8. Sınıf Denklem ve Eşitsizlikle Günlük Problemler Konu Anlatımı

Rehberli anlatımda söylenen yönlendirmeler dâhil tam metin. Düşünme araları sessizdir.

1. Giriş

   Konuya başlayalım. Eşitlik belirli bir dengeyi, eşitsizlik ise kabul edilebilen bir değer aralığını anlatır. Bu iki yapı aynı sayı ve işlemleri içerse bile soruya verdikleri cevap farklıdır. Denklemde dengeyi sağlayan sayıyı, bütçe veya sınır probleminde ise koşulu sağlayan değerleri arayacağız. Çözüm boyunca eşitliğin ya da eşitsizliğin iki tarafına aynı işlemi uygulamayı görünür tut. Son sayı bulununca bağlama dön: adet tam sayı mı, sınır dâhil mi, istenen en büyük değer mi?

2. Ayrıntılı anlatım

   Denklemde iki tarafın dengesini koru. Üç x artı beş eşittir yirmi altı denklemini çözelim. Önce iki taraftan beş çıkarırız; üç x eşittir yirmi bir olur. Sonra iki tarafı üçe böleriz ve x yedi bulunur. Terimi karşıya atınca işaret değişir demek işlemi kısaltabilir, fakat asıl nedeni iki tarafa aynı çıkarma işleminin yapılmasıdır. Kontrol olarak üç çarpı yedi artı beş hesabını yap; yeniden yirmi altı bulmalısın. Yirmi birde durmak, x yerine üç x değerini cevaplamak olur. Soruda istenen bilinmeyeni yalnız bırakana kadar çözümü tamamlamak gerekir; her satır önceki dengeyi korumalıdır. Paydalı ifadede işlemlerin ters sırası. x artı dört bölü üç ifadesinin değeri altı olsun; parantez bütün payı kapsıyor. Önce her iki tarafı üçle çarparak paydadaki bölmeyi kaldırırız. x artı dört eşittir on sekiz olur. Ardından dört çıkarıp x on dört buluruz. Yanlış olarak altıyı üçe bölmek, zaten var olan bölmeyi kaldırmak yerine tekrarlamaktır. İşlemleri bir makine gibi düşünebilirsin: bilinmeyene dört ekleniyor, sonra üçe bölünüyor. Geri giderken önce üçle çarpılır, sonra dört çıkarılır. Sonucu başlangıçtaki parantezli ifadeye yazmak hem işlem sırasını hem payın kapsamını denetler. Parantezi okumadan sayı seçmekten kaçın. Kutudaki bilinmeyeni modellemek. Dört özdeş kutunun her birinde bilinmeyen sayıda mavi ve üç sarı kart bulunsun; toplam kırk dört kart olsun. İlk yol toplamı dörde bölmektir: bir kutuda on bir kart vardır. Üç sarıyı çıkarınca sekiz mavi bulunur. Denklem dört çarpı parantez içinde x artı üç eşittir kırk dört biçimindedir. Toplamdan yalnız üç sarı çıkarmak yanlıştır, çünkü her kutuda üç sarı vardır. Modelde kutu sayısı ile kutu içindeki sayıları farklı düzeylerde tut. Aynı cevabı dört x artı on iki eşittir kırk dört üzerinden de bulabilirsin. İki çözüm yolunun aynı dağıtımı anlattığını açıkla. Bütçede en büyük tam sayı. Yedi lira sabit gideri olan bir çalışmada her malzeme dört lira ve bütçe otuz lira olsun. Yedi artı dört x küçük veya eşit otuz koşulunu yazarız. Sabit giderden sonra yirmi üç lira kalır; bu tutar beş malzemeye yeter. Altı malzeme için toplam otuz bir lira gerektiğinden altı seçilemez. Bölüm ondalıklı çıkarsa yukarı yuvarlamak bütçeyi aşırabilir. Burada x bir adet olduğu için tam sayı olmalıdır. “En çok” sözcüğü yalnız eşitsizliğin işaretini değil, uygun değerler içinden hangisini seçeceğimizi de belirler. Beşi ve altıyı modele yazmak sınırı açıkça kanıtlar. Negatif katsayı ve açık sınır. Yirmi eksi üç x büyüktür beş eşitsizliğinde önce yirmi çıkaralım. Eksi üç x büyüktür eksi on beş olur. Eksi üçe böldüğümüzde yön değişir ve x beşten küçük çıkar. Neden yön değişiyor? Sayı doğrusunda negatifle çarpma büyüklük sırasını ters çevirir; örneğin iki üçten küçükken eksi iki eksi üçten büyüktür. En büyük tam sayı dört olur. Beş sınırda eşitlik oluşturur ve kesin büyük işaretini sağlamaz. Bu derste eşitsizlikler en çok iki işlem gerektiren biçimdedir; gereksiz karmaşık dönüşümler yerine işlem yönünü ve sınırın dâhil olup olmadığını anlamaya odaklanırız. Aralıkta say ve iki kontrol yap. x en az üç ve sekizden küçük bir tam sayıysa değerler üç, dört, beş, altı ve yedidir; beş değer vardır. Üst sınırı da saymak altı, alt sınırı dışlamak dört sonucu verir. Uçların açık veya kapalı olduğunu ayrı işaretle. Bağımsız kontrol olarak iki x artı yedi eşittir yirmi üç denklemini çöz; x sekizdir. İkinci kontrol, beş artı üç x küçük veya eşit yirmi koşulunda en büyük tam sayı x beştir. Bu kez sınır eşitliği kabul edilir. Yanlışlarını denklem işlemi, negatifle bölme, tam sayı seçimi ve uç nokta sayımı diye ayırıp yalnız ilgili bölümü yeniden çalış.

3. Sık sorulanlar

   Sık sorulan sorular. Soru: Denklemde neden iki tarafa aynı işlem yapılır? Cevap: Eşitliğin dengesini korumak için yapılır. Bir terimi taşıma kısaltmasının arkasında iki tarafa aynı toplama veya çıkarma işlemi vardır. Soru: Paydalı denklemde neden önce çarpma yapılır? Cevap: Payın tamamı bir sayıya bölünmüşse bu bölmeyi tersine çevirmek için iki taraf paydayla çarpılır. Sonra pay içindeki ekleme veya çıkarma çözülür. Soru: Kutu probleminde sabit kart sayısı nasıl kullanılır? Cevap: Her kutuda bulunduğu için kutu sayısıyla birlikte düşünülür. Önce kutu başına toplamı bulmak, yalnız bir kutunun sabitini toplamdan çıkarma hatasını önler. Soru: Bütçede ondalıklı adet yukarı yuvarlanabilir mi? Cevap: En fazla bütçe koşulunda yukarıdaki tam sayı bütçeyi aşabilir. Uygun en büyük tam sayıyı ve bir sonrakini ayrı ayrı denetlemelisin. Soru: Negatif sayıya bölmede eşitsizlik yönü değişir mi? Cevap: Evet. Negatifle çarpma veya bölme sıralamayı ters çevirdiği için küçük ve büyük yönleri değiştirilir. Soru: Küçüktür ile küçük veya eşit arasındaki fark nedir? Cevap: Küçük veya eşitte sınır değeri kabul edilir, kesin küçüklükte edilmez. Tam sayı listesinin ilk ve son öğesi bu ayrıma göre seçilir.

4. Bölüm 4

   Şimdi öğrendiğini dene. Kısa testi çöz; her seçenekteki açıklamayla doğru yöntemi pekiştir. Teste başla.