12. Sınıf Matematik: Limitte Çarpanlar ve Süreklilik Koşulu

Rehberli anlatımda söylenen yönlendirmeler dâhil tam metin. Düşünme araları sessizdir.

1. Giriş

   Konuya başlayalım. Bir fonksiyonun bir noktada aldığı değer ile o noktaya yaklaşırken yöneldiği değer aynı soru değildir. Limit, yaklaşma davranışını inceler; fonksiyonun tam o noktada tanımlı olması zorunlu değildir. Bu derste yerine yazıldığında sıfır bölü sıfır biçimi veren ve çarpanlara ayırarak sadeleştirilebilen örneklerle çalışacaksın. Sonsuza giden limitler, özel trigonometrik limitler ve farklı ileri yöntemler kullanılmayacak. İki kare farkı, ikinci derece çarpanlara ayırma ve iki küp farkı temel araçların olacak. Her çözümde önce yaklaşma noktası, sonra belirsizliğin nedeni ve son olarak sadeleşmiş ifadenin davranışı açıklanacak.

2. Ayrıntılı anlatım

   Önkoşul: yakınındaki değer ile noktadaki değeri ayır. lim_(x→a) f(x) = L gösterimi “x, a sayısına yaklaşırken f(x) değerleri L sayısına yaklaşır” diye okunur. Bu gösterim tek başına f(a) = L demez. Örneğin f(x) = (x^2−9)/(x−3) ifadesi x = 3 noktasında tanımsızdır; payda sıfırdır. Ancak x üçe eşit değilken iki kare farkı sayesinde f(x) = x+3 yazılabilir. Üçe yakın ama üçten farklı sayılarda fonksiyonun değerleri altıya yakın olur. Böylece limit altıdır, fakat başlangıç ifadesinin üçteki değeri yoktur. Sıfır bölü sıfır, sonucu sıfır olan bir işlem değil, doğrudan yerine yazmanın karar veremediğini gösteren belirsiz biçimdir. Pay ve paydanın hangi hızla sıfıra yaklaştığını bu yazım tek başına söylemez. Burada çarpanlar üzerinden bilgi kazanacağız. Sadeleştirme yalnız ortak çarpanın sıfır olmadığı noktalarda geçerlidir; limitte yaklaşma noktası dışındaki yakın değerlerle çalışıldığı için bu yeterli olabilir. Bir tablo oluşturursan x = 2,9 için x+3 = 5,9 ve x = 3,1 için x+3 = 6,1 görürsün. Tablo düşünceyi destekler, fakat her olası yakın değeri kapsayan cebirsel açıklamanın yerini tek başına almaz. İşlenmiş örnek: ortak çarpanı bul ve koşullu sadeleştir. İlk örnekte x üçe yaklaşırken (x^2−9)/(x−3) limitini hesapla. Yerine yazmak 0/0 verir. Payı (x−3)(x+3) olarak ayır. x ≠ 3 iken ortak x−3 çarpanı sadeleşir ve x+3 kalır. Bu polinomun üçe yaklaşırken aldığı limit 3+3 = 6 olur. “x−3 sıfır olduğundan sadeleşti” demek yanlıştır; tam tersine sadeleştirme x üçe eşit olmadığı için yapılır. Yaklaşma noktası bir yanda tutulur, çevresindeki değerler diğer yanda incelenir. İkinci örnekte x üçe yaklaşırken (x^2−x−6)/(x−3) ifadesini ele al. Pay, çarpımları eksi altı ve toplamları eksi bir olan eksi üç ile iki kullanılarak (x−3)(x+2) biçimine ayrılır. x ≠ 3 için oran x+2 olur; limit 3+2 = 5 bulunur. İki örnekte de başlangıçtaki görünüm 0/0 idi, fakat sonuçlar farklıdır. Bu karşılaştırma belirsiz biçimin sayısal bir cevap olmadığını gösterir. Kontrol için payı tekrar aç: (x−3)(x+2) = x^2−x−6. Çarpanlara ayırma hatasını bu