6. Sınıf Matematik: Kesirli Miktarlarda Bütün ve Kalan

Rehberli anlatımda söylenen yönlendirmeler dâhil tam metin. Düşünme araları sessizdir.

1. Giriş

   Konuya başlayalım. Kesir problemlerindeki en önemli soru, “Bu kesrin bütünü hangisi?” sorusudur. Başlangıçtaki bütün ile bir işlemden sonra kalan miktar aynı olmayabilir. Bu derste bir çokluğun kesrini bulacak, parçadan bütüne dönecek ve ardışık işlemlerde değişen bütünü takip edeceksin. Bir uzunluk şeridi çizmek veya miktarı eş kutularla göstermek işlemi ezberlemekten daha açıklayıcıdır. Önce bütünün birimini yaz: sayfa, etiket, litre veya santimetre. Ardından paydanın kaç eş parça oluşturduğunu, payın bunların kaçını seçtiğini belirt. Sonuçta kullanılanlarla kalanların toplamını kontrol ederek ölçünün korunduğunu göstermeye çalış.

2. Ayrıntılı anlatım

   Ön değerlendirme: eş parçalar ve birim. Bir bütün sekiz eş parçaya ayrılmışsa her parça bütünün sekizde biridir. Parçalar eş değilse yalnız sekiz tane görünmeleri sekizde bir olmaları için yeterli değildir. Seksen sayfalık bir kitabı sekiz eş gruba ayırdığında her grup on sayfa olur. Bu gruplardan üçünün toplamı otuz sayfadır. Böylece 3/8, “sekiz eş parçadan üçü” anlamını taşır. Şimdi bir şeridi sekiz eş bölmeye ayır ve üçünü boya. Payda parça büyüklüğünü, pay seçilen parça sayısını etkiler. Sayfa miktarıyla kesir gösterimini aynı şey sanma: 3/8 bir oran, otuz ise bu bütündeki sayfa miktarıdır. Bütün büyüdüğünde aynı kesrin temsil ettiği miktar da değişir. Bütünden parçaya ve parçadan bütüne git. Doksan altı sayfalık kitabın 3/8’i, 96 ÷ 8 × 3 = 36 sayfadır. Önce bir eş parçayı, sonra üç parçayı bulduk. Ters yöndeki bir soruda kalemlerin 3/5’i 24 kalem olsun. Yirmi dört, üç eş parçayı gösterir; bir parça 24 ÷ 3 = 8 kalemdir. Bütün beş parça olduğundan 8 × 5 = 40 kalem bulunur. Kontrol: 40 × 3/5 = 24. İki soruda aynı tür kesir bulunmasına rağmen verilen nicelik farklıdır. İlkinde bütün verilmiş, ikincisinde parça verilmiştir. İşlemi seçmeden önce şeklin üzerinde verilen miktarı işaretlemek, yanlış yönde yeniden kesir almanı önler. Aynı bütünün iki kesrini birlikte çıkar. Altmış metrelik ipin başlangıç uzunluğunun 1/4’ü ve yine başlangıç uzunluğunun 1/6’sı kesilsin. Kesilen uzunluklar 15 ve 10 metredir; kalan 60 − 15 − 10 = 35 metredir. Kesirlerle de 1/4 + 1/6 = 3/12 + 2/12 = 5/12 kullanılmış olur; geriye 7/12 kalır. İki kesrin de aynı bütüne ait olması burada belirleyicidir. Paydaları doğrudan toplayıp 2/10 yazmak eş büyüklükte parçalar kullanmaz. Şimdi modeli on iki eş bölmeyle çiz: üç bölme birinci kullanım, iki bölme ikinci kullanım, yedi bölme kalan olsun. Üç bölmenin neden dörtte bire, iki bölmenin neden altıda bire eşit olduğunu şekilden açıklamayı dene. Kalanın kesrinde bütünün değiştiğini gör. Doksan etiketin önce üçte biri kullanılsın. Otuz etiket kullanılır ve altmış kalır. Sonra kalanların yarısı kullanılırsa ikinci kullanım otuzdur; son kalan yine otuz olur. İkinci yarım, doksanın değil altmışın yarısıdır. Başlangıçtaki bütünün yarısını çıkarırsan başka bir problemi çözmüş olursun. Şimdi iki ayrı şerit çiz: ilk şerit doksan etiketi, ikinci şerit ilk işlemden kalan altmış etiketi temsil etsin. İkinci şeridin tamamı, ilk şeridin yalnız bir parçasıdır. İşlemlerin sonunda ilk kullanılan, ikinci kullanılan ve kalan miktarı topla; doksanı bulmalısın. Bu denetim özellikle “kalanın”, “başlangıçtaki” ve “tamamının” sözcüklerini kaçırdığında hatanın nerede oluştuğunu ortaya çıkarır. Küçük kaplardan kaç tane gerektiğini hesapla. Beş litre suyu, her biri çeyrek litre alan bardaklara dolduralım. Bir litre dört bardak doldurur; beş litre yirmi bardak doldurur. İşlem 5 ÷ 1/4 = 20 biçiminde yazılabilir. Bölmenin sonucu her zaman verilen sayıdan küçük olacak diye bir kural yoktur. Burada bir litreden küçük parçaları saydığımız için parça sayısı büyür. Kontrol 20 × 1/4 = 5 litredir. Şimdi bir litreyi dört eş kapla canlandır ve litre sayısını artır. İstenen su miktarı değil bardak sayısıdır; cevap birimini bardak olarak yaz. Kapların eş kapasitede olduğu ve artan su olmadığı bilgilerini de modelde koru. Bu koşullar değişirse aynı işlem tek başına yeterli olmayabilir. Uzunluğu dönüştür, kaybı çıkar, tam parçayı say. Dört metrelik şeridin on santimetresi kullanılamasın. Önce dört metreyi dört yüz santimetreye çeviririz; kullanılabilir uzunluk 390 santimetredir. Yirmi beş santimetrelik tam parçalar için 390 ÷ 25 işlemi on beş tam parça ve on beş santimetre kalan verir. On altı parça dört yüz santimetre gerektirir ve eldeki şeride sığmaz. Kısa kalan parça yeni bir tam parça sayılamaz. Kesim sırasında ayrıca kayıp olmadığı soru koşuludur; gerçek bir kesimde farklı kayıplar varsa modele ayrıca eklenmelidir. Test sonunda yanlışını birim, bütün seçimi veya kalan yorumu olarak sınıflandır. İlgili şekle dön ve farklı uzunlukla bir örnek kurarak sonucun neden mümkün olduğunu açıkla.

3. Sık sorulanlar

   Sık sorulan sorular.

4. Bölüm 4

   Şimdi öğrendiğini dene. Kısa testi çöz; her seçenekteki açıklamayla doğru yöntemi pekiştir. Teste başla.