7. Sınıf Matematik: Doğru Orantıda Birim Değer ve Yüzde

Rehberli anlatımda söylenen yönlendirmeler dâhil tam metin. Düşünme araları sessizdir.

1. Giriş

   Konuya başlayalım. Doğru orantılı bir durumda iki nicelik aynı katsayıyla değişir ve uygun birim oran sabit kalır. Bu derste birim fiyat, tarif miktarı, yüzde ve oranla paylaşım üzerinde çalışacaksın. Her artan iki nicelik doğru orantılı değildir: sabit bir başlangıç bedeli ilişkiyi değiştirebilir. Önce tablo kur, bir birime karşılık gelen miktarı bul ve yeni duruma ölçekle. Sorulardaki fiyatlar matematik alıştırması için seçilmiş kurgu değerlerdir. Bu paket doğru orantılı problemler ve orantılı olmayan basit karşılaştırmalarla sınırlıdır. İlgisiz bir işlem şablonunu ezberlemek yerine neden aynı birim oranı kullanabildiğini açıklaman beklenir.

2. Ayrıntılı anlatım

   Ön değerlendirme: sabit olan niceliği bul. Üç defter 27 TL tutuyor ve her defter aynı fiyattan alınıyorsa bir defter 9 TL’dir. Altı defter 54 TL tutar. Defter sayısı iki katına çıkarken bedel de iki katına çıktı; 27/3 ile 54/6 aynı birim fiyatı verir. Fakat geçen yıl ile bir kişinin boyu böyle bir ilişki kurmaz; yıl sayısı iki katına çıkınca boy iki katına çıkmak zorunda değildir. Şimdi iki sütunlu küçük bir tablo oluştur ve her satırda bedeli defter sayısına böl. Sabit çıkan değerin birimini TL/defter olarak yaz. Sabit kalan toplam değil birim orandır. Bu ayrım, yalnız iki nicelik birlikte artıyor diye orantı varsaymanı engeller. Birim değere in ve yeni miktara ölçekle. Dört kişilik bir tarif 240 gram un içeriyorsa kişi başına 60 gram düşer. Yedi kişi için 7 × 60 = 420 gram gerekir. Birim değere inmek, önce verilen toplamı kişi sayısına bölmek demektir. Kişi sayısındaki üç kişilik artışı doğrudan 240 grama ekleyemezsin; kişi ile gram farklı birimlerdir. Aynı hesabı ölçek katsayısıyla da kurabilirsin: yedi kişilik miktar, dört kişiliğin 7/4 katıdır. Kontrol için 420’yi yediye, 240’ı dörde böl; iki bölüm de 60 olmalıdır. Tarif modelinde her kişi için aynı miktarın istendiği kabul edilir. Bu koşul değiştiğinde birim oranı otomatik olarak sabit sayamazsın. Yüzde indirimi ile son fiyatı ayır. Dört yüz liralık bir üründe yüzde on beş indirim düşünelim. Yüzde birlik miktar 4 TL, yüzde on beşlik miktar 15 × 4 = 60 TL’dir. Son fiyat 400 − 60 = 340 TL olur. Altmış indirim tutarıdır; ödenecek bedel değildir. On beşi sabit lira gibi çıkarıp 385 yazmak yüzdeyi niceliğe çevirmeden işlem yapmaktır. Şimdi yüz eş kutulu bir şema düşün: her kutu dört lira, çıkarılan on beş kutu altmış liradır. Ödenen seksen beş kutunun bedeli de 340 liradır. Son fiyat ile indirim tutarını topladığında etiket fiyatını geri bulmalısın. Bu kontrol, artışla indirimi karıştırdığında da hatayı görünür kılar. Yüzdesi bilinen miktardan bütünü bul. Bir kitaplığın yüzde yirmi beşi 40 kitap olsun. Yüzde yirmi beş, bütünün dörtte biridir; bütün dört tane kırklık parçadan oluşur ve 160 kitaptır. Verilen kırk sayısının yeniden yüzde yirmi beşini almak on verir ama bu bütün değildir. Önce verilen miktarın yüzde kaçlık parçayı temsil ettiğini işaretle. Başka bir yol, yüzde birlik miktarı 40 ÷ 25 = 1,6 kitaplık hesap birimi olarak düşünüp yüzle çarpmaktır; sonuç yine 160’tır. Burada ara oransal değer, gerçek kitapları kesmek anlamına gelmez. Tam kitap sayısının sonunda tam sayı olmasını ayrıca kontrol ederiz. Bulduğun bütünün yüzde yirmi beşi yeniden kırk olmalıdır. Oranla paylaşırken bütün payları birlikte say. Altmış kartın iki gruba 2/3 oranıyla dağıtılması, birinci grubun iki, ikinci grubun üç eş pay almasıdır. Bütün beş pay olduğundan bir pay 60 ÷ 5 = 12 karttır. İlk grup 24, ikinci grup 36 kart alır. İlk gruba toplamın 2/3’ünü vermek 40 kart yapar ve kalan 20 ile oran 2 olur; istenen 2/3 olmaz. Parça-parça oranı ile parça-bütün oranı farklıdır. Şimdi beş eş kutu çiz, ikisini birinci gruba, üçünü ikinci gruba ayır. Hem 24 + 36 = 60 toplamını hem 24/36 = 2/3 oranını kontrol et. İki denetim birlikte, yalnız toplamın doğru olmasının yeterli olmadığını gösterir. Sabit bedelli modelde orantı varsayımını sorgula. Bir atölye bir kez 10 TL hazırlık ve parça başına 6 TL alıyor olsun. Üç parça 10 + 18 = 28 TL, altı parça 10 + 36 = 46 TL tutar. Üç parçanın bedelini ikiyle çarpmak 56 TL verir; hazırlık bedelini yanlışlıkla iki kez saymış oluruz. Toplam fiyat parça sayısıyla doğru orantılı değildir, fakat hazırlık çıkarıldıktan sonraki değişken kısım birim fiyatla doğru orantılıdır. Şimdi tablonun her satırına sabit ve değişken gider için ayrı sütun ekle. Testte hata yaptığında “sabit kalan ne, birim oran ne, bütün kaç pay?” sorularına dön. Kendi karşı örneğini kurup bir iddianın neden her durumda geçerli olmadığını açıklamak, modeli yalnız hesaplamaktan daha derin anlamanı sağlar.

3. Sık sorulanlar

   Sık sorulan sorular.

4. Bölüm 4

   Şimdi öğrendiğini dene. Kısa testi çöz; her seçenekteki açıklamayla doğru yöntemi pekiştir. Teste başla.