9. Sınıf Matematik Gerçek Sayılar, Kümeler, Aralıklar ve Özdeşlikler Konu Anlatımı

Rehberli anlatımda söylenen yönlendirmeler dâhil tam metin. Düşünme araları sessizdir.

1. Giriş

   Konuya başlayalım. Gerçek sayılar, sayı doğrusundaki bütün noktaları kapsayan geniş bir sistemdir; doğal sayılar, tam sayılar, rasyonel ve irrasyonel sayılar bu sistem içinde farklı özellikler taşır. Bir problemde hangi sayı kümesinde çalışıldığı, yapılan işlemin sonucunun aynı kümede kalıp kalmayacağını belirler. Aralık gösterimi ise sonsuz sayıda gerçek sayıyı kısa ve kesin biçimde ifade eder. Küme işlemleri, mutlak değerli uzaklık koşulları ve cebirsel özdeşlikler aynı matematiksel dilin parçalarıdır. Bu konuda sembolleri ezberlemek yerine her gösterimi sayı doğrusu, sözel anlam ve cebirsel doğrulamayla ilişkilendirmek kalıcı bir kavrayış sağlar.

2. Ayrıntılı anlatım

   Sayı kümeleri ve kapsama ilişkisi. Doğal sayılar N, tam sayılar Z, rasyonel sayılar Q ve gerçek sayılar R ile gösterilir; N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R kapsaması vardır. Rasyonel sayılar a/b biçiminde, a ve b tam sayı ve b sıfırdan farklı olacak şekilde yazılabilir. Bu biçimde yazılamayan √2 ve π gibi gerçek sayılar irrasyoneldir. Bir sayı birden çok kümeye ait olabilir; 4 hem doğal, tam, rasyonel hem gerçektir. En dar uygun kümeyi belirlemek sınıflandırmayı açıklayıcı yapar. Her iki farklı rasyonel veya gerçek sayı arasında aynı kümeden sonsuz sayı bulunur. İşlemlere kapalılık ve karşı örnek. Bir kümede seçilen iki sayıyla yapılan işlem sonucu yine o kümedeyse küme bu işleme kapalıdır. Tam sayılar toplama, çıkarma ve çarpmaya kapalıdır; fakat bölmeye kapalı değildir, çünkü 1/2 tam sayı değildir. Rasyonel sayılar sıfıra bölme hariç dört işleme kapalıdır. İrrasyonel sayılar tek başına toplama veya çarpmaya kapalı değildir: √2 + (−√2) = 0 rasyonel, √2·√2 = 2 rasyoneldir. Evrensel bir iddiayı çürütmek için koşulları sağlayan tek karşı örnek yeterlidir. Küme işlemleri ve gerçek sayı aralıkları. A∩B iki kümenin ortak elemanlarını, A∪B en az birinde bulunan elemanları, A\B ise A’da olup B’de olmayanları içerir. Gerçek sayı aralığında köşeli parantez uç noktanın dâhil, yuvarlak parantez hariç olduğunu gösterir. Sonsuzluk bir gerçek sayı olmadığı için yanında her zaman yuvarlak parantez kullanılır. x’in −2’den büyük eşit ve 5’ten küçük olması [−2,5) aralığıdır. Aralıkların kesişimi ortak bölgeyi, birleşimi bütün kapsanan bölgeleri verir; sayı doğrusu bu işlemleri görünür kılar. Tümleme, De Morgan ve temsil kontrolü. Bir kümenin tümleyeni seçilen evrensel kümede bulunup o kümede olmayan elemanlardan oluşur. Evrensel küme R ise [−1,2) aralığının tümleyeni (−∞,−1)∪[2,∞) olur. Uç noktaların değişmesi önemlidir: asıl aralık −1’i içerdiği için tümleyen içermez; 2’yi içermediği için tümleyen içerir. De Morgan kuralları (A∪B)′ = A′∩B′ ve (A∩B)′ = A′∪B′ biçimindedir. Bir Venn bölgesi veya üyelik tablosu, sembolik dönüşümü bağımsız olarak doğrulayabilir. Mutlak değer ve uzaklık aralıkları. |x−a|, x sayısının sayı doğrusunda a’ya uzaklığıdır. |x−3| değerinin 2’den küçük olması, x’in 3’e uzaklığının 2’den küçük olduğunu söyler ve x’in 1 ile 5 arasında bulunduğu sonucunu verir. Küçük veya küçük eşit koşulu iki uç arasındaki aralığa; büyük veya büyük eşit koşulu dış bölgelere karşılık gelir. |2x−1|≤3 eşitsizliği, −3≤2x−1≤3 biçiminde çift yönlü çözülebilir. Mutlak değerin negatif olamayacağı unutulmamalı; |x| değerinin −1’den küçük olmasını isteyen bir koşulun çözüm kümesi boştur. İşlem özellikleri ve cebirsel özdeşlikler. Değişme, birleşme, birim eleman, ters eleman ve dağılma özellikleri sayısal örüntülerden cebirsel dile taşınır. Tamkare özdeşlikleri (a+b)²=a²+2ab+b² ve (a−b)²=a²−2ab+b² biçimindedir. İki kare farkı a²−b²=(a−b)(a+b) olarak çarpanlara ayrılır. Özdeşlik, değişkenlerin tanımlı olduğu bütün değerlerde doğru eşitliktir; denklem ise yalnız bazı değerlerde doğru olabilir. Açılımı yeniden çarpanlara ayırmak veya iki tarafa aynı değerleri vermek işlemi kontrol etmeye yardımcıdır. Bir dönüşüm yapılırken tanım kümesinin korunması da önemlidir. Payda içeren bir ifadede paydayı sıfır yapan değerler baştan dışlanır; iki tarafı değişken bir ifadeyle çarpmak bu kısıtı ortadan kaldırmaz. Sayısal deneme bir özdeşliği kanıtlamasa da işaret ya da katsayı hatasını yakalayabilir. Genel doğrulama için dağılma özelliğiyle açılım yapılır, benzer terimler düzenlenir ve başlangıç koşulları son ifadeyle birlikte yeniden okunur.

3. Sık sorulanlar

   Sık sorulan sorular. Soru: Bir sayının ait olduğu en dar sayı kümesi neden belirtilir? Cevap: Sayı daha geniş kümelere de ait olsa da en dar küme, sayının yapısını ve hangi işlem özelliklerini taşıdığını daha açık gösterir. Soru: Sonsuzluk neden aralık gösteriminde köşeli parantezle yazılmaz? Cevap: Sonsuzluk gerçek bir uç nokta veya kümeye eklenebilen sayı değildir; yalnız sınırsız yönü belirttiği için yuvarlak parantez kullanılır. Soru: Kesişim ile birleşim arasındaki temel fark nedir? Cevap: Kesişim iki koşulu aynı anda sağlayan ortak elemanları, birleşim ise koşullardan en az birini sağlayan bütün elemanları içerir. Soru: Mutlak değerli eşitsizlik aralığa nasıl dönüştürülür? Cevap: İfade bir merkezden uzaklık olarak okunur; küçük koşullarda merkezin çevresindeki iç aralık, büyük koşullarda dış bölgeler alınır. Soru: Özdeşlik ile denklem aynı matematiksel yapı mıdır? Cevap: Hayır. Özdeşlik tanım kümesindeki her uygun değer için doğrudur; denklem ise yalnız çözüm kümesindeki değerlerde sağlanır.

4. Bölüm 4

   Şimdi öğrendiğini dene. Kısa testi çöz; her seçenekteki açıklamayla doğru yöntemi pekiştir. Teste başla.