10. Sınıf Matematik Koşullu Olasılık ve Bayes Teoremi Konu Anlatımı

Rehberli anlatımda söylenen yönlendirmeler dâhil tam metin. Düşünme araları sessizdir.

1. Giriş

   Konuya başlayalım. Koşullu olasılık, bir olayın gerçekleştiği bilgisi geldikten sonra başka bir olay için olasılık değerlendirmesini günceller. Bir torbadan yerine koymadan top çekildiğinde ilk sonuç ikinci çekimin örnek uzayını değiştirir; bağımlılık bu değişimle görünür olur. Ağaç şemalarında aynı yol üzerindeki olasılıklar çarpılır, birbirini dışlayan yolların sonuçları toplanır. Bağımsız olaylarda koşul yeni bilgi taşımaz ve P(A|B)=P(A) olur. Bayes teoremi ise sonucu bildiğimizde olası kaynakları geriye doğru karşılaştırır; tıbbi test, kalite kontrol ve tahmin bağlamlarında taban oranı göz ardı edilmemelidir. Hesap kadar koşulun ne olduğu, paydanın hangi yeni örnek uzayı temsil ettiği ve sonucun kesinlik değil olasılık bildirdiği de açıklanmalıdır.

2. Ayrıntılı anlatım

   Koşul geldiğinde örnek uzayı daralt. P(A|B), B olayının gerçekleştiği bilindiğinde A’nın olasılığıdır. Artık bütün örnek uzay değil, yalnız B içindeki sonuçlar karşılaştırılır. Bu nedenle P(B)>0 olmak üzere P(A|B)=P(A∩B)/P(B) bağıntısı kullanılır. Bir tabloda B grubunda 40 kişi ve bunların 12’si A özelliğine sahipse koşullu olasılık 12/40=3/10’dur. P(A|B) ile P(B|A) genellikle farklıdır; paydaları farklı koşulları temsil eder. Koşul cümlesi “B olanlar arasında” biçiminde yeniden yazılırsa doğru paydanın seçilmesi kolaylaşır. Koşullu olasılık sıfır ile bir arasında olmalıdır. Ardışık bağımlı olaylarda yol olasılığını çarp. İki ardışık olayın birlikte gerçekleşme olasılığı P(A∩B)=P(A)·P(B|A) bağıntısıyla bulunur. Yerine koymadan çekimde ilk seçim toplam nesne sayısını ve ilgili kategori sayısını değiştirir. Üç kırmızı ve iki mavi top arasından art arda iki kırmızı çekme olasılığı 3/5·2/4=3/10’dur. İkinci çekimden önce top yerine konursa oran tekrar 3/5 olur ve olaylar farklı bir modele dönüşür. Ağaç şemasında her dalın üzerindeki pay ve payda güncellenir. Aynı yol üzerindeki çarpma ile farklı, ayrık yollar arasındaki toplama işlemi birbirinden ayrılmalıdır. Bağımsızlık ve toplam olasılığı kontrol et. A ve B bağımsızsa B’nin gerçekleşmesi A olasılığını değiştirmez: P(A|B)=P(A) ve P(A∩B)=P(A)P(B). Sayısal eşitlik sağlanmıyorsa olaylar bağımlıdır. Bir sonuç birbirini dışlayan kaynaklardan gelebiliyorsa toplam olasılık kullanılır. Üretimin %70’ini yapan A makinesinin hata oranı %10, %30’unu yapan B’nin hata oranı %20 ise toplam hata olasılığı 0,70·0,10+0,30·0,20=0,13’tür. Kaynak payları bir bütün oluşturmalı ve toplamları bir olmalıdır. Her yolun olasılığı çarpıldıktan sonra aynı sonuca ulaşan ayrık yollar toplanır. Bayes teoremiyle sonucu kaynağa çevir. Bayes teoremi P(A|H)=P(H|A)P(A)/P(H) biçiminde, gözlenen H sonucu altında A kaynağının olasılığını verir. Pay, A kaynağından gelip H sonucunu üretme ortak olasılığıdır; payda H sonucunu üreten bütün kaynak yollarının toplamıdır. Önceki makine örneğinde hatalı ürünün A’dan gelme olasılığı 0,70·0,10/0,13=7/13’tür. Test doğruluğu yüksek olsa bile hastalığın toplumdaki taban oranı çok düşükse pozitif sonuçların önemli bir bölümü yanlış pozitif olabilir. Sonuç “kaynak kesin A’dır” değil, yeni bilgi altında güncellenmiş bir olasılıktır. Ağaç, tablo ve alan modelini karşılıklı doğrula. Koşullu olasılık problemi ağaç şeması, iki yönlü sıklık tablosu veya alan modeliyle temsil edilebilir. Yüzdeleri varsayımsal 1000 kişiye dönüştürmek özellikle Bayes sorularında pay ve paydayı somutlaştırır. Ağaçta dalların bir düğümden çıkan olasılıkları bir, bütün son yolların olasılıkları da bir olmalıdır. Tabloda satır ve sütun toplamları genel toplamla tutarlı olmalıdır. Hesaplanan posterior olasılık, gözlenen sonucun hangi kaynakta daha olası olduğu kadar kaynakların başlangıç paylarından da etkilenir. Farklı temsiller aynı kesri veriyorsa işlem doğrulanmış olur; uyuşmazlıkta koşul yönü ve payda yeniden incelenir. Bayes yorumunda taban oranı ihmal edilmemelidir: bir bulgunun bir grupta daha sık görülmesi, gözlenen kişinin mutlaka o gruptan geldiği anlamına gelmez. Önsel olasılıklar dalların başlangıç paylarını, olabilirlikler gözlemin her dalda görülme oranını verir. Yol çarpımları ortak paydayı oluşturur; aranan dalın ortak olay içindeki payı posterior olasılıktır. Cevap sıfır ile bir arasında olmalı ve paydadan büyük bir pay üretmemelidir.

3. Sık sorulanlar

   Sık sorulan sorular. Soru: P(A|B) gösterimi ne anlama gelir? Cevap: B olayının gerçekleştiği bilgisi altında, daralmış B örnek uzayında A olayının gerçekleşme olasılığını gösterir. Soru: P(A|B) ile P(B|A) neden aynı değildir? Cevap: İki ifadede koşul ve dolayısıyla payda olarak kullanılan daraltılmış örnek uzay farklıdır. Soru: Yerine koymadan çekim neden bağımlıdır? Cevap: İlk çekilen nesne geri bırakılmadığı için ikinci çekimde toplam nesne ve ilgili kategori sayısı değişir. Soru: Bağımsız olaylar nasıl denetlenir? Cevap: P(A∩B)=P(A)P(B) veya eş değer olarak P(A|B)=P(A) eşitliği sağlanıyorsa olaylar bağımsızdır. Soru: Bayes hesabında taban oranı neden önemlidir? Cevap: Bir kaynağın başlangıçtaki yaygınlığı ortak olasılığı etkiler; yalnız test doğruluğuna bakmak posterior olasılığı çarpıtır.

4. Bölüm 4

   Şimdi öğrendiğini dene. Kısa testi çöz; her seçenekteki açıklamayla doğru yöntemi pekiştir. Teste başla.