10. Sınıf Matematik: Koordinatlarda Uzaklık, Bölme ve Doğru Kesişimi

Rehberli anlatımda söylenen yönlendirmeler dâhil tam metin. Düşünme araları sessizdir.

1. Giriş

   Konuya başlayalım. Koordinatlar, bir şeklin konumunu sayılarla anlatmanın yoludur. İki nokta arasındaki uzaklık, bir yolun orta noktası veya iki doğrunun buluşma yeri aynı düzlem üzerinde farklı sorular oluşturur. Bu derste uzaklık hesabını Pisagor ile ilişkilendirecek, doğru parçasını içeriden bölen noktayı bulacak ve eğim bilgisinden doğru denklemi kuracaksın. Önkoşullar işaretli sayılar, basit denklem sistemleri, kesir işlemleri ve dik üçgendir. Her koordinat çiftinde önce yatay, sonra düşey bileşeni yaz. Sayıların yerini değiştirmek yalnız yazım farkı değildir; düzlemde farklı bir noktaya gitmek anlamına gelir.

2. Ayrıntılı anlatım

   Önkoşul: koordinat farkından uzaklığa ve orta noktaya. A(x_1,y_1) ile B(x_2,y_2) noktaları arasındaki yatay fark x_2−x_1, düşey fark y_2−y_1 olur. Uzaklık d = √((x_2−x_1)^2+(y_2−y_1)^2) biçimindedir; “iki koordinat farkının kareleri toplamının karekökü” diye okunur. Bu bağıntı, noktalar arasındaki doğru parçasını bir dik üçgenin hipotenüsü olarak düşünmekten gelir. Eksenlerin aynı uzunluk birimiyle ölçeklendiği kabul edilir. Farkların negatif olması uzaklığı negatif yapmaz; kareler bu yön bilgisini uzunluk büyüklüğüne dönüştürür. A(−3,2) ve B(5,8) için farklar sekiz ve altıdır. Uzaklık √(64+36) = 10 birim bulunur. Sekiz ile altıyı doğrudan toplamak on dört verir; bu, önce yatay sonra düşey ilerlenen kırık yolun uzunluğudur, iki nokta arasındaki düz uzaklık değildir. Orta nokta için iki koordinatın ayrı ayrı ortalaması alınır: M((−3+5)/2,(2+8)/2) = (1,5). M noktasından uçlara farklar dörder ve üçer olduğundan her uzaklık beştir. Böylece orta nokta hesabı, bütün uzunluğun iki eşit parçaya ayrıldığını da doğrular. Noktaları ters sırayla almak uzaklığı ve orta noktayı değiştirmez; doğru sonuçların bu özelliği kontrol amacıyla kullanılabilir. İki noktanın yatay koordinatı aynıysa uzaklık yalnız düşey farkın büyüklüğüdür. Örneğin (2,−1) ile (2,7) arasında sekiz birim bulunur ve orta nokta (2,3) olur. Uzaklık bağıntısı burada da geçerlidir; sıfır olan yatay fark hiçbir sorun çıkarmaz. Buna karşılık bu noktalarla eğim hesaplarken yatay farka bölünemez; onları birleştiren doğru düşeydir ve x = 2 denklemiyle belirtilir. Orta nokta ve yalnız bir uç verilirse ortalama işlemini tersine çevir. A(−2,3), M(4,7) için (−2+x_B)/2 = 4 eşitliği x_B = 10; (3+y_B)/2 = 7 eşitliği y_B = 11 verir. Diğer uç B(10,11) olur. Kontrolünde A ile B koordinatlarının ortalamasını yeniden al: (4,7) geri gelmelidir. Genel kuralı “orta noktanın koordinatını ikiyle çarp, bilinen uç koordinatını çıkar” diye oku; x ve y hesaplarını birbirine karıştırma. İşlenmiş örnek: doğru parçasını verilen oranda böl. A(−2,1) ve B(10,9) noktaları arasında P, AP/PB = 1/3 koşuluyla içten bölsün. Oran bir bölü üç olduğundan bütün parça dört eş paydır; P, A noktasından B yönüne toplam yolun dörtte biri kadar ileridedir. Yatay değişim on iki, düşey değişim sekiz olduğuna göre bu değişimlerin dörtte biri üç ve ikidir. A noktasına ekleyince P = (−2+3,1+2) = (1,3) bulunur. Bir bölü üç oranını bütün yolun üçte biri sanmak, P noktasını yanlış yere taşır. Kontrol için AP yönündeki koordinat farkları üç ve iki, PB yönündekiler dokuz ve altıdır. İkinci çift ilkinin üç katıdır; dolayısıyla uzunluklar da bir bölü üç oranındadır. Genel olarak AP/PB = m/n ise A noktasından toplam değişimin m/(m+n) kadarı alınır. Sözel olarak “A tarafındaki payı bütün payların toplamına böl” diye okuyabilirsin. İçten bölmede m ve n pozitif olduğundan elde edilen nokta uçların arasında kalır. Eşit oran seçilirse yarım yol bulunur ve orta nokta kuralı geri