10. Sınıf Matematik Sayı Teorisi: Bölünebilme, EBOB, EKOK ve Kalan Konu Anlatımı

Rehberli anlatımda söylenen yönlendirmeler dâhil tam metin. Düşünme araları sessizdir.

1. Giriş

   Konuya başlayalım. Sayı teorisi, doğal sayıların çarpan, kat ve kalan yapısını inceler. Asal çarpanlara ayırma bir sayının yapı taşlarını görünür kılar; bölen sayısı, tam karelik ve ortak bölen gibi birçok bilgi aynı gösterimden türetilebilir. EBOB ortak ölçüyü veya en büyük eş parçayı, EKOK ortak tekrarı veya en erken buluşmayı temsil eder. Kalan aritmetiği ise çok büyük sayıları bütünüyle hesaplamadan, yalnız belirli bir bölene göre davranışlarını izlemeyi sağlar. Bu araçları güvenle kullanmak için “en büyük parça mı, ilk ortak zaman mı, kalan mı?” sorusunu bağlamda ayırt etmek gerekir. Sonuç, asal çarpan gösterimi, Öklid algoritması veya doğrudan bölme ile ikinci kez denetlenebilir.

2. Ayrıntılı anlatım

   Asal çarpanlara ayırmayı temel temsil yap. Birden büyük her doğal sayı, asal sayıların çarpımı olarak sıra dışında tek biçimde yazılır. 360 = 2³·3²·5 gösterimi sayının tüm bölenlerini sistematik üretir. Bir pozitif bölen oluşturmak için 2’nin üssü 0 ile 3, 3’ün üssü 0 ile 2 ve 5’in üssü 0 ile 1 arasında seçilir. Seçim sayıları çarpıldığı için bölen sayısı (3+1)(2+1)(1+1)=24 olur. Bir sayının tam kare olması için asal çarpan gösterimindeki bütün üslerin çift olması gerekir. Bu temsil, bölünebilme sorularında gerekli asal çarpanların yeterli üslerle bulunup bulunmadığını da açıkça gösterir. EBOB ve EKOK’u asal üslerle kur. İki sayının EBOB’u ortak asal çarpanların küçük üsleri, EKOK’u ise iki gösterimde bulunan bütün asal çarpanların büyük üsleri alınarak hesaplanır. 72 = 2³·3² ve 90 = 2·3²·5 için EBOB 2·3² = 18, EKOK 2³·3²·5 = 360’tır. Pozitif a ve b sayıları için EBOB(a,b)·EKOK(a,b)=a·b bağıntısı hesap kontrolü sağlar. Birden fazla sayıda yöntem sırayla uygulanabilir. EBOB sonucun her sayıyı bölmesi, EKOK’un ise her sayının katı olması gerektiğinden büyüklük ve bölünebilme kontrolü yapılmalıdır. Bağlamdan ortak bölen veya ortak katı seç. Eşit uzunlukta en büyük parçalara ayırma, artmayacak biçimde aynı büyüklükte paketleme ve en büyük kare karo gibi durumlar EBOB’a yönelir. Belirli aralıklarla tekrarlanan olayların ilk kez birlikte gerçekleşmesi, farklı uzunluktaki adımların aynı noktaya ulaşması veya paydaları eşitleme durumları EKOK gerektirir. “En az kaç dakika sonra?” ifadesi tek başına yeterli değildir; olayların periyodik olup olmadığı incelenmelidir. Bir problemde bulunan EBOB parça büyüklüğü olabilirken parça sayısını bulmak için toplam uzunlukların bu değere ayrıca bölünmesi gerekebilir. Sonuç birimi ve istenen nicelik son adımda yeniden okunmalıdır. Kalan sınıflarında toplama ve çarpma yap. a sayısının m ile bölümünden kalan r ise a = mq + r ve 0 ≤ r < m yazılır. Aynı bölene göre iki sayının toplamının kalanı, kalanların toplamının yeniden m’ye bölümünden kalanıdır. Çarpımda da kalanlar çarpılıp tekrar bölünür. Örneğin bir sayı 7 ile bölümden 5, diğeri 7 ile bölümden 4 kalanını veriyorsa toplamın kalanı 9’un 7’ye bölümünden 2; çarpımın kalanı 20’nin 7’ye bölümünden 6’dır. Kalan hiçbir zaman negatif veya bölene eşit olamaz; gerekiyorsa eş değer değer uygun aralığa taşınır. Kuvvetlerde döngü ve Öklid algoritmasını kullan. Büyük kuvvetlerin kalanında tabanın ardışık kuvvetleri belirli bir döngü oluşturabilir. 7’nin 10’a göre son basamakları 7, 9, 3, 1 biçiminde dört adımda tekrar eder; üs döngü uzunluğuna göre değerlendirilir. EBOB için Öklid algoritması büyük sayıları asal çarpanlarına ayırmadan ardışık bölmelerle çalışır: büyük sayı küçüğe bölünür, sonra bölen önceki kalana bölünür; son sıfır olmayan kalan EBOB’dur. Birden çok kalan koşulunda küçük adaylar sistematik taranabilir veya koşullar eş değer sınıflara dönüştürülebilir. Bulunan adayın her koşulu ayrı ayrı sağlaması zorunludur. Kalan problemlerinde “bölünen = bölen × bölüm + kalan” eşitliği ana denetimdir ve kalan her zaman sıfırdan büyük ya da eşit, bölenden küçüktür. Ortak bir kalan görülüyorsa sayıdan bu kalan çıkarıldığında ilgili bölenlerin ortak katı elde edilir. Bir kuvvet döngüsünde üs, döngü uzunluğuna tam bölünüyorsa son terim kullanılır; sıfır kalanını ilk terim sanmak yanlış sonuca götürür. İşlem sonunda küçük bir kuvvetle örüntü tekrar kontrol edilmelidir.

3. Sık sorulanlar

   Sık sorulan sorular. Soru: Asal çarpanlara ayrılmış sayıdan bölen sayısı nasıl bulunur? Cevap: Her asal çarpanın üssüne bir eklenir ve elde edilen seçim sayıları birbiriyle çarpılır. Soru: Bir doğal sayının tam kare olduğu nasıl anlaşılır? Cevap: Asal çarpanlara ayrılmış gösterimindeki bütün asal çarpan üsleri çiftse sayı tam karedir. Soru: EBOB ve EKOK problemde nasıl ayırt edilir? Cevap: En büyük eş parça ve ortak ölçü EBOB’a; ilk ortak tekrar, ortak kat veya en küçük ortak zaman EKOK’a yöneltir. Soru: Kalan neden bölenden küçük olmak zorundadır? Cevap: Kalan bölene eşit ya da büyük olursa bölme işleminde bölüm bir artırılarak kalan yeniden küçültülebilir. Soru: Büyük bir kuvvetin kalanı nasıl hızlı bulunur? Cevap: Tabanın ardışık kuvvetlerinin ilgili bölene göre kalan döngüsü belirlenir ve üs döngü uzunluğuna göre indirgenir.

4. Bölüm 4

   Şimdi öğrendiğini dene. Kısa testi çöz; her seçenekteki açıklamayla doğru yöntemi pekiştir. Teste başla.