7. Sınıf Matematik: İşaretli Rasyonel Sayılarla Model Kurma

Rehberli anlatımda söylenen yönlendirmeler dâhil tam metin. Düşünme araları sessizdir.

1. Giriş

   Konuya başlayalım. Sıcaklık, yükseklik değişimi ve sayı doğrusu hareketi gibi durumlarda sayı yalnız miktarı değil yönü de anlatır. Bu derste işaretli rasyonel sayıları bir bağlam içinde okuyacak; başlangıç, değişim ve son değer arasındaki ilişkiyi kuracaksın. Negatif işaretini görmezden gelmek, ölçülen durumu değiştirir. Önce sıfırın neyi temsil ettiğini ve hangi yönün pozitif kabul edildiğini belirle. Ondalık sayıları gerekirse eş paydalı kesirlerle düşün. Her çözümün sonunda hareketi tersine izleyerek başlangıca dön. Böylece bir işlemin işaretini ezberlemek yerine yaptığı değişimi model üzerinde açıklayabilirsin.

2. Ayrıntılı anlatım

   Ön değerlendirme: konum ile değişimi ayır. Sayı doğrusunda eksi üç noktası bir konumdur; sağa beş birim hareket ise bir değişimdir. Konumla değişimi topladığında son konumu bulursun: −3 + 5 = 2. Hareket beş birim olduğu hâlde sonuç iki olabilir, çünkü sıfırdan başlamadın. Şimdi eksi üçten sıfıra üç, sıfırdan ikiye iki adım ilerle. Toplam beş adımı gör. Rasyonel sayılarda da aynı düşünce geçerlidir: yarım veya çeyrek birimlik adımlar kullanılabilir. İşareti sayıdan ayırmadan oku; “eksi iki buçuk” bütünüyle bir konum belirtir. Kâğıdında başlangıç noktasını, hareket okunu ve son noktayı farklı işaretlerle göstermek bu üç niceliği karıştırmanı engeller. İşaretli başlangıçtan son değeri ve farkı bul. Başlangıç sıcaklığı −2,5 °C olsun ve sıcaklık 4,25 °C artsın. Son sıcaklık −2,5 + 4,25 = 1,75 °C olur. Önce sıfıra ulaşmak için 2,5 derecelik artış kullanıldı, geriye 1,75 derecelik artış kaldı. Başlangıcın mutlak değerini doğrudan artışa eklemek farklı sonuç üretir. İki ölçüm verilirse değişim son eksi ilk olarak bulunur. −4,5 değerinden 3,25 değerine artış 3,25 − (−4,5) = 7,75 birimdir. Kontrol için −4,5 + 7,75 = 3,25 yaz. Son değer ile değişim miktarının aynı olmadığını hem işlem hem sayı doğrusu üzerinde açıklamaya çalış. Eş yönlü değişimleri bir araya getir. Bir robot her adımda 0,75 metre alçalıyorsa, yükselme pozitif kabul edildiğinde tek adımın değişimi −0,75 metredir. Üç adımın toplam değişimi 3 × (−0,75) = −2,25 metredir. İşaret aşağı yönü, mutlak değer toplam değişim büyüklüğünü gösterir. Soruda başlangıç yüksekliği verilmediyse son yüksekliği bulduğunu iddia etme; yalnız değişim hesaplanmıştır. Şimdi üç tane aşağı yönlü, eş uzunlukta ok çiz. Okları uç uca ekleyince tek büyük aşağı yönlü ok elde edersin. Adım sayısını değişime toplamak bu modeli karşılamaz; her adım aynı miktarı tekrar ettiği için çarpma kullanılır. Sonucu adım sayısına bölerek tek adım değişimini geri bulabilirsin. Toplam değişimi eş adımlara paylaştır. Toplam değişim −7,5 metre ve hareket beş eş adım olsun. Tek adımın değişimi −7,5 ÷ 5 = −1,5 metredir. Beş pozitif bir adım sayısıdır; toplamın yönünü tersine çevirmez. Sonucu kontrol etmek için beş tane −1,5 değerini topla veya 5 × (−1,5) işlemini yap. Eğer yalnız 1,5 yazarsan büyüklüğü bulmuş ama yönü kaybetmiş olursun. “Eş adım” ifadesi kullanılmadığında tek bir adımın değişimi toplamdan belirlenemeyebilir; farklı adımlar aynı toplamı oluşturabilir. Model kurarken hangi bilginin eşit paylaşımı mümkün yaptığını söyle. Bu açıklama, bölme kuralını bir işlem alışkanlığı olmaktan çıkarıp verilere dayalı bir karar hâline getirir. Ardışık ters yönlü hareketleri sırayla izle. İşaretçi 4,5 noktasından önce 1,75 birim sola, sonra 0,5 birim sağa gitsin. İlk hareket sonunda 4,5 − 1,75 = 2,75 noktasına gelir. İkinci hareket sonunda 2,75 + 0,5 = 3,25 olur. İki hareketi de çıkarmak ikinci yönü yanlış okumaktır; ilk ara konumu cevap seçmek ise hareketi tamamlamamaktır. Şimdi sonuçtan geriye git: sağa yapılan yarım birimi çıkar, ardından sola yapılan 1,75 birimi ekle. 3,25 − 0,5 + 1,75 = 4,5 başlangıcını bulursun. Ters kontrol sırasında hem işlem yönünün hem sıranın geri alındığını izle. Ondalık basamakları hizalayarak yazmak bu anlam denetimine ek olarak hesap hatalarını da azaltır. Son durumdan başlangıcı geri kur. Bir ölçüm her aşamada 1,5 birim azalsın ve üç aşama sonunda −1,25 olsun. Toplam değişim 3 × (−1,5) = −4,5 birimdir. Başlangıç artı değişim son değeri verir. O hâlde başlangıç, −1,25 − (−4,5) = 3,25 olmalıdır. Kontrol 3,25 − 4,5 = −1,25 biçimindedir. Başlangıcı ararken azalmayı bir kez daha uygularsan gelecekteki bir durumu hesaplarsın. Yanlış cevabını incelerken “konum mu değişim mi, yön ne, kaç aşama var?” sorularını sırayla yanıtla. Kendi üç aşamalı hareketini çizip bir arkadaşına son durumdan başlangıcı buldurmayı dene. İki çözüm aynı modele dönüyorsa işlemlerin anlamını tutarlı biçimde kurabiliyorsun demektir.

3. Sık sorulanlar

   Sık sorulan sorular.

4. Bölüm 4

   Şimdi öğrendiğini dene. Kısa testi çöz; her seçenekteki açıklamayla doğru yöntemi pekiştir. Teste başla.