9. Sınıf Matematik: Doğrusal Modellerde Bütçe, Eşik ve Parçalı Ücret

Rehberli anlatımda söylenen yönlendirmeler dâhil tam metin. Düşünme araları sessizdir.

1. Giriş

   Konuya başlayalım. Bir ücretin başlangıçta ödenen kısmı ile kullanım arttıkça eklenen kısmı aynı görevi yapmaz. Doğrusal model, bu iki bilgiyi tek ifadede birleştirir ve bütçe, tarife karşılaştırması veya depo boşalması gibi soruları çözmeyi sağlar. Bu derste bir tabloyu denkleme çevirecek, iki ölçümden değişim miktarını bulacak ve eşitsizlik sonucunu gerçek durumun koşullarıyla yorumlayacaksın. Önkoşullar dört işlem, birinci derece denklem ve sayı doğrusu üzerinde aralık okumadır. Her örnekte değişkenin birimini ve alabileceği değerleri baştan yaz. Soru sayısı tam sayı olabilirken zamanın kesirli değerler alabileceğini unutmamak, son cevabın nasıl seçileceğini belirler.

2. Ayrıntılı anlatım

   Önkoşul ve model: sabit ücret ile birim artışı ayır. C(x) = s+ux gösterimini “toplam ücret, sabit ücret artı birim ücret çarpı kullanım” diye oku. Burada s, kullanım sıfırken de ödenen başlangıç bedelidir; u ise her birimlik artışın toplamda oluşturduğu değişimdir. Örneğin sabit bedel kırk beş lira, her etkinlik için ek bedel on iki lira ise C(n) = 45+12n olur. Yedi etkinlik için değişken bölüm 12·7 = 84, toplam ödeme 45+84 = 129 liradır. Yalnız seksen dört yazmak başlangıç bedelini unutmak olur. Bu modelde n, sıfır veya pozitif tam sayıdır. Cebirsel ifade negatif n için de bir sayı üretir, fakat negatif etkinlik sayısı bu bağlamda anlamlı değildir. Grafikte bütün doğruyu çizmek yerine modelin geçerli noktalarını düşünmelisin. Birim ücretin boyutu lira bölü etkinliktir; bunun etkinlik sayısıyla çarpımı lira verir. Sabit bedelle ancak aynı birimdeki bir miktarı toplayabilirsin. Tabloda n bir arttığında toplamın on iki artması, modelin doğrusal olduğunu kontrol etmeye yarar. Ancak birkaç değerin düzenli görünmesi tek başına gelecekte de aynı tarifenin uygulanacağını kanıtlamaz. Soruda ücret kuralının değişmediğinin belirtilmesi veya bu varsayımın açıkça kurulması gerekir. İşlenmiş örnekler: iki veriden modele, modelden bütçeye. Bir atölyede üç kullanımın toplam bedeli seksen bir, sekiz kullanımın toplam bedeli yüz kırk bir lira olsun. Aynı sabit ücret ve aynı birim fiyat uygulanıyor. Kullanım farkı beş, ödeme farkı altmış liradır; bu yüzden bir kullanımın bedeli 60/5 = 12 lira bulunur. Üç kullanım için 3·12 = 36 lira değişken bedel olduğundan sabit ücret 81−36 = 45 liradır. Model yine C(n) = 45+12n olur. İkinci veriye dönerek 45+12·8 = 141 kontrolünü yap. İki ölçümün birini başlangıç değeri sanmak, sabit bedeli yanlış belirler. Bütçe iki yüz lira ise kaç kullanım alınabileceğini bulalım. Aşmama koşulu 45+12n ≤ 200 verir. Sabit bedeli çıkarınca 12n ≤ 155, sonra n ≤ 155/12 bulunur. Bölüm yaklaşık on iki virgül doksan ikidir; fakat kullanım sayısı tam sayı olmalıdır. En büyük uygun değer on ikidir. Kontrol için C(12) = 189 ve C(13) = 201 hesaplanır. On iki bütçeye sığarken on üç aşar. Sayıyı en yakın tam sayıya yuvarlamak burada yanlış seçim yapar. Eşitsizliğin yönü ile tam sayı koşulu birlikte, aşağıdaki uygun tam sayıyı seçtirir; kalan bütçe de 200−189 = 11 liradır. Yanılgı denetimi: iki tarifenin ucuzluğu sabit kalmaz. İki hizmetin ücretleri A(x) = 60+8x ve B(x) = 20+13x olsun. A hizmetinin başlangıç bedeli yüksek, kullanım başına artışı düşüktür. Hangisinin ucuz olduğunu yalnız sabit ücrete bakarak söyleyemeyiz. Eşitlik noktası için 60+8x = 20+13x yazılır. Sabitleri ve değişkenleri ayırınca 40 = 5x, dolayısıyla x = 8 bulunur. Bu kullanımda her iki ücret 124 liradır. Sekiz, tarifelerin eşit olduğu eşik değeridir; bu değer bütün kullanımlarda aynı ücret oluştuğunu söylemez. Eşiğin iki yanını kontrol et. Beş kullanımda A bedeli yüz, B bedeli seksen beş liradır; B daha ucuzdur. On iki kullanımda A bedeli yüz elli altı, B bedeli yüz yetmiş altı liradır; bu kez A daha ucuzdur. İstersen A(x)−B(x) = 40−5x farkını kullan: fark pozitifse A pahalı, negatifse A ucuz olur. “Başlangıç ücreti düşük olan hep avantajlıdır” çıkarımı böylece sayısal bir karşı örnekle çürütülür. Karşılaştırmada iki modelin aynı kullanım miktarını ve aynı birimi temsil ettiğinden de emin ol. Birinin saat, diğerinin dakika üzerinden verilmesi durumunda önce birimleri eşitlemeden kurulan eşitlik uygun değildir. Transfer: azalan depo ve kademeli ücret. Başlangıçta dört yüz yirmi litre sıvı bulunan bir depodan dakikada on beş litre eksilsin. Depoya giriş olmadığı ve çıkış hızı sabit kaldığı sürece V(t) = 420−15t modeli kurulur. Onuncu dakikada V(10) = 270 litre kalır. Boşalma zamanı için 420−15t = 0 çözülür ve t = 28 dakika bulunur. Modelin fiziksel aralığı sıfır ile yirmi sekiz dakikadır. Daha sonraki zamanlarda formülün negatif hacim üretmesi, deponun gerçekten negatif sıvı içerdiği anlamına gelmez; boşaldıktan sonra bu doğrusal kuralın kullanılmaması gerektiğini gösterir. Bir ücret sistemi ilk on kullanım için kullanım başına dört, ondan sonraki her kullanım için iki lira alsın; ayrıca otuz lira sabit bedel bulunsun. İlk bölümde F(n) = 30+4n olur. On kullanımın toplamı yetmiş liradır. Sonraki bölüm F(n) = 70+2(n−10) biçimindedir; parantez yalnız ondan fazla kullanımları sayar. On beş kullanım için F(15) = 70+10 = 80 lira ödenir. Bütün on beş kullanımı iki lirayla çarpmak ilk on kullanımın fiyatını geriye dönük değiştirmek olur. Sınır kontrolünde her iki ifade n on olduğunda yetmiş verir. Doksan lira bütçede ikinci bölümden 70+2(n−10) ≤ 90 ve n ≤ 20 bulunur; yirmi kullanım sınırı tam doldurur. Kontrol ve çıkış ödevi: cevabı modele geri götür. Bir doğrusal problemi bitirdiğinde yalnız denklemi tekrar çözmek yerine modelin anlamını kontrol et. Başlangıç değerini sıfır kullanımda, değişim miktarını ardışık iki kullanımda, bütçe sınırını seçtiğin tam sayı ile bir fazlasında sına. Azalan bir modelde fiziksel miktarın negatif olmasına izin verme. Parçalı ücrette hangi aralıkta bulunduğunu belirlemeden formül seçme. Eşitlik, tam eşit olunan durumu; eşitsizlik ise izin verilen bütün değerleri gösterir. Bu iki tür sorunun cevapları aynı biçimde yazılmayabilir. Çıkış çalışmasının ilk sorusunda ücret 25+7n ve bütçe yüz lira olsun. En çok on kullanım yapılır; toplam doksan beş liradır ve on bir kullanım yüz iki lira tutar. İkinci soruda iki kullanım otuz sekiz, altı kullanım yetmiş lira olsun. Dört kullanım farkı otuz iki lira verdiğinden birim fiyat sekiz, sabit bedel yirmi iki olur; beş kullanım altmış iki liradır. Son olarak üç yüz litrelik depo dakikada on iki litre eksiliyorsa boşalma süresini bul. 300/12 = 25 dakika sonucu çıkmalıdır. Her cevapta birim yaz ve neden daha büyük ya da daha küçük bir adayın uygun olmadığını belirt. Bu kısa gerekçe, bulunan sayının rastlantısal değil modelle uyumlu olduğunu gösterir.

