8. Sınıf Karekökle Alan ve Kenar Problemleri Konu Anlatımı

Rehberli anlatımda söylenen yönlendirmeler dâhil tam metin. Düşünme araları sessizdir.

1. Giriş

   Konuya başlayalım. Bir alan verildiğinde kenarı bulmak ile kenarlar verildiğinde alanı bulmak ters yönlü iki işlemdir. Kareköklü ifadeleri bu ilişkiyle öğrenirsek kök işareti yalnız soyut bir sembol olmaktan çıkar. Bu derste kare ve dikdörtgen modellerini kullanacağız. Her çözümde önce aranan büyüklüğün uzunluk mu, çevre mi yoksa alan mı olduğunu belirle. Santimetre ile santimetrekare ayrımını korumak, doğru işlem yapsan bile yanlış büyüklüğü seçmeni önler. Hesap sonunda şekle dönerek cevabını yorumla.

2. Ayrıntılı anlatım

   Karenin alanından çevresine. Alanı 72 santimetrekare olan bir kare düşünelim. Bir kenarı kök 72 santimetredir. Yetmiş ikiyi 36 çarpı 2 olarak ayırırsak kenar altı kök iki olur. Burada 36 dışarı aynen çıkmaz; karekökü olan altı çıkar. Karede dört eş kenar bulunduğundan çevre yirmi dört kök iki santimetredir. Şimdi çözümü tersten izle: altı kök ikiyi kendisiyle çarpınca 36 çarpı 2, yani 72 santimetrekare bulursun. Çevreyi alan diye yazmak birim hatası doğurur. Kare modeli kök alma, tam kare çarpanı seçme ve istenen büyüklüğe ulaşma adımlarını aynı çözümde birleştirir. Dikdörtgende köklü kenarların çarpımı. Kenarları üç kök beş ve dört kök beş santimetre olan bir dikdörtgenin alanını bulalım. Katsayıların çarpımı on iki, iki kök beşin çarpımı ise beştir. Alan altmış santimetrekare olur. İki kökün çarpımında kök işareti mutlaka kalacak diye düşünme; aynı kökün kendisiyle çarpılması kök içindeki sayıyı verir. Çevre sorulsaydı kenarlar toplanıp ikiyle çarpılacak ve on dört kök beş santimetre bulunacaktı. Aynı şekilden iki farklı büyüklük çıkarabildiğimiz için soru kökündeki alan veya çevre sözcüğünü işaretlemek yararlıdır. Ayrıca alanın pozitif olması ve iki uzunluğun çarpımıyla uyumlu olması gerekir. Benzer kökleri toplamak. Kök elli ile kök on sekiz uzunluğundaki şeritleri uç uca ekleyelim. Kök elli beş kök iki, kök on sekiz üç kök iki olur. Artık aynı kök türünden beş parça ile üç parça toplanır; sonuç sekiz kök ikidir. Kök içlerini elli artı on sekiz diye birleştirmek geçerli bir toplama kuralı değildir. Bunu yaklaşık değerlerle de fark edebilirsin: kök elli yaklaşık yedi, kök on sekiz yaklaşık dört olduğundan toplam on bir dolayındadır; kök altmış sekiz ise dokuzdan küçüktür. Tahmin kesin cebirsel işlemin yerine geçmez, ancak yanlış yöntemi hızlıca fark etmene yardımcı olur. Verilen alandan eksik kenarı bulmak. Bir dikdörtgenin alanı altmış santimetrekare, bir kenarı üç kök beş santimetre olsun. Diğer kenar alanın bilinen kenara bölümüdür. Sonucun dört kök beş olduğunu çarpmayla doğrulayabiliriz: üç kök beş çarpı dört kök beş altmış eder. Bu denetim, bölme sırasında kök çarpanını kaybetmeyi önler. Aranan kenarı yalnız dört yazarsak geri çarpım alanı vermez. Her zaman önce alan eşitliğini “bilinen kenar çarpı bilinmeyen kenar” diye yaz. Bölmenin anlamını görmek, ezberlenmiş bir işlem dizisinden daha güvenlidir. Bu çalışmada paydasında iki terimli kök toplamları bulunan ileri işlemlere geçmiyoruz. Tahmin ve çevre farkını yorumlamak. Alanı elli metrekare olan karenin kenarı kök ellidir. Kırk dokuz elliden küçük, altmış dört elliden büyük olduğundan kenar yedi ile sekiz metre arasındadır. Kenarı aşmayan tam sayı uzunlukta en uzun çubuk yedi metredir; yukarı yuvarlamak çubuğu fazla uzun yapar. İki karenin çevrelerini karşılaştırırken ise önce her alanı kenara çevir. Alanları elli ve on sekiz olan karelerin kenar farkı iki kök iki, çevre farkı sekiz kök ikidir. Alan farkını doğrudan çevre farkı sanma. Önce hangi büyüklüklerin karşılaştırıldığını belirlemek, köklü işlemden önce gelen model kurma adımıdır. İki bağımsız çözüm kontrolü. Birinci kontrol: alanı 48 santimetrekare olan karenin kenarını ve çevresini bul. Durup hesapladıysan kenarı dört kök üç, çevresi on altı kök üç santimetre olarak görmelisin. İkinci kontrol: iki kök yedi ve beş kök yedi santimetrelik kenarların oluşturduğu dikdörtgenin alanı yetmiş santimetrekaredir. Sonuçları önce çarparak, sonra yaklaşık uzunlukların makul olup olmadığına bakarak denetle. Yanlış seçeneğe gittiğinde “tam kareyi dışarı çıkarma”, “köklerin çarpımı” ve “alan yerine çevre” hatalarını birbirinden ayır. İlgili çözüm basamağını düzeltmeden sadece doğru şıkkı ezberlemek yeni bir şekle geçtiğinde yardımcı olmayacaktır.

3. Sık sorulanlar

   Sık sorulan sorular. Soru: Kare alanı verildiğinde kenar nasıl bulunur? Cevap: Pozitif alanın karekökü alınır. Kök içindeki tam kare çarpan dışarı kareköküyle çıkarılır; birim uzunluk birimine dönüşür. Soru: Karekök çarpımında işaret her zaman kalır mı? Cevap: Hayır. Aynı pozitif karekökün kendisiyle çarpımı kök içindeki sayıyı verir; örneğin kök beş çarpı kök beş beştir. Soru: Kökler toplanırken içlerindeki sayılar toplanır mı? Cevap: Doğrudan toplanmaz. Önce sadeleştirme yapılarak benzer kökler belirlenir; yalnız aynı kök türünün katsayıları toplanır. Soru: Köklü eksik kenar cevabı nasıl kontrol edilir? Cevap: Bulduğun kenarı bilinen kenarla çarp. Çarpım verilen alanı ve doğru alan birimini veriyorsa ters işlem denetimi sağlanmıştır. Soru: Kenara sığacak çubuk neden yukarı yuvarlanmaz? Cevap: Kenar uzunluğunu aşmama koşulu vardır. Üst tam sayı kenardan uzunsa seçilemez; uygun en büyük alt tam sayı alınır. Soru: İki karenin alan farkı çevre farkına eşit midir? Cevap: Genel olarak eşit değildir. Önce her alanın kareköküyle kenarlar bulunur, sonra dört kenardan oluşan çevrelerin farkı hesaplanır.

4. Bölüm 4

   Şimdi öğrendiğini dene. Kısa testi çöz; her seçenekteki açıklamayla doğru yöntemi pekiştir. Teste başla.