7. Sınıf Matematik Teorik Olasılık ve Olaylar Konu Anlatımı

Rehberli anlatımda söylenen yönlendirmeler dâhil tam metin. Düşünme araları sessizdir.

1. Giriş

   Konuya başlayalım. Olasılık, sonucu önceden kesin olarak bilinmeyen deneyler hakkında ölçülü tahmin yapmamızı sağlar. Bir para atışında yazı veya tura gelebilir; bir zar atışında altı farklı sonuç vardır. Önce bütün olası sonuçları içeren örnek uzay doğru kurulmalı, sonra ilgilendiğimiz olay bu uzayın alt kümesi olarak belirlenmelidir. Sonuçlar eş olasılıklıysa teorik olasılık uygun durum sayısının bütün durum sayısına oranıdır. Tümleyen olay, ayrık olay ve ortak sonuçlu olay ilişkileri daha karmaşık soruları düzenler. Sonuçların gerçekten eşit olabilirlikte olup olmadığını sorgulamak, yanlış oran kurmayı önler.

2. Ayrıntılı anlatım

   Deney, sonuç, örnek uzay ve olay. Sonucu kesin bilinmeyen fakat olası sonuçları tanımlanabilen sürece şans deneyi denir. Deneyin tek bir gerçekleşmesi sonuçtur. Bütün olası sonuçların kümesi örnek uzay, belirli koşulu sağlayan sonuçların kümesi olaydır. Standart bir zar için S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}; çift gelme olayı {2, 4, 6} olur. Örnek uzayın hiçbir sonucunu içermeyen olay imkânsız, bütün sonuçlarını içeren olay kesindir. Sistematik liste veya tablo eksik sonuç bırakmayı önler. Eş olasılıklı sonuçlarda teorik olasılık. Sonuçlar eşit olabilirlikteyse P(A) = A olayındaki sonuç sayısı / örnek uzaydaki sonuç sayısıdır. Standart zarda 4’ten büyük gelme olayı {5, 6} olduğundan olasılık 2/6 = 1/3’tür. Olasılık 0 ile 1 arasındadır; 0 imkânsız, 1 kesin olayı gösterir. Kesir, ondalık veya yüzde biçiminde ifade edilebilir. Torbadaki renk sayıları eşit değilse renkler eş olasılıklı değildir; tek tek bilyeler eş olasılıklı sonuç olarak sayılmalıdır. Tümleyen olay ve en az bir stratejisi. A olayının gerçekleşmemesi A′ tümleyen olayıdır. A ve A′ birlikte bütün örnek uzayı oluşturur ve ortak sonuçları yoktur; bu nedenle P(A) + P(A′) = 1’dir. P(A) = 0,35 ise P(A′) = 0,65 olur. “En az bir” içeren sorularda doğrudan birçok durumu saymak yerine hiç gerçekleşmeme olasılığını bulup 1’den çıkarmak kolay olabilir. İki zarın en az birinde 6 gelmesi, hiçbirinde 6 gelmemesinin tümleyenidir. Ayrık ve ayrık olmayan olaylar. Aynı deneyde birlikte gerçekleşemeyen olaylar ayrıktır. Bir zarın tek gelmesi ile çift gelmesi ortak sonuç taşımadığı için ayrıktır ve birleşim olasılıkları toplanır. “Çift gelme” ile “3’ten büyük gelme” olayları 4 ve 6 sonuçlarında kesişir; ayrık değildir. Ayrık olmayan olaylarda P(A∪B) = P(A) + P(B) − P(A∩B) kullanılır. Ortak sonuç bir kez sayılmalıdır; aksi hâlde olasılık gereğinden büyük bulunur. Eşit olmayan olabilirlik ve deneysel kontrol. Bir çarkın dilimleri farklı alanlara sahipse her renk eşit olasılıklı kabul edilemez. Olasılık, eş alanlı temel bölgeler üzerinden hesaplanmalıdır. Teorik olasılık ideal modelin uzun dönemde beklediği oranı verir; deneysel olasılık gerçekleşen denemelerdeki sıklığa dayanır. Az sayıda denemede iki değer farklı olabilir. Deneme sayısı arttıkça dengeli bir deneyde deneysel oran çoğunlukla teorik değere yaklaşır. Ancak araç hatalıysa veya seçim süreci yanlıysa bu yakınlaşma beklenen biçimde gerçekleşmeyebilir.

3. Sık sorulanlar

   Sık sorulan sorular. Soru: Örnek uzay ile olay arasındaki fark nedir? Cevap: Örnek uzay deneyin bütün olası sonuçlarını, olay ise belirli koşulu sağlayan sonuçların bir alt kümesini içerir. Soru: Teorik olasılık hangi durumda uygun durumların tüm durumlara oranıdır? Cevap: Örnek uzaydaki temel sonuçların birbirleriyle eşit olabilirliğe sahip olduğu doğrulandığında bu oran kullanılır. Soru: Bir olay ile tümleyeninin olasılıkları neden toplamda birdir? Cevap: Olayın gerçekleşmesi ve gerçekleşmemesi bütün olasılıkları eksiksiz ve ortak sonuç olmadan kapsar. Soru: İki olayın ayrık olduğu nasıl anlaşılır? Cevap: Olay kümelerinin ortak hiçbir sonucu yoksa aynı deneyde birlikte gerçekleşemezler ve ayrık kabul edilirler. Soru: Deneysel olasılık teorik olasılıktan neden farklı çıkabilir? Cevap: Sonlu sayıda denemede rastlantısal dalgalanma olur; deneme sayısı arttıkça dengeli deneyde fark genellikle azalır.

4. Bölüm 4

   Şimdi öğrendiğini dene. Kısa testi çöz; her seçenekteki açıklamayla doğru yöntemi pekiştir. Teste başla.