LGS Matematik: Çarpanlar ve Katlar: EBOB–EKOK ile Koşullu Problem Çözme

Rehberli anlatımda söylenen yönlendirmeler dâhil tam metin. Düşünme araları sessizdir.

1. Giriş

   Konuya başlayalım. Bir problemi okumak, içinde geçen “en büyük” sözcüğünü görüp hemen EBOB yazmak değildir. Önce neyin eşitlendiğini ve senden neyin istendiğini düşün. Bu derste sayıları temsil edecek, koşulları modelleyecek ve bulduğun sonucu yeniden problemde sınayacaksın. Altı bölümü sırayla çalış; her iki bölümün ardından ilgili on soruluk testi çöz. Testteki yanlış seçenek açıklaması, yalnız sonucu değil düşünme yolunu düzeltmen içindir.

2. Ayrıntılı anlatım

   Çarpanları çiftler halinde ve asal çarpanlarla gör. Önüne 24 küçük kart koyduğunu düşün. Kartları artmadan eşit sıralara dizmek istiyorsun. Bir sıraya 1 kart koyarsan 24 sıra, 2 kart koyarsan 12 sıra, 3 kart koyarsan 8 sıra, 4 kart koyarsan 6 sıra oluşur. İşte 1·24, 2·12, 3·8 ve 4·6 çarpan çiftleridir. Aynı çiftin yerini değiştirmek yeni bir bölen üretmez. Pozitif bölenleri küçükten büyüğe yazınca 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 elde edilir. Şimdi dur ve 25 için çiftleri düşün. 1·25 ve 5·5 vardır. Ortadaki 5 iki ayrı bölen değildir; yalnız bir kez sayılır. Bu kontrol, tam karelerde bölen sayısını bulurken sık yapılan çift sayma hatasını önler. Bir sayının böleni o sayıyı kalansız böler. Her bölenin asal olması gerekmez: 24'ün böleni 6'dır ama 6 asal değildir. Ayrıca 1 asal sayı değildir. Asal çarpanlara ayırma, çarpımı asal sayılar kalıncaya kadar parçalamaktır: 24 = 2·12 = 2·2·6 = 2·2·2·3 = 2³·3. Ağaçta bileşik bir yaprak kaldıysa çalışma bitmemiştir. Üs tekrar sayısını gösterir; burada üç tane 2, bir tane 3 kullanıldı, fakat farklı asal çarpan sayısı ikidir. Kendini kontrol et: son çarpımı hesapla, başladığın sayıyı yeniden bul. Asal çarpanla pozitif böleni aynı liste sanma. EBOB ile EKOK'u aynı tabloda ayır. 18 ile 30'u karşılaştıralım. Ortak bölenleri 1, 2, 3 ve 6'dır; en büyüğü 6 olduğundan EBOB(18,30) = 6 yazılır. Ortak kat ararken yön değişir: 18'in ve 30'un pozitif katlarını izleriz. İki listede ilk ortak pozitif sayı 90'dır. EKOK(18,30) = 90 olur. EBOB iki sayıyı da böler; EKOK iki sayının da katıdır. “Ortak” sözcüğü tek başına hangi işlemi yapacağını söylemez. Asal çarpan gösterimleri 18 = 2·3² ve 30 = 2·3·5'tir. EBOB için ortak asal çarpanların küçük üsleri alınır: 2·3 = 6. EKOK için iki sayıda bulunan bütün asal çarpanların büyük üsleri gerekir: 2·3²·5 = 90. Neden? Ortak bölen her iki sayının içine sığmalıdır; ortak kat ise her ikisinin çarpan ihtiyacını karşılamalıdır. Yalnız üs ezberlemek yerine bu anlamı hatırla. Bir sayı diğerini bölüyorsa kontrol kolaylaşır. 9, 45'i böler; en büyük ortak bölen 9, en küçük pozitif ortak kat 45'tir. Sonucun yönünü de sınayabilirsin: EBOB küçük sayıdan büyük olamaz; EKOK büyük sayıdan küçük olamaz. Sıfır her iki sayının katı diye EKOK'u sıfır seçmeyiz; burada en küçük pozitif ortak kat aranır. Bu iki bölümü bitirdiysen kavram testine geç; her soruda “bölen mi, kat mı?” sorusunu açıkça cevapla. Eş gruplama ve artmadan paylaştırmayı modelle. Bir kulüpte 50 yeşil, 70 turuncu rozet var. Hepsi kullanılacak ve her pakette aynı sayıda yeşil, aynı sayıda turuncu rozet bulunacak. Paket sayısı hem 50'yi hem 70'i bölmelidir. En çok paket sayısı EBOB(50,70) = 10'dur. Fakat soru “her pakette toplam kaç rozet var?” derse cevap 10 değildir: 50/10 + 70/10 = 5 + 7 = 12 rozettir. İşlemin sonucu ile sorulan niceliği karıştırma. Başka bir durumda her paket yalnız tek renkten rozet içerebilir ve bütün paketlerin büyüklüğü aynı olabilir. Bu kez ortak bölen, paket başına rozet sayısıdır. Paket büyüklüğünü artırdıkça toplam paket sayısı azalır. Bu nedenle “en çok” sözcüğü otomatik olarak EBOB anlamına gelmez; en çok olan şeyin ne olduğunu yazmalısın. Hiçbir ek kısıt yoksa birer rozetlik paketler en çok paket sayısını verir. Kesme problemlerinde üçüncü bir nicelik ortaya çıkar. Ayrı ayrı duran 30 cm ve 50 cm şeritleri en uzun eş parçalara ayırırsan parça uzunluğu 10 cm, parça sayıları 3 ve 5 olur. Her şerit tek başına, katlanmadan ve üst üste konmadan kesiliyorsa gereken kesim sayısı 2 + 4 = 6'dır; sekiz