6. Sınıf Matematik Asal Sayılar ve Ortak Bölen-Katlar Konu Anlatımı

Rehberli anlatımda söylenen yönlendirmeler dâhil tam metin. Düşünme araları sessizdir.

1. Giriş

   Konuya başlayalım. Yalnız 1’e ve kendisine kalansız bölünen, 1’den büyük doğal sayılara asal sayı denir. Asal sayılar doğal sayıların yapı taşlarıdır; her bileşik sayı asal çarpanların çarpımı biçiminde yazılabilir. Ortak bölenler iki miktarı eşit ve artıksız gruplara ayırmayı, ortak katlar ise farklı aralıklarla tekrarlanan olayların buluşma zamanını anlamamızı sağlar. EBOB en büyük ortak böleni, EKOK ise sıfırdan büyük en küçük ortak katı ifade eder. İşlemi seçmeden önce problemin “en büyük eş grup” mu yoksa “ilk ortak tekrar” mı sorduğunu belirlemek gerekir.

2. Ayrıntılı anlatım

   Asal olma durumunu kanıtla. Bir sayının asal olup olmadığını anlamak için 1 ve kendisi dışındaki bölenleri araştırırız. Tüm sayıları denemek yerine sayının kareköküne kadar olan asal bölenleri kontrol etmek yeterlidir. Örneğin 97 için 2, 3, 5 ve 7 denenir; hiçbiri kalansız bölmediği için 97 asaldır. 1 sayısı asal değildir, çünkü yalnız bir pozitif böleni vardır. 2 ise tek çift asal sayıdır. Bir sayının son basamağı veya büyüklüğü tek başına asal olduğuna karar vermek için yeterli değildir. Asal çarpanlara ayırmayı düzenle. Bileşik bir sayıyı asal çarpanlarına ayırırken en küçük asal sayıdan başlayabiliriz. 84 sayısı önce 2’ye bölünür: 84 = 2 × 42, sonra 42 = 2 × 21 ve 21 = 3 × 7 olur. Böylece 84 = 2² × 3 × 7 biçiminde yazılır. Çarpan ağacı farklı kollardan kurulsa da son asal çarpanlar aynı olmalıdır. Bulduğumuz çarpanları çarparak başlangıç sayısına dönmek çözümün temel kontrolüdür. EBOB ile en büyük eş grubu bul. İki miktar aynı büyüklükte, artıksız gruplara ayrılacaksa grup büyüklüğü iki sayının ortak böleni olmalıdır. En büyük grup istendiğinde EBOB kullanılır. 72 ve 108 için asal çarpanların ortak olanları küçük üsleriyle alınır: 72 = 2³ × 3², 108 = 2² × 3³ olduğundan EBOB = 2² × 3² = 36’dır. Sonucun iki sayıyı da kalansız böldüğü ve daha büyük bir ortak bölen bulunmadığı kontrol edilmelidir. Aralarında asal iki sayının EBOB’u 1’dir. EKOK ile ilk ortak tekrarı belirle. Farklı aralıklarla gerçekleşen olayların yeniden aynı anda oluşacağı ilk pozitif zaman EKOK ile bulunur. Asal çarpanlar kullanılırken tüm asal tabanlar büyük üsleriyle alınır. 12 = 2² × 3 ve 18 = 2 × 3² için EKOK = 2² × 3² = 36’dır. EBOB ile EKOK’u ayırmak için sonucun büyüklüğüne de bakabiliriz: EBOB verilen sayılardan büyük olamaz; EKOK ise sıfırdan farklı sayılar için verilen sayıların en az büyüğü kadardır. Bulunan ortak katın bütün aralıklara kalansız bölünmesi gerekir.

3. Sık sorulanlar

   Sık sorulan sorular. Soru: 1 sayısı neden asal kabul edilmez? Cevap: Asal sayıların tam iki pozitif böleni olmalıdır. 1 sayısının yalnızca kendisi olmak üzere tek pozitif böleni vardır. Soru: Bir sayının asal olduğu kısa yoldan nasıl kontrol edilir? Cevap: Sayının kareköküne kadar olan asal sayılara bölünüp bölünmediği denenir; hiçbiri tam bölmüyorsa sayı asaldır. Soru: EBOB hangi tür problemlerde kullanılır? Cevap: Miktarları artıksız, eşit ve mümkün olan en büyük gruplara ayırma ya da en büyük ortak ölçüyü bulma sorularında kullanılır. Soru: EKOK hangi tür problemlerde kullanılır? Cevap: Farklı aralıklarla yinelenen olayların ilk ortak zamanını veya miktarların ortak en küçük katını bulma sorularında kullanılır. Soru: Asal çarpanlara ayırma sonucu nasıl kontrol edilir? Cevap: Elde edilen asal çarpanlar üsleriyle birlikte çarpılır; sonuç başlangıçtaki doğal sayıya eşit olmalıdır.

4. Bölüm 4

   Şimdi öğrendiğini dene. Kısa testi çöz; her seçenekteki açıklamayla doğru yöntemi pekiştir. Teste başla.