır. Kareli fark burada en küçük olduğundan g(4) = −4+25 = 21 en büyük değerdir. Diğer uçta g(0) = −36+25 = −11 bulunur. Tepe değeri yirmi beşi doğrudan yazmak, sorunun aralık kısıtını yok saymak olur. Tepe aralık dışındaysa uzaklık ve uç değerler üzerinden karşılaştırma yapmalısın. Şimdi (x−2)^2 ≤ 9 eşitsizliğini çöz. Bir sayının karesi en çok dokuzsa sayı eksi üç ile üç arasındadır: −3 ≤ x−2 ≤ 3. Her tarafa iki ekleyince −1 ≤ x ≤ 5 bulunur. Tam sayı çözümler eksi birden beşe kadar yedi tanedir. Aynı değişken bir ürün sayısı olsaydı x ≥ 0 koşulu da eklenir ve sıfırdan beşe kadar altı değer kalırdı. Eşitsizliğin cebirsel aralığı ile bağlamın izin verdiği aralığın kesişimi alınmalıdır. Sınırdaki değerleri ayrıca yerine yaz: uçlarda kare dokuz olduğundan küçük veya eşit işareti bu değerleri kabul eder. Sıkı küçüklük verilseydi uçlar dışarıda kalırdı. Transfer: hedef yükseklik ve en büyük alan modeli. Bir hareketin yüksekliği, sıfır ile yedi saniye arasında H(t) = −(t−3)^2+16 metre olarak modellenmiş olsun. Yüksekliğin on iki metre olduğu zamanları bulmak için −(t−3)^2+16 = 12 yazılır. Düzenleyince (t−3)^2 = 4 olur. Karesi dört olan sayı iki veya eksi iki olduğundan t−3 = 2 ya da t−3 = −2 yazılır. Zamanlar beş ve bir saniyedir; ikisi de verilen aralıktadır. Kontrol için H(1) ve H(5) hesaplandığında on iki elde edilir. Üçüncü saniyede yükseklik on altıdır; hedefe tepenin iki yanında ulaşılır. Soru ilk ulaşma zamanını isteseydi yalnız bir saniye seçilirdi. İki cebirsel adayı bulmak ile sorunun istediği adayı seçmek farklı adımlardır. Çevresi yirmi sekiz metre olan bir dikdörtgende bir kenara x dersen komşu kenar 14−x olur. Alan A(x) = x(14−x) = −(x−7)^2+49 biçimindedir. Kenarların pozitif olması 0 < x < 14 koşulunu verir. Tepe girdisi yedi bu aralıkta bulunduğundan en büyük alan kırk dokuz metrekaredir; iki kenar da yedi olur. Sıfır veya on dört seçmek gerçek bir dikdörtgeni düzleştirir, bu nedenle kenar koşulları önemlidir. Alanın en büyük değerini bulmak için önce çevre ilişkisinden tek değişkenli model kurduk, sonra kare yapısını kullandık. Denklem kurma ve uygun değeri seçme ayrı gerekçeler gerektirir. Kontrol ve çıkış ödevi: girdi, değer ve çözüm kümesini ayır. Çözümünü üç soruyla denetle: istenen şey tepe girdisi mi, en büyük veya en küçük değer mi, yoksa bir eşitsizliğin bütün çözümleri mi? Tepe noktası koordinat çifti, fonksiyon değeri tek sayı, eşitsizlik çözümü ise aralık veya sayı kümesi olabilir. Bulduğun ifadenin türü soruyla uyuşmalıdır. Kare tamamladığında açarak eski ifadeyi geri üret; katsayıyı belirlediğinde verilen ek noktayı kontrol et. Kısıtlı aralıkta tepeyi ancak aralığa aitse kullan. Tam sayı sayarken uçların dahil olup olmadığını açıkça işaretle. Çıkış ödevinde f(x) = x^2+6x+11 fonksiyonunu düzenle. (x+3)^2+2 biçiminden minimum iki ve onu veren girdi eksi üç bulunur. İkinci soruda g(x) = −(x−2)^2+9 için 3 ≤ x ≤ 5 aralığındaki maksimumu ara. İkiye en yakın izinli girdi üç olduğundan sonuç sekizdir; tepe değeri dokuz bu aralıkta alınmaz. Son soruda (x+1)^2 < 16 eşitsizliğinin tam sayı çözümlerini say. −5 < x < 3 aralığı eksi dörtten ikiye kadar yedi tam sayı içerir. Cevapları kontrol ederken en az bir sınır değerini yerine yaz ve neden kabul edilmediğini açıkla. Böylece yalnız işlem değil, çözüm kümesini doğru yorumlama becerisi de sınanır.

3. Sık sorulanlar

   Sık sorulan sorular. Soru: Minimum değer ile minimumun alındığı girdi nasıl ayrılır? Cevap: f(x) = (x−4)^2+3 için minimum değer üçtür, bu değeri veren girdi dörttür. Tepe noktası ise (4,3) çiftidir. Soru hangisini istiyorsa o türde cevap verilmelidir. Soru: Tepe biçimindeki bilinmeyen a katsayısını verilen bir noktadan nasıl bulurum? Cevap: Noktanın x ve y koordinatlarını f(x) = a(x−h)^2+k eşitliğine yerleştirirsin. Nokta tepenin kendisi değilse kareli çarpan sıfır olmaz ve a için birinci derece denklem çözülür. Sonuç aynı noktada yeniden kontrol edilir. Soru: Tepe noktası çalışma aralığının dışındaysa maksimum nasıl bulunur? Cevap: Kareli farkın verilen aralıkta nasıl değiştiğini inceler, uygun uçları karşılaştırırsın. Tepeye en yakın veya en uzak izinli girdi, katsayının işaretine göre en büyük değeri belirleyebilir. İzin verilmeyen tepe değeri cevap olamaz. Soru: Kareli eşitsizlikte yalnız pozitif karekök tarafını almak yeterli midir? Cevap: Hayır. Örneğin u^2 ≤ 9 eşitsizliği −3 ≤ u ≤ 3 demektir. Yalnız u ≤ 3 yazmak çok büyük negatif değerleri yanlışlıkla kabul eder. İki taraflı sınır birlikte korunmalıdır. Soru: Bir hedef yüksekliğe iki farklı zamanda ulaşılması nasıl açıklanır? Cevap: Hedef tepenin altında olduğunda kareli denklem, simetri ekseninin iki yanında iki aday zaman verebilir. İkisinin de modelin zaman aralığında olup olmadığı denetlenir. İlk ulaşma zamanı soruluyorsa uygun adayların küçüğü seçilir.

4. Bölüm 4

   Şimdi öğrendiğini dene. Kısa testi çöz; her seçenekteki açıklamayla doğru yöntemi pekiştir. Teste başla.