9. Sınıf Matematik: Benzer Üçgenlerde Ölçek, Tales ve Yükseklik

Rehberli anlatımda söylenen yönlendirmeler dâhil tam metin. Düşünme araları sessizdir.

1. Giriş

   Konuya başlayalım. Benzerlik, iki şeklin aynı görünmesini değil, eşleşen açı ve uzunlukların belirli bir düzeni korumasını anlatır. Bir çizim büyük, küçük veya dönmüş olabilir; önemli olan hangi köşenin hangi köşeye karşılık geldiğidir. Bu derste benzer üçgenlerde kenar ve çevre hesabını, paralellerin oluşturduğu oranları ve dolaylı yükseklik ölçmeyi çalışacaksın. Önkoşullar kesirlerde orantı, üçgende açı bilgisi ve Pisagor bağıntısıdır. Her çözümde önce benzerliği gerekçelendir, sonra oran kur. Uzunlukları şeklin görünüşüne bakarak eşleştirmek yerine verilen açı, paralellik ve diklik işaretlerini kullanmak daha güvenilir bir başlangıçtır.

2. Ayrıntılı anlatım

   Önkoşul: eşleşmeyi yaz, oran yönünü koru. ABC ve DEF üçgenleri bu sırayla benzerse A köşesi D ile, B köşesi E ile, C köşesi F ile eşleşir. Buna göre AB kenarının karşılığı DE, BC kenarının karşılığı EF olur. Büyütme oranını DE/AB olarak seçtiğinde diğer kesirleri de ikinci üçgen bölü birinci üçgen yönünde yazmalısın. Bir kesri ters çevirmek aynı orantıya başka bir nicelik katmak olur. Benzerlik oranı pozitif bir uzunluk oranıdır; eşleşen uzunluklar aynı birime çevrilmeden hesaplanmaz. İlk üçgenin kenarları altı, sekiz, on; eşleşen ikinci üçgenin kenarları dokuz, on iki, on beş olsun. Üç kesrin tamamı 3/2 verir. Birinci çevre yirmi dört, ikinci çevre otuz altı olduğundan çevre oranı da 3/2 olur. Bunun nedeni her kenarın aynı çarpanla büyümesidir; kenarlar toplanınca ortak çarpan dışarı alınabilir. Tek bir kenar çiftinin oranının aynı çıkması benzerliği kanıtlamaz. İki açının eşitliği, uygun kenar oranlarıyla aradaki açının eşitliği ya da bütün eşleşen kenarların orantılı olması gibi yeterli bilgi aranır. Bu koşullardan hangisini kullandığını bir cümleyle belirtmek, hesaplamanın neden geçerli olduğunu açıklar. İşlenmiş örnek: paralel kesitten bütün kenara ulaş. ABC üçgeninde D noktası AB üzerinde, E noktası AC üzerinde ve DE, BC kenarına paralel olsun. AB uzunluğu on beş, AC yirmi, BC yirmi beş ve AD altı santimetre verilsin. Paralellikten karşılık gelen açılar, A köşesinde de ortak açı bulunduğu için ADE ile ABC üçgenleri benzerdir. Küçük üçgenin büyük üçgene oranı AD/AB = 6/15 = 2/5 olur. Bu nedenle AE = (2/5)·20 = 8, DE = (2/5)·25 = 10 santimetredir. Soruda EC isteniyorsa sekiz cevabında duramazsın. Sekiz, üstteki AE parçasıdır; bütün AC yirmi olduğundan EC = 20−8 = 12 bulunur. Aynı şekilde DB = 15−6 = 9 olur. Kontrol için AD/DB = 6/9 = 2/3 ve AE/EC = 8/12 = 2/3 eşitliğini kullanabilirsin. Küçük üçgenin bütüne oranı iki bölü beşken üst parçanın alt parçaya oranı iki bölü üçtür. Bunlar farklı oranlardır ve aynı denklem içinde birbirinin yerine kullanılamaz. Çözümde parça adlarını görünür tutmak, doğru sayıyı yanlış uzunluğun cevabı olarak yazmayı engeller. Önce istenen parçayı adlandır, sonra onun bütünün neresinde bulunduğunu belirt. Yanılgı örneği: Tales oranında parça ile toplamı karıştırma. Üç paralel doğru iki keseni kessin. Birinci kesen üzerindeki sıralı noktalar A, B, C; ikinci üzerindekiler D, E, F olsun. A ile D birinci paralelde, B ile E ikinci paralelde, C ile F üçüncü paralelde yer alsın. AB dört, BC altı ve DE on santimetre veriliyorsa EF uzunluğunu bulalım. Paraleller arasındaki eşleşen parçalar orantılıdır: AB/BC = DE/EF. Sözel olarak “ilk kesendeki üst parça bölü alt parça, ikinci kesendeki üst parça bölü alt parçaya eşittir” diye okunur. 4/6 = 10/EF eşitliğinden 4·EF = 60 ve EF = 15 çıkar. Burada AC toplamı on, DF toplamı yirmi beştir. AB/AC = DE/DF, yani 4/10 = 10/25 eşitliği de doğrudur. Ancak AB/BC kesrini DE/DF ile eşitlemek, bir tarafta iki parçayı, diğer tarafta parça ile bütünü karşılaştırdığı için yanlıştır. Ölçüler birbirine yakın görünse de adlandırma hatası sonucu değiştirir. Oranı kurmadan önce her kesrin payının neyi, paydasının neyi temsil ettiğini söyle. Aynı sıradaki parçaları eşleştirdiğinde çizimin sağa veya sola yatık olması sonucu etkilemez. Şekil üzerinde ölçü tahmini yapmak yerine paralellik bilgisini kullanmanın gücü buradadır; görünüş değil, yapısal ilişki hesaplanır. Transfer: gölgeden ve dik üçgenden yükseklik bul. Aynı anda ölçülen düşey bir çubuğun boyu bir buçuk metre, gölgesi iki metre olsun. Düşey bir ağacın gölgesi on iki metre ölçülsün. Zemin aynı doğrultuda yatay ve güneş ışınları paralel kabul edildiğinde iki dik üçgenin birer dar açısı da eşittir. Bu yüzden yüksekliklerin gölgelere oranı aynıdır: h/12 = 1,5/2. Çarpınca h = 9 metre bulunur. Farklı zamanlarda alınmış gölgeler veya eğimli zemin için aynı modeli gerekçesiz uygulayamazsın; açı eşitliğini sağlayan koşulların korunması gerekir. Ölçümdeki belirsizlik de bulunan yüksekliğin kesinliğini sınırlar. Bir başka yükseklik sorusunda ABC üçgeni A köşesinde dik olsun. A noktasından hipotenüs BC üzerine indirilen yüksekliğin ayağı H, BH dört ve HC dokuz santimetre olsun. Oluşan iki küçük dik üçgen benzerdir. Bu benzerlikten AH/BH = HC/AH oranı, yani AH^2 = BH·HC elde edilir. “Yüksekliğin karesi, hipotenüs üzerindeki iki parçanın çarpımına eşittir” diye okunur. AH^2 = 4·9 = 36 olduğundan yükseklik altıdır. Hipotenüs ise 4+9 = 13 olur. Yüksekliği parçaların toplamı veya ortalaması sanmak bu ilişkiyi bozardı. Uzunluk pozitif olduğu için kareli eşitlikten negatif altı seçilmez; burada cebirsel adayın geometrik anlamı da kontrol edilir. Kontrol ve çıkış ödevi: oranı başka bir yoldan doğrula. Çözümün sonunda uzunlukların pozitif olduğunu, küçük üçgende eşleşen kenarın gerçekten daha küçük çıktığını ve parça toplamlarının bütünü verdiğini denetle. Oranı ters yönde kurduysan bütün kesirleri ters çevirmelisin; yalnız birini değiştiremezsin. Çevre sorusunda oran doğrusal olarak taşınır, fakat bu bilgiyi adı değişen her niceliğe otomatik uygulamak doğru değildir. Bu çalışmada doğrudan kenar, çevre ve yükseklik ilişkileri üzerinde duruyoruz. Sonucun hangi geometrik büyüklüğe ait olduğunu yazmak birim hatalarını da azaltır. Çıkış ödevinde bir paralel kesit için AB on sekiz, AD altı ve AC yirmi dört santimetre verilsin. Küçük üçgenin oranı bir bölü üç olduğundan AE sekiz, EC on altı bulunmalıdır. İkinci soruda benzerlik oranı küçükten büyüğe beş bölü üç, küçük üçgenin çevresi yirmi bir olsun. Büyük çevre otuz beştir; yirmi bire yalnız iki eklemek oranlı büyütme değildir. Üçüncü soruda iki metrelik direğin üç metrelik gölgesi varken aynı koşullarda bir yapının gölgesi on beş metre olsun. Yapının yüksekliği on metredir. Son olarak hipotenüs parçaları bir ve on altı olan dik üçgenin yüksekliğini hesapla; çarpımın karekökü dört verir. Her örnekte oran kurmaya izin veren koşulu ayrıca belirt; sayıları doğru bölmek, yanlış bir benzerlik varsayımını düzeltemez.

