8. Sınıf Pisagor ve Benzerlik Uygulama Temeli Konu Anlatımı

Rehberli anlatımda söylenen yönlendirmeler dâhil tam metin. Düşünme araları sessizdir.

1. Giriş

   Konuya başlayalım. Üçgende bir uzunluğu bulmadan önce hangi ilişkinin kullanılabileceğini belirlemeliyiz. Dik açı varsa Pisagor, üç kenarın bir şekil oluşturup oluşturamayacağı soruluyorsa üçgen eşitsizliği, karşılıklı kenarlar aynı ölçekte değişiyorsa benzerlik oranı işe yarar. Bu derste hazır formülleri gelişigüzel kullanmak yerine koşulları şeklin üzerinde işaretleyeceğiz. Benzerlikte yalnız temel kenar eşleme ve ölçekleme yapacağız; ileri üçgen teoremleri veya karmaşık çokgen problemleri kullanmayacağız. Her hesapta bulduğun uzunluğun şekle uyduğunu denetle.

2. Ayrıntılı anlatım

   Hipotenüsü bulmak için kareleri topla. Dik kenarları altı ve sekiz santimetre olan üçgende hipotenüsü arayalım. Dik açının karşısındaki kenar hipotenüstür ve en uzun kenardır. Kareler toplamı otuz altı artı altmış dört, yani yüz olur. Bu hipotenüsün karesidir; uzunluk için karekök alıp on santimetre buluruz. Altı ile sekizi toplamak on dört verir ama bu iki kenar boyunca yürüyüşü anlatır, doğrudan eğik kenarı değil. Yüzde durmak da uzunluk yerine uzunluğun karesini cevaplamak olur. Sonucun sekizden büyük olmasına bakarak ilk tutarlılık kontrolünü yapabiliriz. Pisagor bağıntısını dik açı bilgisi olmadan her üçgende kullanmak doğru değildir. Eksik dik kenarda kareler farkı. Hipotenüs yirmi altı, bir dik kenar on santimetre olsun. Bilinmeyen dik kenarın karesi, hipotenüsün karesinden bilinen dik kenarın karesi çıkarılarak bulunur. Altı yüz yetmiş altı eksi yüz, beş yüz yetmiş altı eder. Pozitif karekök yirmi dörttür. Doğrudan yirmi altıdan onu çıkarıp on altı demek kareler ilişkisini atlar. Sonucu on ve yirmi dört üzerinden yeniden denetle: yüz artı beş yüz yetmiş altı, yirmi altının karesidir. Hangi kenarın hipotenüs olduğu çözümün yönünü belirler. Bilinmeyen dik kenarı bulurken hipotenüsle aynı tarafta toplama yaparsan gereğinden büyük bir uzunluk elde edersin. Koordinatlarda dik üçgen oluştur. A noktası bir, iki; B noktası yedi, on koordinatlarında olsun. A'dan B'ye yatay değişim altı, dikey değişim sekiz birimdir. Bu iki değişimi dik kenarlar olarak çizdiğimizde aranan doğru parçası hipotenüs olur. Pisagorla uzunluk on birim bulunur. Hazır uzaklık formülü ezberlemeden yatay ve dikey hareketi şekle dönüştürdük. Noktaların koordinatlarını doğrudan toplamak doğru uzunlukları vermez; aynı eksendeki değerlerin farkları alınmalıdır. Altı artı sekiz, kırık yolun uzunluğudur. Düz çizgi daha kısadır. Grafik eksenleri farklı ölçek kullanıyorsa kare sayıları yerine gerçek birim değişimleri belirlemek gerektiğini de hatırla. Üçgen eşitsizliğinde sınır eşit olamaz. İki kenarı beş ve sekiz santimetre olan üçgenin üçüncü kenarı bu iki sayının farkından büyük, toplamından küçük olmalıdır. Yani üçten büyük ve on üçten küçüktür. Tam sayı isteniyorsa en büyük değer on ikidir. On üç seçilirse iki kısa kenar düz bir doğru üzerinde uzanır; kapalı bir üçgen oluşmaz. Üç alt sınırı da aynı nedenle dâhil değildir. Soruda en küçük tam sayı sorulsaydı dört seçilirdi. Kenar koşulunu bir aralık olarak yazmak, en büyük ve en küçük sorularını karıştırmayı önler. Bu aşamada yalnız toplama ve çıkarma işlemi değil, sınırların kesinliği önemlidir. Benzerlikte karşılık ve yön. Benzer iki üçgende küçük şeklin dört santimetrelik kenarına büyük şeklin on iki santimetrelik kenarı karşılık geliyorsa küçükten büyüğe oran üçtür. Aynı ölçekte diğer kenarlar da üçle çarpılır; açı ölçüleri değişmez. Oranı ters yönde sorarsak üçte bir olur. Her kenara sekiz santimetre eklemek aynı benzerliği sağlamaz; toplama değil ortak çarpan kullanılır. Yeni bir benzer şekil çizerken kenarları sırayla eşleştir ve hepsini aynı oranla büyüt. Bu temel modelde benzerlik verilir veya ölçek açıkça belirtilir. İleri eşlik kuralları, özel benzerlik teoremleri ve karmaşık çokgen ilişkilerini bu derse taşımıyoruz. Üç farklı ilişkiyi denetle. İlk bağımsız kontrol: dik kenarları dokuz ve on iki olan üçgenin hipotenüsü on beştir. İkinci kontrol: kenarları altı ve on olan üçgende üçüncü tam sayı kenar en fazla on beş olabilir; on altı sınırdır ve kabul edilmez. Üçüncü kısa kontrol: beş santimetrelik kenar on santimetreye ölçekleniyorsa yedi santimetrelik karşı kenar on dört olur. Çözümlerini önce kendin tamamla, sonra bu yanıtlarla karşılaştır. Hatanı Pisagor işlemi, hipotenüs seçimi, açık sınır veya benzerlik yönü olarak adlandır. Dört hata türünün çözümü aynı değildir. İlgili bölüme dönüp neden doğru olduğunu açıklayabildiğinde testin transfer bölümüne geç.

