7. Sınıf Matematik Rasyonel Sayılar ve İşlemler Konu Anlatımı

Rehberli anlatımda söylenen yönlendirmeler dâhil tam metin. Düşünme araları sessizdir.

1. Giriş

   Konuya başlayalım. Rasyonel sayılar, bir bütünün parçalarını göstermekten borç-alacak durumlarına ve sıcaklık değişimlerine kadar pek çok niceliği açıklamamızı sağlar. Paydası sıfır olmayan a/b biçimindeki her sayı rasyoneldir; tam sayılar da paydaları 1 seçilerek bu biçimde yazılabilir. Bir rasyonel sayıyı yalnızca kesir olarak değil, ondalık gösterimle ve sayı doğrusu üzerindeki konumuyla birlikte düşünmek önemlidir. Böylece işaret, büyüklük ve işlem sonucu hakkındaki kararlarımız ezbere değil anlamlı ilişkilere dayanır.

2. Ayrıntılı anlatım

   Rasyonel sayı ve farklı gösterimleri. a ve b tam sayı, b sıfırdan farklı olmak üzere a/b bir rasyonel sayıdır. 3/4 sayısı 0,75; −5 ise −5/1 biçiminde gösterilebilir. Bir kesrin ondalık gösterimi sonlu bitebilir veya belirli bir rakam grubu sürekli tekrar edebilir. Örneğin 1/3 = 0,333… olur. Ondalık gösterimi kesre çevirirken basamak değerlerinden yararlanır, kesri sadeleştiririz. Gösterimler değişse de sayı doğrusundaki nokta ve niceliğin değeri değişmez. Karşılaştırma, sıralama ve arada olma. Sayı doğrusunda sağdaki rasyonel sayı daha büyüktür. Negatif sayılarda sıfıra yakın olanın daha büyük olduğunu unutmamak gerekir; −1/4, −3/4’ten büyüktür. Kesirleri karşılaştırmak için ortak payda oluşturabilir veya ondalık gösterime geçebiliriz. İki farklı rasyonel sayı arasında her zaman başka bir rasyonel sayı bulunur. Örneğin iki sayının aritmetik ortalaması bu aralıkta yer alır. Bu özellik, rasyonel sayıların sayı doğrusunda sık bir yapı oluşturduğunu gösterir. Toplama ve çıkarmada işaret kontrolü. Toplama ve çıkarmada önce ortak payda kurulur. Paydalar eşitlenmeden payları toplamak, kesrin bütünle ilişkisini bozar. Aynı işaretli sayılar toplanırken mutlak değerler toplanır ve ortak işaret korunur. Farklı işaretlilerde mutlak değeri büyük olandan küçük olan çıkarılır, büyük mutlak değerin işareti yazılır. Çıkarma işlemi, çıkan sayının toplama işlemine göre tersini eklemeye dönüştürülebilir: 2/3 − (−1/4) = 2/3 + 1/4. Çarpma, bölme ve işlem sırası. Çarpmada paylar kendi arasında, paydalar kendi arasında çarpılır; işlem öncesi çapraz sadeleştirme sayıları küçülterek hata riskini azaltır. İşaretler aynıysa sonuç pozitif, farklıysa negatiftir. Bölme işleminde ikinci kesir sıfır olmamak koşuluyla ters çevrilip çarpılır. Birden çok işlem varsa parantez, çarpma-bölme ve toplama-çıkarma sırası izlenir. Her adımda sonucun işaretini yaklaşık olarak öngörmek, hesap bittikten sonra güçlü bir doğrulama sağlar. Problemi rasyonel sayıyla modelleme. Bir problemde “kalan”, “değişim”, “birim başına” ve “bütünün şu kadarı” gibi ifadeler işlem seçimini yönlendirir. Önce bütünün ne olduğu ve kullanılan birimin aynı olup olmadığı belirlenir. Ardından verilenler bir sayı cümlesine dönüştürülür. Örneğin bir deponun önce 3/10’u, sonra kalan miktarın değil de tüm deponun 1/5’i kullanılmışsa toplam kullanılan pay 3/10 + 1/5’tir. Sonuç, bağlama göre litre, derece veya para birimiyle yeniden ifade edilmelidir.

3. Sık sorulanlar

   Sık sorulan sorular. Soru: Her tam sayı aynı zamanda rasyonel sayı mıdır? Cevap: Evet. Her tam sayı paydası 1 olan bir kesir biçiminde yazılabildiği için rasyonel sayılar kümesinin içindedir. Soru: Negatif kesirler karşılaştırılırken neden sıfıra yakın olan büyüktür? Cevap: Sayı doğrusunda sağa gidildikçe değer büyür; negatif sayılardan sıfıra yakın olan diğerinin sağında yer alır. Soru: Rasyonel sayıları toplarken paydalar neden eşitlenir? Cevap: Paydalar parçaların büyüklüğünü belirtir; yalnızca aynı büyüklükteki parçaların adetleri doğrudan toplanabilir. Soru: Bir kesre bölme işlemi nasıl yapılır? Cevap: Bölen kesir sıfır değilse çarpma işlemine göre tersi alınır ve bölünen kesir bu ters kesirle çarpılır. Soru: İki rasyonel sayı arasında başka bir rasyonel sayı bulunur mu? Cevap: Evet. Farklı iki rasyonel sayının aritmetik ortalaması da rasyoneldir ve bu iki değerin arasında yer alır.

4. Bölüm 4

   Şimdi öğrendiğini dene. Kısa testi çöz; her seçenekteki açıklamayla doğru yöntemi pekiştir. Teste başla.