5. Sınıf Matematik: Açılarda Ölçme ve İlişki Atölyesi

Rehberli anlatımda söylenen yönlendirmeler dâhil tam metin. Düşünme araları sessizdir.

1. Giriş

   Konuya başlayalım. Bir açıyı yalnız çizimde büyük ya da küçük göründüğü için ölçemezsin. Ölçü, bir ışının diğerine göre dönme miktarını anlatır. Bu atölyede önce dik, doğru ve tam açıları birer referans olarak kullanacak; ardından komşu, ters ve üçgen iç açılarındaki ilişkileri inceleyeceksin. Bir cetvel, açıölçer ve kâğıt yeterlidir. Önce tahmin et, sonra ölç veya verilen ilişkiyle hesapla, en sonunda bulduğun parçaları yeniden birleştir. Buradaki sorular gerçek bir çizim etkinliğinin yerine geçmez; çizdiğin modeli açıklamak ve ölçüler arasındaki bağlantıyı denetlemek için hazırlanmıştır.

2. Ayrıntılı anlatım

   Ön değerlendirme: açının ölçtüğü şeyi tanı. Bir ışının başlangıç noktasını sabit tutup yönünü değiştirdiğini düşün. Açı, ışının uzunluğunu değil bu yön değişimini anlatır. Aynı açının kollarını uzattığında ölçüsü değişmez. Kâğıda kısa kollu bir açı çiz, sonra kollarını cetvelle uzat. Açıölçerin merkezini köşeye, sıfır çizgisini bir kola yerleştir. Diğer kolun hangi derece işaretinden geçtiğini oku. İç ve dış ölçeklerin ikisini birden kullanma; başlangıç kolunun sıfır olduğu ölçeği izle. Şimdi çizdiğin açı doksandan küçük mü büyük mü diye tahmin et ve ölçümle karşılaştır. Ölçüm çok farklıysa önce merkez ile başlangıç çizgisinin yerini denetle. Dik ve doğru açıda eksik parçayı tamamla. Dik açı 90°, doğru açı 180°dir. Bir dik köşenin içinden çizilen ışın, köşeyi 32° ve bilinmeyen bir parçaya ayırsın. Önce bütünü belirleyelim: iki parça birlikte doksandır. Bu yüzden bilinmeyen 90 − 32 = 58° olur. Şimdi dur ve 32 ile 58 değerlerini topla; sonuç doksan olmalıdır. Aynı 32° ölçüsü bir doğru açının komşu parçası olduğunda ise işlem 180 − 32 = 148° olur. Aynı sayıdan farklı sonuç çıkması çelişki değildir; tamamlanan bütün değişmiştir. “Komşu” sözcüğü tek başına doksana veya yüz seksene tamamlama izni vermez. Soruda parçaların hangi bütünü oluşturduğu açık olmalıdır. Tam dönüşte yapılanı ve kalanı ayır. Tam tur 360°dir. Bir yön oku aynı yönde önce 75°, sonra 110° dönsün. Yapılmış dönüş 75 + 110 = 185° olur. Başlangıç yönüne aynı yönde tam bir turla dönmek için 360 − 185 = 175° daha gerekir. Burada 185°yi cevap seçmek, yapılan dönüşle kalan dönüşü karıştırmaktır. Çözümden sonra üç hareketi birleştir: 75 + 110 + 175 = 360. Okun hareketlerini bir çemberin etrafında parmağınla canlandır. İki hareketin aynı yönde olduğu bilgisi önemlidir. Biri ters yönde olsaydı model değişirdi. Soruda verilmeyen yönü kendi kendine varsayma ve birimi her satırda derece olarak koru. Kesişen doğrularda komşu ve ters açıları ayır. İki doğru kesiştiğinde karşılıklı açı çiftleri oluşur. Karşılıklı bu açılara ters açılar denir ve ölçüleri eşittir. Açılardan biri 40° ise onun yanındaki, doğru açıyı tamamlayan komşusu 180 − 40 = 140°dir. Kırk derecelik açının karşısındaki ise 140 değil yine 40° olur. Bu eşliği birinci komşudan ikinci komşuya geçerek de kurabiliriz: 180 − 140 = 40. Şimdi iki doğru çiz ve bütün açılara sırayla 40, 140, 40, 140 yaz. Dört ölçünün toplamı 360 olmalıdır. Çizimin sayfadaki yönünü veya açı kollarının uzunluğunu değiştirmek açının ölçüsünü değiştirmez; kararını çizim görüntüsüne değil ilişkiye dayandır. Üçgende iki açıdan üçüncü açıya geç. Bir üçgenin iç açılarının toplamı 180°dir. İki iç açı 50° ve 65° olduğunda önce bilinen toplamı buluruz: 50 + 65 = 115. Eksik açı 180 − 115 = 65° olur. Sonucu hemen işaretlemeden üç açıyı yeniden topla. Şimdi başka bir kâğıt üçgenin köşelerini koparıp aynı noktada yan yana getirmeyi deneyebilirsin; köşeler bir doğru açıyı tamamlar. Bu etkinlik işlemin dayandığı ilişkiyi görmene yardım eder. Sorudaki açıların iç açı olduğundan emin ol. Dış açı verilmişse onu doğrudan üç iç açı toplamına koyamazsın. Ayrıca eksik iç açı pozitif olmalıdır; negatif bir sonuç modeli veya verileri yeniden inceleme işaretidir. Eş parçalarda sırayı koru ve kendini denetle. Bir doğru açı, 36°lik bir parça ile iki eş parçaya ayrılsın. Önce bilinen parçayı ayırırız: 180 − 36 = 144. Sonra kalan bölgeyi ikiye eşit paylaştırırız: 144 ÷ 2 = 72°. Kontrol, 36 + 72 + 72 = 180 biçimindedir. Baştan 180’i ikiye bölüp 36 çıkarmak aynı işlemi yapmaz; bilinen parça da yanlışlıkla paylaştırılmış olur. Testte hata yaptığında yalnız doğru harfi kaydetme. Defterine “bütünüm neydi, hangi parçalar eşti, hangileri verilmişti?” sorularının cevaplarını yaz. Yeni bir ölçü seçip kendi örneğini üret. Çözümü biri açıklama yapmadan takip edebiliyorsa ilişkiyi yalnız ezberlememiş, görünür bir modele dönüştürmüşsün demektir.

3. Sık sorulanlar

   Sık sorulan sorular.

4. Bölüm 4

   Şimdi öğrendiğini dene. Kısa testi çöz; her seçenekteki açıklamayla doğru yöntemi pekiştir. Teste başla.