10. Sınıf Matematik Karekök, Rasyonel ve Ters Fonksiyonlar Konu Anlatımı

Rehberli anlatımda söylenen yönlendirmeler dâhil tam metin. Düşünme araları sessizdir.

1. Giriş

   Konuya başlayalım. Karekök ve rasyonel fonksiyonlar, tanım kümesinin doğal biçimde sınırlandığı iki önemli referans ailesidir. Karekök fonksiyonunda çift dereceli kökün içi negatif olamaz; rasyonel fonksiyonda payda sıfır olamaz. Bu kısıtlar grafiğin başlangıç noktasını, kopukluğunu ve asimptotlarını belirler. Öteleme ve ölçekleme işlemleri y=a√(x−h)+k ile y=a/(x−h)+k biçimlerinde okunabilir. Ters fonksiyon, uygun bir fonksiyonun girdi ve çıktı rollerini değiştirirken bileşke fonksiyon bir çıktıyı başka bir fonksiyonun girdisi yapar. Denklem ve eşitsizlik çözümünde cebirsel dönüşümden önce tanım koşulunu yazmak, elde edilen yabancı kökleri ve yasak değerleri ayıklamanın temel güvencesidir.

2. Ayrıntılı anlatım

   Karekök referansını tanım koşuluyla oku. f(x)=√x gerçek sayılarda yalnız x≥0 için tanımlıdır ve sonuçları da negatif değildir. Grafik (0,0) noktasından başlar, artar fakat artış hızı giderek azalır. g(x)=a√(x−h)+k biçiminde başlangıç noktası (h,k)’dır. Kök içi x−h≥0 koşulundan a’nın işaretinden bağımsız olarak tanım kümesi [h,∞) elde edilir. a pozitif ise değerler k’den yukarı, a negatif ise k’den aşağı uzanır. Parantezdeki işaret yatay ötelemeyi ters yönde gösterir. Kök içi doğrusal ifade daha genel olduğunda eşitsizlik çözülerek tanım kümesi belirlenir. Rasyonel referansta yasak değer ve asimptotu belirle. f(x)=1/x fonksiyonunda x=0 tanımsızdır; grafik eksenlere yaklaşır ancak onları kesmek zorunda değildir. g(x)=a/(x−h)+k biçiminde payda x−h olduğundan x=h tanım kümesinden çıkar ve düşey asimptot x=h olur. Fonksiyon değeri hiçbir zaman k’ya eşit olamadığı için yatay asimptot y=k ve değer kümesi ℝ\{k} biçimindedir. a’nın işareti kolların asimptotlara göre hangi bölgelerde bulunduğunu, büyüklüğü ise dikey ölçeği belirler. Bir ifadeyi sadeleştirirken iptal edilen çarpanın oluşturduğu eski yasak değer unutulmamalıdır. Ters fonksiyonda girdi ve çıktıyı değiştir. Bir fonksiyonun tersi, çıktıyı yeniden başlangıç girdisine götürür. Fonksiyonun tersinin fonksiyon olabilmesi için seçilen tanım kümesinde bire bir olması gerekir. f(x)=3x−4 için y=3x−4 yazılır, x ile y değiştirilip y yalnız bırakılır ve f⁻¹(x)=(x+4)/3 bulunur. Doğrulama için f(f⁻¹(x)) ve f⁻¹(f(x)) uygun tanım kümelerinde x’e eşit olmalıdır. f(x)=x² bütün gerçeklerde bire bir değildir; ancak x≥0 kısıtıyla tersi √x olur. Ters fonksiyonun tanım kümesi asıl fonksiyonun görüntü kümesidir. Bileşkede işlem sırasını ve kümeleri koru. Bileşke (f∘g)(x)=f(g(x)) biçimindedir; önce içteki g, sonra dıştaki f uygulanır. f∘g ile g∘f genellikle aynı değildir. Bileşkenin tanımlı olması için x, g’nin tanım kümesinde bulunmalı ve g(x) değeri f’nin tanım kümesine girmelidir. Örneğin dış fonksiyon karekökse iç fonksiyonun çıktısı negatif olamaz. Sayısal değerde ara sonucu açıkça yazmak sıra hatasını azaltır. Ters fonksiyonla bileşkede uygun koşullarda f⁻¹∘f özdeşlik fonksiyonudur; ancak kısıtlı tanım ve görüntü kümeleri dikkate alınmadan bu sonuç her ifadeye otomatik uygulanamaz. Denklem ve eşitsizlikte adayları geri denetle. Karekök denkleminde kök yalnız bırakılıp iki tarafın karesi alınabilir; fakat kare alma eş değer olmayan aday üretebildiği için sonuç başlangıç denkleminde kontrol edilir. Kökün karşısındaki ifade de negatif olmamalıdır. Rasyonel denklemde paydaları yok etmek için ortak çarpanla çarpılırken paydaları sıfır yapan değerler baştan yasaklanır. Rasyonel eşitsizlikte pay ve paydanın kökleri işaret tablosuna yerleştirilir; payda kökü hiçbir zaman çözüme eklenmez. Karekök eşitsizliğinde tanım aralığı ile cebirsel eşitsizlik çözümünün kesişimi alınır. Sonuç kümesi açık-kapalı uçlarla doğru yazılmalıdır. Çözüm sürecini güvenli kılmak için ilk satırda yasak değerler ve kök içi koşulları ayrı bir kutuda tutulabilir. Payda temizlendiğinde elde edilen denklemin her kökü eski ifadede tanımlı olmayabilir. Kare alma sonrasında da iki tarafın işaret koşulu yeniden incelenir. İşaret tablosunda kritik noktalar sıralanır, her aralıktan bir deneme değeri seçilir ve yalnız istenen işareti veren aralıklar tanım kümesiyle kesiştirilir. Aralık gösteriminde açık uç, sınır değerinin çözüme katılmadığını; kapalı uç ise katıldığını belirtir. Sonsuzluk hiçbir zaman sonlu bir sayı gibi kümeye dâhil edilemeyeceği için sonsuzluk tarafında daima açık uç kullanılır.

3. Sık sorulanlar

   Sık sorulan sorular. Soru: Karekök fonksiyonunun tanım kümesi neden sınırlıdır? Cevap: Gerçek sayılarda çift dereceli kökün içi negatif olamayacağı için kök içini sıfır veya pozitif yapan girdiler alınır. Soru: Rasyonel fonksiyonda düşey asimptot nasıl bulunur? Cevap: Sadeleşmeyen payda sıfıra eşitlenir; y=a/(x−h)+k biçiminde düşey asimptot x=h’dir. Soru: Her fonksiyonun ters fonksiyonu var mıdır? Cevap: Hayır. Ters bağıntının fonksiyon olabilmesi için asıl fonksiyonun seçilen tanım kümesinde bire bir olması gerekir. Soru: Bileşke fonksiyonda önce hangisi uygulanır? Cevap: (f∘g)(x) gösteriminde önce içteki g fonksiyonu, sonra elde edilen sonuca dıştaki f fonksiyonu uygulanır. Soru: Karekök denkleminde bulunan kök neden kontrol edilir? Cevap: İki tarafın karesini alma işlemi başlangıç denklemini sağlamayan yabancı adaylar üretebildiği için geri kontrol zorunludur.

4. Bölüm 4

   Şimdi öğrendiğini dene. Kısa testi çöz; her seçenekteki açıklamayla doğru yöntemi pekiştir. Teste başla.