3. Sık sorulanlar

   Sık sorulan sorular. Soru: Pisagor her üçgende uygulanabilir mi? Cevap: Hayır. Bu bağıntı dik üçgen içindir. Dik açı ve karşısındaki hipotenüs doğru belirlendikten sonra kareler ilişkisi kurulur. Soru: Eksik dik kenarı bulurken toplama mı çıkarma mı yapılır? Cevap: Hipotenüsün karesinden bilinen dik kenarın karesi çıkarılır. Sonra pozitif karekök alınarak uzunluk bulunur. Soru: Koordinat noktaları arasında hazır formül gerekir mi? Cevap: Bu düzeyde yatay ve dikey farklardan bir dik üçgen oluşturup Pisagor kullanmak yeterlidir. İşlemin geometrik anlamı görünür kalır. Soru: Üçgenin üçüncü kenarı diğer ikisinin toplamı olabilir mi? Cevap: Olamaz. Eşitlikte üçgen kapanmaz. Üçüncü kenar toplamdan kesin küçük, farkın mutlak değerinden kesin büyük olmalıdır. Soru: Küçükten büyüğe benzerlik oranı nasıl yazılır? Cevap: Büyük şeklin kenarı karşılık gelen küçük kenara bölünür. Yön ters çevrilirse oranın da tersi alınır. Soru: Benzer şekil çizmek için kenarlara aynı sayı eklenir mi? Cevap: Genel olarak hayır. Karşılık gelen bütün kenarlar aynı pozitif ölçek çarpanıyla çarpılmalı, açı ölçüleri korunmalıdır.

4. Bölüm 4

   Şimdi öğrendiğini dene. Kısa testi çöz; her seçenekteki açıklamayla doğru yöntemi pekiştir. Teste başla.