3. Sık sorulanlar

   Sık sorulan sorular. Soru: Benzer üçgenlerin köşe sırası neden önemlidir? Cevap: Köşe sırası hangi açıların ve kenarların eşleştiğini belirtir. ABC ile DEF bu sırayla benzerse AB, DE ile eşleşir. Rastgele seçilen iki kenarın oranı doğru benzerlik çarpanını vermeyebilir. Soru: Küçük üçgenin büyüğe oranı ile üst parçanın alt parçaya oranı aynı mıdır? Cevap: Genellikle değildir. AD/AB bütünle karşılaştırırken AD/DB iki ayrı parçayı karşılaştırır. Örneğin AD altı ve AB on beşse ilk oran iki bölü beş, DB dokuz olduğu için ikinci oran iki bölü üçtür. Soru: Tales hesabında toplam uzunluğu kullanabilir miyim? Cevap: Evet, karşı tarafta da eşleşen toplamı kullanırsan kullanabilirsin. Parça bölü toplam oranı başka bir parça bölü toplam oranına eşitlenebilir; aynı eşitlikte parça bölü parça ile karıştırılmamalıdır. Soru: Gölgeyle yükseklik hesabında aynı anda ölçüm neden gerekir? Cevap: Güneşin yönü zamanla değiştiğinde ışının zeminle yaptığı açı değişebilir. Benzerlik için eşit açı koşulunu korumak gerekir. Düşey cisim, uygun zemin ve paralel ışın varsayımları da modelin parçasıdır. Soru: Öklid yükseklik bağıntısı hangi doğru parçası için kullanılır? Cevap: Dik üçgenin dik köşesinden hipotenüse indirilen yükseklik için kullanılır. Yüksekliğin karesi, ayağın hipotenüste oluşturduğu iki parçanın çarpımına eşittir. Rastgele bir üçgenin rastgele yüksekliğine doğrudan uygulanmaz.

4. Bölüm 4

   Şimdi öğrendiğini dene. Kısa testi çöz; her seçenekteki açıklamayla doğru yöntemi pekiştir. Teste başla.