8. Sınıf Basit Olasılıkta Sayma Modelleri Konu Anlatımı

Rehberli anlatımda söylenen yönlendirmeler dâhil tam metin. Düşünme araları sessizdir.

1. Giriş

   Konuya başlayalım. Olasılık sorusunda kesir yazmadan önce neyin rastgele seçildiğini belirlemeliyiz. Renk mi, tek tek bilye mi, numaralı kart mı, eş büyüklükteki çark dilimi mi? Aynı görünmeyen modellerin ortak düşüncesi, eş şanslı bütün çıktıları ve istediğimiz olaya uyan çıktıları saymaktır. Bu derste her deneyde yalnız bir seçim yapacağız. Birden fazla çekilişi, koşullu olasılığı veya lise düzeyindeki sayma formüllerini kullanmayacağız. Önce örnek uzayı kurup sonra sayıları kesre yerleştireceğiz.

2. Ayrıntılı anlatım

   Çıktı, olay ve bütün durumlar. Torbada dört kırmızı, altı mavi ve iki yeşil bilye olsun. Özdeş büyüklükteki bilyeler karıştırılıp bir tanesi seçiliyor. Bütün durum sayısı üç renk değil, on iki bilyedir. Kırmızı gelme olayı dört bilyeyi kapsadığı için olasılık dört bölü on iki, yani üçte birdir. Neden bu oranı kullanabiliyoruz? Çünkü her bilyenin seçilme şansının eşit olduğu kabul edildi. Bilyelerin büyüklükleri veya seçme yöntemi farklıysa yalnız adetler yeterli bilgi olmayabilir. Sorudaki adil, rastgele ve özdeş ifadelerini gereksiz ayrıntı sayma. Bunlar hesap modelinin hangi koşullarda geçerli olduğunu anlatır ve paydanın doğru kurulmasını sağlar. Olmama olayını eksiksiz say. Aynı torbada mavi olmama olayını düşünelim. Bu olay yalnız kırmızı demek değildir; yeşilleri de kapsar. Dört kırmızı ile iki yeşil birlikte altı uygun çıktı verir. Olasılık altı bölü on iki, yani yarımdır. Başka bir yol da birden mavi gelme olasılığını çıkarmaktır. Çünkü seçilen her bilye ya mavidir ya da mavi değildir; bu iki durum birbirini dışlar ve bütün olasılığı tamamlar. Toplamları bir olmalıdır. Şimdi yalnız kırmızıyı sayarsan hangi rengi dışarıda bıraktığını söyle. Bu küçük sözlü kontrol, “olmama” ifadesini gözden kaçırdığında hangi çıktıları eksik saydığını fark ettirir. Numaralı kart ve eş dilim modelleri. Birden on sekize kadar sayılar özdeş kartlara yazılmışsa üçün katlarını sistematik listeleyebiliriz: üç, altı, dokuz, on iki, on beş, on sekiz. Altı uygun kart ve on sekiz bütün kart vardır; oran üçte birdir. Çark modelinde ise on eş dilimden üçünün boyalı olması, boyalıya gelme olasılığını üç bölü on yapar. Çarktaki renk sayısı veya renklerin isimleri hesabı değiştirmez; eş alanlı dilimler sayılır. Dilimler eş büyüklükte değilse aynı sayma yöntemi doğrudan kullanılamaz. Model değiştiğinde önce eş şanslı temel parçanın ne olduğunu yeniden belirle, ardından pay ve paydayı yaz. Olasılıktan eksik sayıya gitmek. Bir torbada beş kırmızı ve bilinmeyen sayıda mavi bilye olduğunu düşün. Kırmızı gelme olasılığı üçte bir ise beş kırmızı, toplamın üç eş parçasından biridir. Toplam on beş bilye bulunmalıdır. Mavi sayısı ise on beşten beşi çıkarınca on olur. Burada en yaygın hata toplam sayıyı doğrudan mavi sayısı olarak vermektir. Sonucunu yerine koy: beş bölü beş artı on, yani beş bölü on beş, üçte birdir. Ters problem çözerken başlangıçtaki kesri yeniden kurmak güçlü bir denetimdir. Olasılık değerinin tek başına bir adet olmadığını, bir oran ifade ettiğini hatırla. Eş olasılık için sayıları dengele. Torbada dört kırmızı ve dokuz mavi bilye varsa, yalnız kırmızı ekleyerek iki rengi eş olasılıklı yapmak için ne gerekir? Seçim tek bir bilye üzerinden ve eş şansla yapıldığı için iki renk sayısı eşitlenmelidir. Kırmızıyı dörtten dokuza çıkarırız; beş kırmızı bilye eklenir. Eklenen miktar dokuz değil, aradaki fark olan beştir. Son durumda toplam on sekiz ve her renkten dokuz vardır; olasılıklar yarımdır. Altı kırmızı ekleseydik kırmızı daha olası hâle gelirdi. Böylece yalnız sayısal işlemle değil, karşılaştırma düşüncesiyle de gereğinden fazla veya eksik eklemeyi fark edebiliriz. Bir seçim için bağımsız kontroller. Şimdi ilk kontrolü çöz: birden yirmi dörde kadar özdeş kartlardan tek seçim yapılıyor. Dördün katı gelme olasılığını hesapla. Altı uygun kart bulunduğu için sonuç altı bölü yirmi dört, yani dörtte birdir. İkinci kontrol: üç kırmızı ve yedi mavi bilye bulunan torbaya dört kırmızı eklendiğinde her rengin olasılığı yarım olur. Cevaplara bakmadan bütün durumları listelemeyi dene. Eğer yanlışın paydadaysa örnek uzaya; paydaysa istenen olaya; birden çıkarma işlemindeyse tümleyene dön. Olasılık sıfır ile bir arasında kalmalıdır. Ancak bu aralıkta olmak tek başına doğruluk kanıtı değildir; saydığın çıktılar da olaya uymalıdır.

3. Sık sorulanlar

   Sık sorulan sorular. Soru: Olasılık hesabında renk sayısı neden payda olmaz? Cevap: Eş şanslı seçim tek tek bilyelerden yapılıyorsa örnek uzay bütün bilyelerdir. Renk başına adetler farklı olabilir. Soru: Mavi olmama olayı hangi renkleri kapsar? Cevap: Modelde mavi dışındaki bütün renkleri kapsar. Yalnız tek bir başka rengi saymak tümleyen olayı eksik bırakır. Soru: Kartın üstündeki sayı olasılığı değiştirir mi? Cevap: Kartlar özdeş ve seçim adilse her kart eş şanslıdır. Sayılar yalnız hangi kartların istenen olaya uyduğunu belirler. Soru: Çark dilimlerinin eş olması neden önemlidir? Cevap: Eş şanslı dilimleri sayarak oran kurabilmek için eş büyüklük ve adil çark koşulu gerekir; farklı alanlı dilimler aynı ağırlıkla sayılamaz. Soru: Kırmızı olasılığı üçte birse mavi sayısı nasıl bulunur? Cevap: Yalnız iki renkli modelde kırmızı sayı toplamın üçte biridir. Toplamın üç katını bulup mevcut kırmızıları çıkararak mavi sayısını elde edersin. Soru: Bu basit olasılık paketi ardışık çekiliş içerir mi? Cevap: Hayır. Bütün sorular tek rastgele seçime dayanır. Bilinen sayıda bilye ekleme sonrası da yalnız bir seçim yapılır.

4. Bölüm 4

   Şimdi öğrendiğini dene. Kısa testi çöz; her seçenekteki açıklamayla doğru yöntemi pekiştir. Teste başla.