parça için sekiz kesim gerekmez. Son kontrolde artan olup olmadığını, paket içeriğini, verilen aralığı ve ölçü birimini denetle. Bu ders EBOB–EKOK'u alan veya hacim hesabına taşımıyor. Tekrarlanan olaylarda ortak zamanı bul. İki ışık birlikte yanıyor; biri 9 saniyede, diğeri 15 saniyede bir tekrar yanıyor. Başlangıçtan sonraki ilk ortak yanma zamanı EKOK(9,15) = 45 saniyedir. Zaman çizelgesinde ilk ışık 0, 9, 18, 27, 36, 45; ikinci ışık 0, 15, 30, 45 noktalarında bulunur. Ortak kat yöntemi burada çalışır, çünkü başlangıç anları aynıdır ve aralıklar değişmez. Başlangıç aynı değilse bu kısa yolu körlemesine kullanma. Bir sinyal 0'dan başlayıp 6 saniyede bir, diğeri ilk kez 3. saniyede ve sonra 9 saniyede bir gelsin. Listeler 0, 6, 12, 18… ve 3, 12, 21… olur; ilk ortak an 12'dir. Yalnız EKOK(6,9) = 18 yazmak başlangıç farkını unutmak olur. Önce iki çizelgeyi kur; aday zamanın ikisinde de bulunduğunu doğrula. Kaç kez sorularında aralık uçları önemlidir. Ortak olay 20 dakikada bir oluyorsa 0 ile 60 dakika arasında başlangıç dahil dört an vardır: 0, 20, 40, 60. Başlangıç hariçse üç an kalır. “Sonraki ilk”, “başlangıç dahil”, “bitiş dahil” ifadelerinin altını çiz. Saat olarak verilen başlangıca süre eklerken 60 dakikanın bir saat olduğunu unutma. Uygulama testinde birimi, başlangıcı ve sayılacak sınırları yazmadan hesap yapma. Koşulları birleştir ve aralarında asallığı kullan. İki sayının EBOB'u 1 ise bu sayılar aralarında asaldır. Bu, sayıların ayrı ayrı asal olması demek değildir. 9 ile 20 bileşik oldukları halde ortak pozitif bölenleri yalnız 1'dir. Buna karşılık 9 ile 15'in ortak böleni 3 vardır. Ardışık pozitif tam sayılar da aralarında asaldır; ikisini bölen bir sayı farkları olan 1'i de bölmek zorunda kalır. İki pozitif tam sayı için EBOB(a,b)·EKOK(a,b) = a·b bağıntısı kullanılabilir. Bu bağıntıyı üç sayıya aynı biçimde genelleme. Asal çarpan açısından iki sayının her asal için küçük ve büyük üslerini toplamak, iki sayının üslerini toplamakla aynıdır. Aralarında asal sayılarda EBOB 1 olduğundan EKOK doğrudan çarpımdır. Örneğin 9 ile 20'nin EKOK'u 180'dir. Bir sayı, EBOB ve EKOK verildiyse diğer sayıyı bağıntıyla bulup mutlaka geri kontrol et. Verilenler kendi içinde tutarsız olabilir; yalnız bölme yapmak yetmez. Aralık sorularında ortak katı bulduktan sonra onun katlarını sırala ve istenen eşitsizliği uygula. “100'den büyük” ifadesi 100'ü kabul etmez; “en küçük” sözü uygun olan ilk değeri ister. Bir aday yalnız aralığa uyduğu için doğru değildir; bölen veya kat koşullarına da uymalıdır. Çözümü iki sütunlu kontrol listesiyle bitir: sayı koşulu ve aralık koşulu. İddiaları karşı örnekle ve sınır kontrolüyle denetle. “İki sayının EKOK'u her zaman çarpımlarıdır” iddiasını duyduğunda birkaç başarılı örnek yeterli kanıt değildir. 6 ve 10'u dene: çarpımları 60, EKOK'ları 30'dur. Tek karşı örnek, “her zaman” iddiasını çürütür. Çarpım kuralı ancak aralarında asal olma koşuluyla kullanılabilir. Benzer biçimde bir ortak bölen bulmak, onun en büyük olduğunu kanıtlamaz; daha büyük ortak bölen olup olmadığını araştırmalısın. İki sayıyı EBOB'larına böldüğünde elde edilen bölümler aralarında asaldır. Nedenini düşün: bu bölümlerde 1'den büyük ortak bölen olsaydı, onu EBOB ile çarparak başlangıçta daha büyük bir ortak bölen bulurdun. Bu da en büyük olma koşuluna ters düşer. Buradaki sayılar bölme işleminin bölümleridir; kalanlar sıfırdır. Bu açıklama, yalnız işlem yapmakla gerekçe kurmak arasındaki farkı gösterir. Eksik bilgiye de dikkat et. EBOB'un 5 olması EKOK'u tek başına belirlemez; 5 ve 10 ile 5 ve 15 aynı EBOB'a, farklı EKOK'a sahiptir. Bir sayıyı artırmak EBOB'u her zaman artırmaz; yeni çiftin ortak bölenleri yeniden incelenmelidir. Son testte iddiayı bir örnek, karşı örnek veya geri kontrol ile değerlendir. Yanlış yaptıysan yalnız doğru sayıyı ezberleme. “Hangi koşulu atladım, hangi niceliği karıştırdım, bunu nasıl kontrol ederim?” sorularını birer cümleyle cevapla; sonra aynı bölümdeki örneği yardım almadan yeniden çöz.

3. Sık sorulanlar

   Sık sorulan sorular.

4. Bölüm 4

   Şimdi öğrendiğini dene. Kısa testi çöz; her seçenekteki açıklamayla doğru yöntemi pekiştir. Teste başla.