Çarpma ve Bölme Model Atölyesi

Rehberli anlatımda söylenen yönlendirmeler dâhil tam metin. Düşünme araları sessizdir.

1. Giriş

   Konuya başlayalım. Çarpma ve bölmeyi yalnız işlem adları olarak değil, sorudaki düzeni açıklayan modeller olarak kullanacağız. Eş sıralar toplamı, eşit paylaşım bir kişinin payını, gruplandırma ise grup sayısını buldurabilir. Kalan gördüğünde onun nesne mi yoksa grup mu olduğunu söyle. İki olaylı sorularda ara sonucu koru. Hesap sonunda cevabını ters işlemle ve sorudaki birimle birlikte denetle.

2. Ayrıntılı anlatım

   Eş sıralarda çarpma modeli. On dört sıranın her birinde dört sandalye olsun. On dört tane dörtlü grup 14 × 4 = 56 sandalye yapar. Bunu on sırada kırk, dört sırada on altı sandalye olarak da hesaplayabilirsin. Sıra sayısıyla sıradaki sandalyeleri toplamak yalnız on sekiz verir; bütün düzeni temsil etmez. Küçük bir dört satırlık çizim kurup modelin mantığını gör, sonra aynı ilişkiyi on dört sıraya taşı. Sonucun birimi sandalye, sıra değildir. Eşit payı geri çarparak denetle. Altmış üç çıkartmayı yedi kişiye eşit paylaştırırsak 63 ÷ 7 = 9 olur. Her kişinin payı dokuz çıkartmadır. Yedi kişiyle dokuz çıkartmanın çarpımı altmış üçü verir; artan olmadığını böyle denetleriz. Yalnız bir tur dağıtıp toplamdan yediyi çıkarmak paylaşımı tamamlamaz. Soruda verilen kişi sayısı ile aranan kişi başı payı ayrı düşün. Payı bir fazla seçersen bütün kişilere yetmesi için gerekenden fazla çıkartma kullanmış olursun. Bölüm ve kalan farklı büyüklüklerdir. Yirmi dokuz kalemi beşer kalemlik kutulara koyalım. Beş dolu kutu yirmi beş kalem kullanır, dört kalem artar. Bölüm beş kutu, kalan dört kalemdir. 29 = 5 × 5 + 4 ilişkisi başlangıçtaki miktarı geri kurar. Kalan, kutu kapasitesinden küçük olmalıdır; beş veya daha çok kalem artsaydı bir kutu daha dolardı. Soru artanı soruyorsa dolu kutu sayısını yazma. Cevabın birimini söylemek karışıklığı azaltır. Paketler ile tek nesneleri birleştir. Dört paketin her birinde sekiz boya, ayrıca üç tek boya olsun. Paketlerde 4 × 8 = 32 boya vardır. Tek boyaları yalnız bir kez ekleyerek 32 + 3 = 35 buluruz. Üç tek boyayı her pakete eklemek miktarı fazladan tekrarlar. İki satır kullan: İlk satır eş grupların bütünü, ikinci satır dışarıdaki tek parçanın eklenmesi. Çizimde paketleri çerçeveleyip tekleri dışarıda bırakman, bilginin hangi gruba ait olduğunu gösterir. Önce bütünü kur sonra kullanılanı ayır. Altı kutunun her birinde dokuz kart varken sekiz kart kullanılsın. Başlangıç 6 × 9 = 54 karttır. Sonra bütün kartlardan sekiz ayırırız: 54 − 8 = 46. Sekiz kart her kutudan alınmıyor; tek bir ortak kullanım var. Bu yüzden her kutuyu bir karta düşürmek yanlış model olur. İşlemlerin sırasını hikâyedeki olayla ilişkilendir. Kalan kırk altıyla kullanılan sekizi topladığında başlangıçtaki elli dört kartı geri bulmalısın. Onluk demetlerle basamak ilişkisi. Yirmi dört demetin her birinde on çubuk varsa 24 × 10 = 240 çubuk bulunur. Yirmi dört demet ile iki yüz kırk tek çubuk aynı çokluğu farklı birimlerle anlatır. Onla çarpmayı yalnız sonuna rakam yazmak diye ezberleme; her onluk demetin on tek çubuğa açıldığını düşün. Kontrol: Otuz iki onluk demet kaç çubuktur? Önce kendin açıkla. Sonuç 320 çubuktur. Üç yüzlük ve iki onluk biçiminde yeniden gruplandırarak sonucu denetleyebilirsin.

3. Sık sorulanlar

   Sık sorulan sorular. Soru: Sandalyelerde neden sıra sayısıyla çarpıyorum? Cevap: Her sırada aynı miktar olduğu için bütün sıraların tekrar eden toplamını çarpmayla gösterirsin. Soru: Eşit paylaşımın artansız olduğunu nasıl anlarım? Cevap: Grup sayısı ile kişi başı payın çarpımı başlangıçtaki toplamı tam veriyorsa artan yoktur. Soru: Kalan neden bölen kadar olamaz? Cevap: Bölen bir dolu grubun büyüklüğüdür. O kadar artan varsa bir grup daha kurulabilir. Soru: Tek boyaları neden her pakete eklemiyorum? Cevap: Tekler paket başına değil bütün paketlerin yanında bir kez verilmiştir; aynı parçayı çoğaltmamalısın. Soru: Kullanılan kartlar bütün kutulardan mı çıkarılır? Cevap: Soruda ortak bir kullanım verilmişse önce bütün kartları bulur, kullanılan miktarı toplamdan bir kez çıkarırsın. Soru: Onla çarpma basamak değerini nasıl değiştirir? Cevap: Her birim on katına dönüşür. Birlik onluk, onluk yüzlük değeri kazanır; gruplama bunu görünür kılar.

4. Bölüm 4

   Şimdi öğrendiğini dene. Kısa testi çöz; her seçenekteki açıklamayla doğru yöntemi pekiştir. Teste başla.