3. Sık sorulanlar

   Sık sorulan sorular. Soru: İki ücret verildiğinde sabit bedeli nasıl ayırırım? Cevap: Önce ücret farkını kullanım farkına bölerek birim bedeli bulursun. Sonra verilerden birindeki kullanım bedelini toplamdan çıkarırsın. Kalan miktar sabit bedeldir; diğer veriyle de aynı modeli kontrol etmelisin. Soru: Bütçe hesabında on iki virgül doksan iki kullanım çıkarsa neden on üç seçilmez? Cevap: Kullanım tam sayı ve bütçe aşılmayacaksa en yakın sayıya yuvarlama yapılmaz. Eşitsizliği sağlayan en büyük tam sayı seçilir. On üçün gerçek ücretini hesaplamak bütçenin neden aşıldığını gösterir. Soru: Tarifelerin eşit olduğu nokta ucuz tarifenin değiştiğini nasıl gösterir? Cevap: Eşitlik noktası farkın sıfır olduğu yerdir. Farkı bu noktanın iki yanında inceleyerek hangi ücretin küçük kaldığını belirlersin. Yalnız sabit ücret veya yalnız birim ücret tek başına bütün karşılaştırmayı açıklamaz. Soru: Depo boşaldıktan sonra negatif hacim veren modelle ne yapmalıyım? Cevap: Doğrusal boşalma kuralının geçerlilik aralığını boşalma anında bitirmelisin. Negatif çıktı bu fiziksel modelde anlamlı değildir; boş depodaki davranış gerekiyorsa ayrıca sıfır hacimli yeni bir bölüm tanımlanır. Soru: Kademeli ücrette neden n−10 gibi bir ifade kullanılır? Cevap: İlk on kullanımın bedeli önceki kademede zaten hesaplanmıştır. n−10 yalnız sonraki kullanım sayısını verir. Yeni fiyatı bütün kullanımlara uygulamak, soruda belirtilmeyen geriye dönük bir indirim oluşturur.

4. Bölüm 4

   Şimdi öğrendiğini dene. Kısa testi çöz; her seçenekteki açıklamayla doğru yöntemi pekiştir. Teste başla.