gelir. Bu bağlantı, ayrı iki formül ezberlemek yerine aynı bölme düşüncesini kullanmanı sağlar. A noktasına yakın bir P beklerken hesap B tarafına daha yakın çıkarsa oran yönünü ve başlangıç noktasını yeniden denetle. Yanılgı denetimi: eğim, eksen kesişimi ve diklik. P(2,−1) noktasından geçen ve eğimi 3/2 olan doğruyu bul. Nokta ve eğim birlikte y−(−1) = (3/2)(x−2) eşitliğini verir. Parantezleri düzenleyince y = (3/2)x−4 olur. y eksenindeki kesişim x sıfırken −4 bulunur; x eksenindeki kesişim için y sıfır yazılır ve x = 8/3 çıkar. Eğimin üç bölü iki olması, eksen kesişiminin de üç bölü iki olduğu anlamına gelmez. Eğim yön ve artış oranını, sabit terim ise doğrunun düşey konumunu anlatır. 2x−3y+6 = 0 doğrusunu y = (2/3)x+2 biçiminde yazarsan eğimin 2/3 olduğunu görürsün. Bu doğruya dik ve Q(4,1) noktasından geçen doğrunun eğimi −3/2 olur; iki eğimin çarpımı eksi birdir. Nokta–eğim biçimi y−1 = (−3/2)(x−4), sonuç y = −(3/2)x+7 verir. Yalnız işaret değiştirip −2/3 kullanmak dikliği sağlamaz. Yatay bir doğruya dik doğru ise düşeydir; onun sonlu eğimi olmadığı için negatif ters kuralını sıfıra bölerek kullanamazsın. Örneğin (−2,3) noktasından geçen yatay doğru y = 3, ona dik düşey doğru x = −2 biçimindedir. Bu özel durumları ayrı görmek, bütün doğruları aynı yazıma zorlamayı önler. Transfer: iki doğrunun buluşmasını ortak nokta olarak çöz. y = 2x−3 ve y = −x+6 doğrularının kesişiminde hem x hem y koordinatı ortaktır. Bu nedenle sağ tarafları eşitleyebilirsin: 2x−3 = −x+6. Buradan 3x = 9 ve x = 3 bulunur. Bir doğruya yerleştirince y = 3 çıkar; ortak nokta (3,3) olur. Diğer doğruya da yerleştirerek −3+6 = 3 kontrolünü yap. Yalnız x üç cevabı bir koordinat sorusunu tamamlamaz. Denklem sistemi birinci bileşeni bulduktan sonra ikinci bileşen aynı noktayla eşleştirilmelidir. Bir konum planında iki düz güzergâh bu doğrularla temsil ediliyorsa hesaplanan nokta, doğruların uzatıldığında buluştuğu yerdir. Gerçek güzergâhlar yalnız belirli doğru parçalarıysa ortak noktanın bu parçaların sınırlarında bulunup bulunmadığını da denetlemelisin. Doğruların kesişmesi, kısa iki yol parçasının mutlaka kesiştiğini söylemez. Benzer şekilde koordinatla bulunan düz uzaklık, bir aracın engeller yüzünden izlediği gerçek yol uzunluğuna eşit olmak zorunda değildir. Matematiksel temsil ile bağlamın ek koşullarını ayrı yazmak bu ayrımı korur. Paralel ve farklı doğrularda ortak nokta bulunmaz; aynı doğruyu anlatan iki denklemde ise tek nokta yerine sonsuz ortak nokta vardır. Sistemi çözerken çıkan çelişki ya da özdeşlik, bu geometrik durumları haber verir. Kontrol ve çıkış ödevi: sonucu hem cebirle hem konumla sına. Koordinat problemlerinde son kontrolü şeklin beklenen konumuyla birleştir. İçten bölen nokta iki uç arasında kalmalı, uzaklık negatif olmamalı ve orta nokta iki uca eşit uzaklıkta bulunmalıdır. Bir doğru için verilen nokta denklemi sağlamalı; paralellik veya diklik isteniyorsa eğim ilişkisi ayrıca kontrol edilmelidir. Eksen kesişiminde hangi koordinatın sıfır olduğunu açık yaz. Koordinat çiftlerini tek sayıyla karıştırmak, işlemler doğru olsa bile cevabın türünü yanlış yapabilir. Çıkış ödevinde C(1,−2) ile D(6,10) arasındaki uzaklığı bul. Farklar beş ve on iki olduğundan sonuç on üç birimdir. Orta nokta (7/2,4) olur. İkinci soruda A(0,0) ile B(9,6) arasını AP/PB = 2/1 oranında bölen noktayı hesapla; toplam değişimin üçte ikisi alınır ve P(6,4) bulunur. Son soruda y = 3x+1 ile y = −x+9 doğrularının ortak noktasını bul. 4x = 8 denkleminden x iki, y yedi çıkar; cevap (2,7) olur. Her sonucun yanında bir doğrulama işlemi göster. Uzaklığı farkların kareleriyle, bölme noktasını iki parça oranıyla, kesişimi iki denklemde yerine yazarak sınamak, farklı soru türlerini aynı kontrol alışkanlığında birleştirir.

