10. Sınıf Matematik Dik Üçgende Trigonometri ve Üçgen Teoremleri Konu Anlatımı

Rehberli anlatımda söylenen yönlendirmeler dâhil tam metin. Düşünme araları sessizdir.

1. Giriş

   Konuya başlayalım. Üçgen geometrisi, ölçüleri birbirinden bağımsız görünen kenar ve açıları ortak bağıntılarla ilişkilendirir. Dik üçgende bir dar açıya göre oluşturulan kenar oranları, üçgen büyütülüp küçültülse bile değişmez; trigonometri bu değişmezliği adlandırır. Açıortay ve kenarortay gibi yardımcı elemanlar üçgenin iç yapısını görünür kılarken alan bağıntıları, şeklin taban ve yüksekliğindeki değişimin sonucu nasıl etkilediğini açıklar. Dik olmayan üçgenlerde sinüs ve kosinüs teoremleri, Pisagor teoreminin ve alan düşüncesinin daha genel bir uzantısıdır. Bu konuyu öğrenirken formülü yalnızca ezberlemek yerine hangi verinin hangi bağıntıyı çağırdığını, sonucun üçgen eşitsizliği ve açı büyüklüğüyle tutarlı olup olmadığını denetlemek gerekir.

2. Ayrıntılı anlatım

   Trigonometrik oranları benzerlikten üret. Bir dik üçgende seçilen dar açıya göre karşı dik kenarın hipotenüse oranı sinüs, komşu dik kenarın hipotenüse oranı kosinüs, karşı dik kenarın komşu dik kenara oranı tanjanttır. Kotanjant ise tanjantın çarpmaya göre tersidir. Aynı dar açıyı içeren dik üçgenler benzerdir; karşılıklı kenarların tamamı aynı katsayıyla değiştiği için bu oranlar sabit kalır. Kenarları 3, 4 ve 5 olan dik üçgende 3 uzunluğundaki kenarın karşısındaki açı için sinüs 3/5, kosinüs 4/5 ve tanjant 3/4 olur. Oranın hangi açıya göre kurulduğu yazılmadan “karşı” ve “komşu” sözcükleri anlam kazanmaz. Özdeşlikleri ve özel açıları denetim aracı yap. Pisagor bağıntısı, hipotenüsü bir kabul edilen dik üçgende sin²x + cos²x = 1 özdeşliğini verir. Tanjant sinüsün kosinüse, kotanjant kosinüsün sinüse oranıdır ve ikisinin çarpımı tanımlı olduklarında birdir. Eşkenar üçgenin yüksekliği 30°-60°-90° üçgenini, karenin köşegeni 45°-45°-90° üçgenini üretir. Böylece sin30° = 1/2, cos60° = 1/2 ve tan45° = 1 gibi değerler ezberden önce geometrik bir modele bağlanır. Bir oran birden büyük çıkarsa bunun sinüs veya kosinüs için mümkün olmadığı, fakat tanjant için mümkün olabileceği kontrol edilmelidir. Yardımcı elemanları oran ve merkezlerle ilişkilendir. İç açıortay, karşı kenarı açıyı oluşturan komşu kenarların uzunlukları oranında böler. Kenarortay bir köşeyi karşı kenarın orta noktasına bağlar; üç kenarortay ağırlık merkezinde kesişir ve ağırlık merkezi her kenarortayı köşeden başlayarak 2:1 oranında böler. Kenar orta dikmelerin kesim noktası çevrel çemberin, iç açıortayların kesim noktası iç teğet çemberin merkezidir. Yükseklikler ise diklik merkezinde kesişir. Bu özellikler aynı problemde birlikte kullanılabilir; ancak her “ortadan geçen” doğrunun kenarortay, her “dik olan” doğrunun yükseklik olduğu sanılmamalıdır. Tanımda başlangıç ve bitiş noktaları da belirleyicidir. Alanı taban, yükseklik ve sinüsle ifade et. Üçgen alanı bir taban ile o tabana ait yüksekliğin çarpımının yarısıdır. Yükseklikleri eşit iki üçgenin alanları tabanlarıyla, tabanları eşit iki üçgenin alanları yükseklikleriyle orantılıdır. İki kenar ve bu kenarların arasındaki açı biliniyorsa yükseklik, kenarlardan birinin sinüs bileşeni olarak yazılır ve alan A = a·b·sinC/2 biçimini alır. Benzer üçgenlerde uzunluklar benzerlik oranıyla, alanlar bu oranın karesiyle değişir. Alan sonucu kare birim taşır ve kenarların çarpımının yarısından büyük olamaz; çünkü bir açının sinüsü en fazla birdir. Bu sınır, hesaplamayı hızlıca denetler. Sinüs ve kosinüs teoremi arasında seçim yap. Sinüs teoremi, her kenarın karşısındaki açının sinüsüne oranının aynı olduğunu söyler: a/sinA = b/sinB = c/sinC. Bir kenar-karşı açı çifti ile başka bir kenar veya açı arandığında elverişlidir. Kosinüs teoremi c² = a² + b² − 2ab·cosC bağıntısıyla iki kenar ve aradaki açıdan üçüncü kenarı; üç kenardan bir açının kosinüsünü bulur. C açısı 90° olduğunda cosC sıfır olur ve bağıntı Pisagor teoremine dönüşür. Sonuçta en büyük açının en uzun kenarın karşısında olması, bulunan kenarın diğer iki kenarın farkı ile toplamı arasında kalması ve oranların tanım koşullarını sağlaması denetlenmelidir. Teorem seçerken önce bilinenleri kenar, açı ve karşılık ilişkisiyle etiketlemek etkilidir. Üç kenar biliniyorsa kosinüs teoremiyle açıya, iki kenar ile aradaki açı biliniyorsa yine kosinüs teoremiyle üçüncü kenara gidilir. Bir karşı kenar-açı çifti hazırsa sinüs teoremi daha kısa yol sunar. Yaklaşık değer gereken durumda ara adımları erken yuvarlamamak, sonucun doğruluğunu korur.

3. Sık sorulanlar

   Sık sorulan sorular. Soru: Sinüs ve kosinüs oranlarında hipotenüs nasıl belirlenir? Cevap: Hipotenüs yalnız dik üçgende, 90 derecelik açının karşısındaki ve üçgenin en uzun olan kenarıdır. Soru: Tanjant ile kotanjant arasındaki ilişki nedir? Cevap: Aynı açı için tanjant karşı/komşu, kotanjant komşu/karşı oranıdır; tanımlı olduklarında çarpımları birdir. Soru: Ağırlık merkezi kenarortayı hangi oranda böler? Cevap: Ağırlık merkezi kenarortayı köşeye yakın parça iki, kenarın orta noktasına yakın parça bir olacak biçimde 2:1 oranında böler. Soru: Üçgen alanında sinüslü bağıntı ne zaman kullanılır? Cevap: İki kenar uzunluğu ile bu iki kenarın arasında kalan açının ölçüsü veya sinüsü bilindiğinde A = ab·sinC/2 kullanılabilir. Soru: Sinüs teoremi ile kosinüs teoremi nasıl seçilir? Cevap: Bir kenar-karşı açı çifti varsa sinüs; iki kenar-aradaki açı ya da üç kenar bilgisi varsa çoğunlukla kosinüs teoremi seçilir.

4. Bölüm 4

   Şimdi öğrendiğini dene. Kısa testi çöz; her seçenekteki açıklamayla doğru yöntemi pekiştir. Teste başla.