5. Sınıf Matematik Örüntüler ve Aritmetik Algoritmalar Konu Anlatımı

Rehberli anlatımda söylenen yönlendirmeler dâhil tam metin. Düşünme araları sessizdir.

1. Giriş

   Konuya başlayalım. Örüntü, belirli bir kurala göre devam eden sayı, şekil veya hareket dizisidir. Kuralı bulmak için yalnız ilk iki terime bakmak yeterli olmayabilir; öne sürdüğümüz ilişkinin bütün verilen terimlerde çalışmasını kontrol ederiz. Algoritma ise bir sonuca ulaşmak için açık ve sıralı adımlar bütünüdür. Bir tarifte, oyunda veya hesaplama sürecinde adımların yeri değişirse sonuç da değişebilir. Örüntü kuralını sözcüklerle, tabloyla veya sayı cümlesiyle ifade etmek; uzak terimleri tek tek yazmadan bulmamızı ve kuralın geçerliliğini sınamamızı sağlar.

2. Ayrıntılı anlatım

   Ardışık terimlerin değişimini incele. 4, 9, 14, 19 örüntüsünde her terime 5 eklenir. 50, 43, 36 dizisinde ise her adımda 7 çıkarılır. Önce ardışık terimler arasındaki farkları veya oranları hesaplarız. Fark sabitse toplamsal, her terim aynı sayıyla çarpılıyorsa çarpımsal bir ilişki olabilir. Tek bir geçişe uyan kural yeterli değildir; kuralın bütün geçişlerde aynı sonucu vermesi gerekir. Örüntünün artan ya da azalan olması da tahminimizi denetler. Sıra numarası ile terimi ilişkilendir. Bir örüntü 4, 8, 12, 16 biçimindeyse n’inci terim 4 × n olarak yazılabilir. Böylece 25’inci terim için ilk 24 terimi yazmak gerekmez; 4 × 25 = 100 bulunur. İlk terim kuralla uyuşmalıdır. “Her adımda 3 artar ve ilk terim 5’tir” örüntüsünde n’inci terim 5 + (n − 1) × 3 olur. Sıra numarası 1 için kuralın 5 vermesi önemli bir kontroldür. Şekil örüntüsünü sayıya dönüştür. Yan yana eklenen karelerden oluşan bir çubuk modelinde ilk kare 4 çubuk ister. Her yeni kare önceki kareyle bir kenar paylaştığı için yalnız 3 yeni çubuk eklenir. Terim sayıları 4, 7, 10, 13 olur ve n’inci adım 3n + 1 biçiminde ifade edilir. Şeklin kendisi verilmeden, paylaşım biçimi metinle açıklandığında da aynı ilişki kurulabilir. Yeni adımın bütünü yeniden saymak yerine önceki adıma eklenen miktarı belirlemek daha verimlidir. Algoritmanın adımlarını sırayla uygula. “Bir sayı seç, ikiyle çarp, üç ekle, beş çıkar” algoritmasında girdi 8 ise 8 × 2 = 16, 16 + 3 = 19 ve 19 − 5 = 14 elde edilir. İşlemleri tek bir ifadede 8 × 2 + 3 − 5 şeklinde gösterebiliriz. Parantez gereken durumlarda açıkça kullanırız. Her ara sonucu yazmak, adım atlama ve yanlış sırada işlem yapma hatasını azaltır. Aynı algoritmaya farklı girdiler vererek kuralın çıktı üzerindeki etkisini karşılaştırabiliriz. Tersine düşünerek girdiyi bul. Çıktı biliniyor ve girdi soruluyorsa adımları sondan başa ters işlemlerle uygularız. “Girdiyi ikiyle çarp ve bir ekle” kuralının çıktısı 25 ise önce 1 çıkarılır, sonra 2’ye bölünür: girdi 12’dir. Toplamanın tersi çıkarma, çarpmanın tersi bölmedir. Algoritma bir koşul içeriyorsa koşulun hangi dalı seçtirdiğini de kontrol etmek gerekir. Kuralın birden fazla girdiye aynı çıktıyı verip vermediği ancak adımlar açık biçimde incelenerek anlaşılır.

3. Sık sorulanlar

   Sık sorulan sorular. Soru: Bir sayı örüntüsünün kuralı nasıl bulunur? Cevap: Ardışık terimler arasındaki fark veya çarpan incelenir ve bulunan ilişkinin bütün verilen terimlerde çalıştığı doğrulanır. Soru: Örüntünün uzak bir terimi tek tek yazmadan nasıl bulunur? Cevap: Sıra numarası ile terim arasındaki ilişki bir n’inci terim kuralına dönüştürülür ve istenen sıra numarası yerine yazılır. Soru: Şekil örüntüsünde eklenen parça sayısı neden önemlidir? Cevap: Her adımın öncekiyle ortak kullandığı parçalar olabilir; yalnız yeni eklenenleri saymak doğru sayı kuralını verir. Soru: Aritmetik algoritma ne demektir? Cevap: Bir girdiyi belirli bir çıktıya dönüştürmek için açık biçimde tanımlanmış ve doğru sırada uygulanan işlem adımlarıdır. Soru: Algoritmada çıktıdan girdiye nasıl dönülür? Cevap: Adımlar sondan başa alınır ve her işlem yerine ters işlemi uygulanarak başlangıçtaki girdi bulunur.

4. Bölüm 4

   Şimdi öğrendiğini dene. Kısa testi çöz; her seçenekteki açıklamayla doğru yöntemi pekiştir. Teste başla.