8. Sınıf Özdeşlikleri Alanla Modelleme Konu Anlatımı

Rehberli anlatımda söylenen yönlendirmeler dâhil tam metin. Düşünme araları sessizdir.

1. Giriş

   Konuya başlayalım. Özdeşlik, bir şekli iki farklı yoldan ölçüp aynı sonuca ulaşmak gibi düşünülebilir. Bir toplamın karesini yalnız kareleri toplayarak hesaplamak neden eksik kalır? Bir farkın karesinde küçük kare neden yeniden eklenir? Bu soruları alan parçalarıyla cevaplayacağız. Bir kare çiz ve iki komşu kenarını aynı biçimde iki parçaya ayır. Hesap boyunca her cebirsel terimin hangi bölgeyi anlattığını işaretle. Böylece ezberlenen formül yerine görülen bir ilişki kullanmış olacaksın.

2. Ayrıntılı anlatım

   Toplamın karesinde dört bölge. Bir kenarı sekiz artı üç santimetre olan kareyi düşün. Her kenarı sekiz ve üç olarak ayırdığında içeride dört bölge oluşur: bir sekize sekiz kare, bir üçe üç kare ve iki sekize üç dikdörtgen. Alanlar 64, 9, 24 ve 24 santimetrekaredir. İki dikdörtgenin toplamı 48 olur. Büyük karenin alanı 121'dir; yalnız 64 ile 9 toplansaydı 48 eksik kalırdı. Genel yazımda bu iki dikdörtgen iki çarpı a çarpı b terimini verir. Orta terimin neden iki kat olduğu sorusunun cevabı bu iki ayrı bölgedir. Çizimde ikisini farklı renklerle gösterebilirsin. Farkın karesinde köşeyi geri ekle. Bir kenarı on santimetre olan kareden her kenarı üç santimetre daha kısa bir kare çizelim. Yeni kenar yedi, yeni alan kırk dokuz santimetrekaredir. Alanı büyük kareden şeritler çıkararak da düşünebiliriz. Yüzden otuz ve otuz çıkarıldığında köşedeki üçe üç kare iki kez çıkarılmış olur. Bu nedenle dokuz yeniden eklenir: yüz eksi altmış artı dokuz, kırk dokuz eder. Küçük karenin alanını geri eklemezsen sonuç kırk olur. Kareleri doğrudan çıkarmak ise doksan bir verir ve bambaşka bir alanı anlatır. Farkın karesi ile iki kare farkını şekil üzerinden ayrı ayrı tanımla. İki kare farkını çarpıma dönüştür. Kenarları yirmi bir ve on bir santimetre olan karelerin alan farkını hesaplayalım. Ayrı ayrı kare almak mümkündür; fakat yirmi bir eksi on bir ile yirmi bir artı on biri çarpmak daha kısa olabilir. On çarpı otuz iki, yani 320 santimetrekare bulunur. Genel ilişki, iki kare farkının fark ve toplam çarpımı olmasıdır. Sonucu denetlemek için 441 eksi 121 işlemini yapabiliriz. Burada tek başına kenar farkının karesini almak yüz sonucunu verir ve doğru alan farkını göstermez. Hangi özdeşliğin kullanılacağını işaret sayısına değil, ifadenin bütün yapısına bakarak seçmeliyiz. Eksik orta katsayıyı modelden bul. Bir ifade x kare artı b çarpı x artı 25 olsun ve bunun x artı beşin karesi olduğu söylensin. Son kare bölgenin alanı 25 olduğundan küçük kenar beştir. Orta bölgelerin her biri beş çarpı x alanına sahiptir; ikisi birlikte on çarpı x eder. Bu nedenle b değeri ondur. Sabit terim olan 25'i orta katsayı sanmak, kare bölgeyi dikdörtgenlerle karıştırmaktır. Harfler zor görünüyorsa önce x yerine iki veya üç koyarak alanları say. Fakat tek bir deneme özdeşliğin her değerde doğru olduğunu kanıtlamaz; dört bölgenin genel açıklamasını da kurmalısın. Ortak çarpanla bütünden kenara. Sekiz santimetrelik ortak kenara sahip bir kare ile üç santimetre genişliğinde bir şeridi yan yana yerleştirelim. Toplam alan sekizin karesi artı üç çarpı sekiz, yani 88 santimetrekaredir. Ortak sekiz çarpanını ayırınca sekiz çarpı on bir bulunur. Bu, oluşan dikdörtgenin diğer kenarının on bir santimetre olduğunu gösterir. Ortak çarpan parantezine alma soyut bir kısaltma değil, aynı yüksekliği paylaşan bölgeleri birleştirme işlemidir. Cevabı yalnız 24 vermek şerit alanını, yalnız sekiz vermek kare kenarını anlatır. Sorunun bütün dikdörtgenin kenarını istediğini unutmamak için modelde aranan kenarı belirgin olarak işaretle. Hatanı onar ve yeniden dene. Bir öğrenci dokuz artı ikinin karesini dokuzun karesi artı ikinin karesi diye hesaplasın. Doğru sonuçla arasındaki fark iki çarpı dokuz çarpı iki, yani 36'dır. Eksik olan iki dikdörtgeni çizerek hatayı onar. Bağımsız ikinci kontrol: on iki ile sekizin kareleri farkı, dört çarpı yirmi üzerinden seksen bulunur. Önce bu iki hesabı kendin yap, sonra verilen kontrollerle karşılaştır. Hangi terimin hangi alan parçası olduğunu açıklayabiliyorsan formülü anlamışsın demektir. Bu pakette yalnız toplamın karesi, farkın karesi, iki kare farkı ve ortak çarpan ilişkileri vardır; ileri ikinci derece çarpanlara ayırma yöntemlerine geçilmez.

3. Sık sorulanlar

   Sık sorulan sorular. Soru: Toplamın karesindeki iki çarpım nereden gelir? Cevap: Alan modelindeki iki eş dikdörtgenden gelir. Her biri iki kenar parçasının çarpımıdır; ikisi birlikte orta terimi oluşturur. Soru: Farkın karesinde küçük kare neden eklenir? Cevap: İki şerit çıkarılırken kesişen köşe karesi iki kez çıkarılır. Gerçekte yalnız bir kez çıkarılması için bir kopya geri eklenir. Soru: İki kare farkıyla farkın karesi aynı mı? Cevap: Hayır. İki kare farkı toplam ile farkın çarpımıdır; farkın karesinde ayrıca iki çapraz çarpım terimi bulunur. Soru: Tam kare ifadenin orta katsayısı nasıl bulunur? Cevap: Küçük kenarı belirledikten sonra iki eş dikdörtgenin katsayılarını toplarsın. Orta katsayı, sabit kenarın iki katıdır. Soru: Ortak çarpan alan modelinde neyi gösterir? Cevap: Yan yana birleştirilen bölgelerin ortak yüksekliğini veya ortak kenarını gösterir. Diğer kenar uzunlukları parantez içinde toplanır. Soru: Özdeşlikte tek sayı denemek kanıt olur mu? Cevap: Tek deneme bir hatayı yakalayabilir; fakat bütün değerler için doğruluğu kanıtlamaz. Genel alan modeli veya cebirsel dağıtma açıklaması gerekir.

4. Bölüm 4

   Şimdi öğrendiğini dene. Kısa testi çöz; her seçenekteki açıklamayla doğru yöntemi pekiştir. Teste başla.