9. Sınıf Matematik Deneysel ve Teorik Olasılık Konu Anlatımı

Rehberli anlatımda söylenen yönlendirmeler dâhil tam metin. Düşünme araları sessizdir.

1. Giriş

   Konuya başlayalım. Olasılık, belirsiz bir deneyin tek sonucunu kesin söylemez; olası sonuçların ne ölçüde beklenebilir olduğunu sayısallaştırır. Deneysel olasılık gözlenen sıklıklara, teorik olasılık ise ideal modeldeki eş olasılıklı çıktılara dayanır. Bir deney az sayıda tekrarlandığında göreli sıklık önemli ölçüde dalgalanabilir. Tekrar sayısı arttıkça bu değişebilirlik genellikle azalır ve deneysel değer teorik olasılığa yaklaşma eğilimi gösterir. İki veya üç aşamalı deneylerde bütün çıktıları eksiksiz saymak için sistematik liste, tablo ya da ağaç şeması gerekir. Ayrık ve ortak çıktılı olayları ayırt etmek de birleşim olasılığında aynı sonucu iki kez saymayı önler.

2. Ayrıntılı anlatım

   Deney, olay, sıklık ve göreli sıklık. Sonucu önceden kesin bilinmeyen tekrarlanabilir sürece deney, tek gerçekleşmeye çıktı, ilgilenilen çıktı kümesine olay denir. Bir olayın deneylerde kaç kez gözlendiği sıklıktır. Deneysel olasılık veya göreli sıklık, olay sıklığının toplam deneme sayısına oranıdır. Bir renk 60 çark çevirmesinde 18 kez geldiyse deneysel olasılık 18/60=0,30’dur. Deney koşulları her tekrarda aynı tutulmalı ve bütün sonuçlar, yalnız istenenler değil, kaydedilmelidir. Aksi hâlde elde edilen oran taraflı olabilir. Tekrar sayısı ve büyük sayılar düşüncesi. Dengeli bir paranın teorik tura olasılığı 1/2 olsa da ilk on atışta yedi tura görülebilir. Bu kısa deney teorik değeri değiştirmez. Deneme sayısı 50, 500 ve 5000’e çıktıkça göreli sıklıkların birbirinden sapması çoğunlukla azalır ve değer daha kararlı hâle gelir. Bu eğilim büyük sayılar yasasının sezgisel karşılığıdır; her ara aşamada tam teorik değerin elde edileceğini garanti etmez. Simülasyonlar çok sayıda tekrar üretmek için kullanılabilir, ancak kullanılan rastgelelik modelinin dengeli olduğu da sorgulanmalıdır. Örnek uzayı sistematik oluşturma. Teorik olasılıkta önce bütün olası çıktılar belirlenir. İki para atışında YY, YT, TY ve TT dört sıralı çıktı vardır. İki zar için 6·6=36 sıralı çift tabloyla gösterilebilir. Üç aşamalı iki seçenekli deneyde 2³=8 çıktı bulunur. Sistematik liste küçük örnek uzaylarda, tablo iki aşamalı deneylerde, ağaç şeması ardışık iki veya üç aşamada kullanışlıdır. Her dalın ve sonucun eksiksiz olması gerekir. Çıktılar eş olasılıklı değilse yalnız sayıları oranlamak yeterli değildir. Teorik olasılık ve tümleyen. Eş olasılıklı sonlu örnek uzayda P(A)=A olayındaki çıktı sayısı/toplam çıktı sayısıdır. Olasılık 0 ile 1 arasındadır; imkânsız olay 0, kesin olay 1 değerini alır. A olayının gerçekleşmemesi A′ tümleyenidir ve P(A′)=1−P(A) olur. “En az bir” sorularında tümleyen çoğu kez daha kısa yol sunar. Üç para atışında en az bir tura gelme olasılığı, hiç tura gelmeme çıktısı YYY’nin olasılığının 1’den çıkarılmasıyla 1−1/8=7/8 bulunur. Ayrık ve ortak çıktılı olayların birleşimi. Aynı deneyde ortak çıktısı olmayan olaylar ayrıktır ve P(A∪B)=P(A)+P(B) olur. Bir zarda tek gelme ile çift gelme ayrık olaylardır. Ortak çıktılı olaylarda toplamdan kesişim çıkarılır: P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B). Çift gelme A={2,4,6}, 3’ten büyük gelme B={4,5,6} ise ortak çıktılar {4,6}’dır. Birleşimde bu sonuçlar yalnız bir kez sayılmalıdır. “Ve” kesişimi, kapsayıcı “veya” birleşimi ifade eder; sözel koşul sembole çevrilmeden hesap yapılmamalıdır. Deneysel ve teorik değeri birlikte yorumlama. Teorik değer ideal modelin uzun dönemli beklentisini, deneysel değer belirli veri setinin gözlenen oranını verir. Aralarındaki fark tek başına aracın hileli olduğunu kanıtlamaz; deneme sayısı ve farkın büyüklüğü birlikte değerlendirilir. Denemeler arttığı hâlde büyük ve sistematik sapma sürüyorsa deney koşulları, kayıt hataları veya eş olasılık varsayımı incelenmelidir. Olasılık sonucu bağlama göre risk, tahmin veya karar desteği sağlar; kesin gelecek bildirimi değildir. Raporlamada deney tasarımı, tekrar sayısı, olay tanımı ve elde edilen göreli sıklık açıkça sunulmalıdır. İki grubun deneysel sonuçları karşılaştırılırken yalnız başarı sayısına değil toplam deneme sayısına da bakılır. Yirmi denemede on başarı ile iki yüz denemede yüz başarı aynı göreli sıklığı verir; fakat ikinci oran daha çok gözleme dayanır. Deneyi yeniden üretmeye yetecek ayrıntı paylaşmak, gözlenen farkın yöntemden mi yoksa rastlantısal değişimden mi kaynaklanabileceğini tartışmayı sağlar.

3. Sık sorulanlar

   Sık sorulan sorular. Soru: 9. sınıfta deneysel olasılık nasıl hesaplanır ve yorumlanır? Cevap: İstenen olayın gözlendiği sıklık toplam deneme sayısına bölünür; sonuç o veri setindeki göreli sıklıktır. Soru: Deneme sayısı arttıkça deneysel olasılık kesinlikle teorik değere eşit olur mu? Cevap: Hayır. Eşitlik garanti değildir; göreli sıklığın dalgalanması azalır ve teorik değere yaklaşma eğilimi güçlenir. Soru: Çok aşamalı deneylerde örnek uzay nasıl eksiksiz bulunur? Cevap: Her aşamadaki olası sonuçlar sistematik liste, tablo veya ağaç dallarıyla birleştirilerek bütün sıralı çıktılar yazılır. Soru: Ayrık olay ile ayrık olmayan olay nasıl ayırt edilir? Cevap: İki olayın kesişimi boşsa ayrık, en az bir ortak çıktıları varsa ayrık olmayan olaylardır. Soru: Birleşim olasılığında kesişim neden çıkarılır? Cevap: A ve B olasılıkları toplanırken ortak çıktılar iki kez sayılır; kesişim bir kez çıkarılarak her çıktı tek kez bırakılır.

4. Bölüm 4

   Şimdi öğrendiğini dene. Kısa testi çöz; her seçenekteki açıklamayla doğru yöntemi pekiştir. Teste başla.