3. Sık sorulanlar

   Sık sorulan sorular. Soru: Koordinat farklarını doğrudan toplamak neyin uzunluğunu verir? Cevap: Mutlak yatay ve düşey farkların toplamı, eksenlere paralel iki parçadan oluşan kırık yolu verir. Noktalar arasındaki düz uzaklık için Pisagor kullanılır. Bu iki yolun uzunluğu genel olarak farklıdır. Soru: AP/PB oranı bir bölü üçse P bütün yolun neresindedir? Cevap: A tarafından toplam yolun dörtte birindedir. Çünkü AP bir pay, PB üç pay ve bütün AB dört paydır. Oranı doğrudan bütünün üçte biri olarak kullanmak yanlış bölme noktası üretir. Soru: Bir doğrunun y eksenini kestiği noktayı bulurken hangi koordinatı sıfırlarım? Cevap: y eksenindeki bütün noktalarda x sıfırdır. Denklemde x yerine sıfır yazıp y değerini bulursun. x ekseni kesişiminde ise bunun tersine y sıfırlanır. Soru: Dik doğrunun eğimini yalnız eksi işareti ekleyerek bulabilir miyim? Cevap: Hayır. Sonlu ve sıfırdan farklı eğimlerde negatif ters alınır; iki eğimin çarpımı eksi bir olmalıdır. Yatay ve düşey doğrular ise ayrı değerlendirilir, çünkü düşey doğrunun sonlu eğimi yoktur. Soru: İki doğrunun kesişim noktası neden gerçek yol parçalarının buluşmasını garanti etmez? Cevap: Doğrular sınırsız uzanır, yol parçaları ise belirli uçlarla sınırlıdır. Ortak nokta doğrular üzerinde olsa bile parçaların dışında kalabilir. Bağlamdaki uç ve aralık koşulları ayrıca denetlenmelidir.

4. Bölüm 4

   Şimdi öğrendiğini dene. Kısa testi çöz; her seçenekteki açıklamayla doğru yöntemi pekiştir. Teste başla.