7. Sınıf Matematik Prizmalar, Yüzey Alanı, Hacim ve Birimler Konu Anlatımı

Rehberli anlatımda söylenen yönlendirmeler dâhil tam metin. Düşünme araları sessizdir.

1. Giriş

   Konuya başlayalım. Bir kutunun kaplanması için gereken karton miktarı yüzey alanıyla, içine sığacak madde miktarı ise hacimle ilgilidir. Bu iki niceliği karıştırmamak için üç boyutlu cismin yüzlerini, ayrıtlarını ve taban-yükseklik ilişkisini doğru okumak gerekir. Küp ve dikdörtgenler prizması farklı yönlerden bakıldığında iki boyutlu dikdörtgen veya kare görünümler verir; açınımları ise bütün yüzlerin düzleme serilmiş hâlidir. Hacim birimlerinin sıvı ölçme birimleriyle bağlantısı, akvaryum, depo, paketleme ve oda hacmi gibi gerçek yaşam problemlerini çözmemizi sağlar.

2. Ayrıntılı anlatım

   Prizmanın yapısı ve görünümleri. Dikdörtgenler prizmasının 6 yüzü, 12 ayrıtı ve 8 köşesi vardır. Karşılıklı yüzleri eş ve paralel dikdörtgenlerdir. Küp de aynı sayıda yüz, ayrıt ve köşeye sahiptir; bütün yüzleri eş karelerden oluşur. Üstten bakıldığında uzunluk ile genişlik, önden bakıldığında uzunluk ile yükseklik, yandan bakıldığında genişlik ile yükseklik görülür. Görünüm sorularında bakış yönüne dik olan boyut görünmez; kalan iki boyut görünüm dikdörtgeninin kenarlarını oluşturur. Açınım ve toplam yüzey alanı. Açınım, cismin yüzlerinin ayrıt bağlantıları korunarak düzleme açılmasıdır. Küp açınımında birbirine bağlı altı eş kare bulunur; katlandığında yüzler üst üste gelmemelidir. Kenarları a, b ve c olan dikdörtgenler prizmasında ab, ac ve bc alanlı yüzlerden ikişer tane vardır. Toplam yüzey alanı 2(ab + ac + bc) olur. Küpte her yüz a² olduğundan toplam alan 6a²’dir. Üstü açık kutularda kapak yüzü toplamdan çıkarılmalıdır. Birim küp ve hacim bağıntısı. Hacim, cismin kapladığı üç boyutlu uzayın ölçüsüdür. Ayrıtı bir birim olan küp bir birimküp hacim taşır. Bir dikdörtgenler prizmasında bir tabakadaki birim küp sayısı taban alanına, tabaka sayısı yüksekliğe eşittir. Bu nedenle hacim V = taban alanı × yükseklik = a·b·c bağıntısıyla bulunur. Küpte V = a³ olur. Aynı toplam sayıda birim küp farklı biçimde dizilse bile boşluk ve üst üste binme yoksa toplam hacim değişmez. Küp birimleri arasında dönüşüm. Uzunluk biriminde her basamak 10 kat değişirken hacim biriminde üç boyut birlikte değiştiği için her basamak 1000 kat değişir. 1 m³ = 1000 dm³, 1 dm³ = 1000 cm³ ve 1 cm³ = 1000 mm³’tür. Büyük birimden küçük birime geçerken 1000 ile çarpılır; küçükten büyüğe geçerken 1000’e bölünür. Dönüşümün yönünü yaklaşık büyüklükle kontrol etmek önemlidir: aynı hacmin santimetreküp cinsinden sayısal değeri metreküpten daha büyük olmalıdır. Litre bağlantısı ve problem çözme. Sıvı ölçülerinde 1 dm³ = 1 litre ve 1 cm³ = 1 mililitredir. Böylece 25 000 cm³ hacimli bir kap 25 litre alır. Bir akvaryumun iç hacmi hesaplanırken iç ölçüler kullanılmalı, santimetre cinsinden çarpım santimetreküp olarak bulunup 1000’e bölünerek litreye çevrilmelidir. Kap yalnız belirli bir oranda doluysa kapasite bu oranla çarpılır. Yüzey alanı sorularında kare birim, hacim sorularında küp birim kullanmak sonucun anlamını açıkça gösterir.

3. Sık sorulanlar

   Sık sorulan sorular. Soru: Yüzey alanı ile hacim arasındaki temel fark nedir? Cevap: Yüzey alanı cismin dış yüzlerinin kapladığı alanı, hacim ise cismin üç boyutlu uzayda kapladığı miktarı ölçer. Soru: Dikdörtgenler prizmasının toplam yüzey alanı nasıl bulunur? Cevap: Karşılıklı eş yüzler dikkate alınarak ab, ac ve bc alanları toplanır ve sonuç ikiyle çarpılır. Soru: Bir prizmanın hacmi neden taban alanı ile yüksekliğin çarpımıdır? Cevap: Her tabakada taban alanı kadar birim küp bulunur; yükseklik de üst üste gelen tabaka sayısını verir. Soru: Bir metreküp kaç litreye eşittir? Cevap: Bir metreküp 1000 desimetreküptür ve bir desimetreküp bir litre olduğundan 1000 litreye eşittir. Soru: Akvaryum hacmi litreye nasıl çevrilir? Cevap: İç ölçüler santimetre cinsinden çarpılır; bulunan santimetreküp değeri 1000’e bölünerek litre elde edilir.

4. Bölüm 4

   Şimdi öğrendiğini dene. Kısa testi çöz; her seçenekteki açıklamayla doğru yöntemi pekiştir. Teste başla.