6. Sınıf Matematik: Çarpan, Kat ve Eş Gruplama Atölyesi

Rehberli anlatımda söylenen yönlendirmeler dâhil tam metin. Düşünme araları sessizdir.

1. Giriş

   Konuya başlayalım. Bir miktarı eş paketlere ayırmak ile belirli aralıklarla tekrarlanan olayları izlemek birbirine benzer görünebilir; fakat biri bölen, diğeri kat ilişkisi kurar. Bu derste doğal sayıların çarpanlarını, bölünebilme koşullarını ve iki listenin ortak elemanlarını inceleyeceksin. Küçük sayılarda liste, çarpan çifti ve tablo kullanmak düşünceni görünür kılar. Altıncı sınıf kapsamındaki bu çalışma ortak bölen ve ortak kat yorumlarıyla sınırlıdır; daha ileri sınıf algoritmaları gerektirmez. Her adayın gerçekten koşulu sağlayıp sağlamadığını çarpma veya bölme ile denetle. Bir sayının uygun görünmesi, iki ayrı koşulu da sağladığı anlamına gelmez.

2. Ayrıntılı anlatım

   Ön değerlendirme: bölen ile katı ayır. Yirmi dört kartı altışarlı ayırırsan dört grup oluşur; 4 × 6 = 24. Burada dört ve altı, yirmi dördün çarpanlarıdır. Altının katlarını sorarsak 6, 12, 18, 24, 30 diye ilerleriz. Bölen listesi belirli bir sayının içine artmadan sığan grup büyüklüklerini, kat listesi ise eş grupları büyüterek oluşan toplamları gösterir. Bir sayının pozitif bölenleri sonludur; pozitif katları devam eder. Şimdi 18 için iki ayrı başlık aç: “18’i bölenler” ve “18’in katları”. Birinci listenin 18’de bittiğini, ikinci listenin 18’den sonra da sürdüğünü açıklamaya çalış. Bu ayrım sonraki problem modelini seçerken temel dayanağın olacak. Eş paketleri ve bütün bölenleri sistematik say. Yirmi dört boncuk için çarpan çiftlerini 1 × 24, 2 × 12, 3 × 8 ve 4 × 6 olarak yazabiliriz. Buradan pozitif bölenler 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 olur; sekiz farklı paket büyüklüğü mümkündür. Aynı sayıyı iki kez saymamak için listeyi küçükten büyüğe düzenle. Tam kare bir sayıda ortadaki çarpan çifti eş olabilir. Örneğin 36’da 6 × 6 çiftinden yalnız bir tane 6 böleni yazılır. Bir ve sayının kendisi de listeye dahildir. Şimdi her bölenin karşısına oluşacak paket sayısını ekle. Böylece hem listenin eksiksizliğini hem de kalan olmadığını çarpma yoluyla denetleyebilirsin. Bölünebilme koşullarını birlikte sınama. Bir sayının ikiye bölünebilmesi için son rakamı çift olmalıdır. Dokuza bölünebilmesi için rakamları toplamı dokuzun katı olmalıdır. 23□ sayısının iki koşulu birlikte sağlamasını isteyelim. İlk iki rakamın toplamı beştir. Dokuzun katına tamamlayan rakam dört olduğunda sayı 234 olur. Son rakam çift olduğu için ikinci koşul da sağlanır. Kontrol: 234 ÷ 2 = 117 ve 234 ÷ 9 = 26. Bir rakam yalnız bir koşulu sağlıyorsa yeterli değildir. Şimdi adayları küçük bir tabloda “ikiye bölünür mü, dokuza bölünür mü?” sütunlarıyla izle. Hızlı kural kullanırken bile hangi özelliğin kontrol edildiğini söyleyebilmelisin. Asal çarpanın tekrarı ile farklılığını ayır. Altmış sayısını 2 × 2 × 3 × 5 biçiminde yazabiliriz. Burada çarpımda dört çarpan görünse de farklı asal çarpanlar yalnız 2, 3 ve 5’tir. Farklı asal çarpanların sayısı üç, toplamı on, çarpımı otuzdur. Bunlar üç ayrı sorunun cevaplarıdır. “Farklı” sözcüğünü okumadan iki sayısını iki kez toplama. Asal sayı, birden büyük olup yalnız bir ve kendisine kalansız bölünür; bir asal değildir. Şimdi asal çarpanları renkli dairelerle işaretle ve aynı değerde olanları aynı renge boya. Renk sayısı ile bütün dairelerin sayısının neden farklı olabildiğini açıkla. Sonunda çarpanları tekrar çarparak başlangıç sayısını elde et. İki miktarın ortak paket büyüklükleri. On iki kırmızı ve on sekiz mavi kalem, renkler karıştırılmadan eş büyüklükte paketlenecek olsun. On ikinin bölenleri 1, 2, 3, 4, 6, 12; on sekizin bölenleri 1, 2, 3, 6, 9, 18 olur. İki listede de bulunan 1, 2, 3 ve 6 geçerli ortak paket büyüklükleridir. Dört farklı seçenek vardır. Dört kalemli paket kırmızı kalemleri artmadan kullanır ama mavilerden iki kalem bırakır; bu yüzden ortak seçenek değildir. Önce listeleri ayrı kurup sonra kesişimlerini işaretle. Böylece bir koşulu kontrol edip diğerini unutma hatasını azaltırsın. Her seçenekte kaç kırmızı ve kaç mavi paket oluşacağını da yazarak modeli tamamla. Sınırlı zamanda ortak katları listele. Bir zamanlayıcı dört, diğeri altı dakikada bir uyarı versin. Başlangıç sayılmadan ilk otuz altı dakikadaki ortak uyarıları arayalım. Dördün katlarıyla altının katlarında ortak olan pozitif zamanlar 12, 24 ve 36’dır; üç ortak uyarı vardır. Sıfır başlangıç anını saymak sonucu bir artırır; otuz altıncı dakika dahil denildiği hâlde onu çıkarmak sonucu bir azaltır. Kat listesini sorudaki üst sınırda durdur. Çözümünden sonra her ortak zamanı iki aralığa da böl; kalan sıfır olmalıdır. Yanlış yaptığında problemin “paket büyüklüğü mü, tekrar zamanı mı?” sorduğunu yeniden oku. Listeyi başka birine açıklayıp hangi adayların neden dışlandığını göstermek, doğru seçeneği bulmaktan daha güçlü bir öğrenme kanıtıdır.

3. Sık sorulanlar

   Sık sorulan sorular.

4. Bölüm 4

   Şimdi öğrendiğini dene. Kısa testi çöz; her seçenekteki açıklamayla doğru yöntemi pekiştir. Teste başla.