aşamada yakalamak, yanlış sadeleştirmenin bütün çözümü etkilemesini önler. Son cevabın yanında hangi eşitliğin yalnız x ≠ 3 için geçerli olduğunu da belirt. İkinci örnek: küp farkı ve grafik deliği. x ikiye yaklaşırken (x^3−8)/(x^2−4) limitini bulalım. Hem pay hem payda sıfır olur. İki küp farkı x^3−8 = (x−2)(x^2+2x+4), iki kare farkı ise x^2−4 = (x−2)(x+2) verir. Yakın çevrede x ≠ 2 için ortak çarpan kaldırılınca (x^2+2x+4)/(x+2) kalır. Payda yaklaşma noktasında dört olduğu için artık yerine yazabiliriz: (4+4+4)/(2+2) = 12/4 = 3. Başlangıç ifadesi x = −2 noktasında da tanımsızdır; ancak bu nokta, ikiye yaklaşma hesabının çevresinden uzaktadır. Birinci örneğin grafiğini düşünürsen y = x+3 doğrusu üzerinde (3,6) noktasında bir delik vardır. Şimdi aynı formülü x ≠ 3 için koruyup f(3) = 10 diye ayrı bir değer tanımladığını varsay. Grafiğe (3,10) dolu noktası eklenir, fakat çevredeki değerler değişmediği için limit yine altıdır. Fonksiyonun üç girdisindeki değeri on, limiti altı olur. Tek bir noktanın değerini değiştirmek yaklaşma davranışını değiştirmeyebilir. Bu ayrımı anlamak, grafikte dolu noktayı görür görmez limit diye okumayı önler; limit için noktanın iki yanındaki gidişe bakmalısın. Paydaki bir katsayı bilinmiyorsa ortak çarpanı oluşturma koşulu ters yönde kullanılabilir. x ikiye yaklaşırken (x^2+ax−6)/(x−2) ifadesinin yerine yazıldığında sıfır bölü sıfır vermesi istensin. Payda zaten sıfır olur; pay için 4+2a−6 = 0 gerektiğinden a = 1 bulunur. Bu değerle pay x^2+x−6 = (x−2)(x+3) olur ve limit beştir. Önce katsayıyı belirlemek, sonra çarpanlara ayırmak iki ayrı görevdir. Payı sıfır yapma koşulu tek başına limitin değerini söylemez; yalnız bu derste kullanılan belirsiz biçimin kurulmasını sağlar. Son sayı sadeleştirilmiş ifadenin yaklaşma değerinden gelir. Bu örneği kontrol ederken “pay sıfırsa sonuç sıfırdır” açıklamasından özellikle kaçın. Pay ile payda birlikte sıfıra yönelirken ortak çarpanların etkisini incelemek gerekir. Aynı şekilde, sadeleştirmeden sonra paydanın hâlâ sıfır kalıp kalmadığını görmek zorundasın. Buradaki örneklerde ortak çarpan kaldırılınca kalan ifade yaklaşma noktasında doğrudan değerlendirilebilir. Kendi yazdığın yeni bir soruda bu koşul sağlanmıyorsa, aynı yöntemin son satırını gerekçesiz tekrar edemezsin. Bir yöntemin hangi örnek ailesinde işe yaradığını bilmek, formülü bilmekten farklı bir beceridir. Bu çalışmanın sınırı, belirsizliğin çarpanlarla gerçekten kaldırılabildiği sonlu limit örnekleridir. Transfer: süreklilik için eksik noktayı uygun doldur. g(x), x ≠ −2 için (x^2−4)/(x+2), x = −2 için k olarak tanımlansın. Grafiğin eksi iki noktasında kesintisiz devam etmesini istiyoruz. Önce yaklaşma değerini bul: pay (x−2)(x+2) olur ve x ≠ −2 iken g(x) = x−2 yazılır. x eksi ikiye yaklaşırken değer −2−2 = −4 olur. Süreklilik için noktadaki değer de bu limite eşit olmalıdır; dolayısıyla k = −4 seçilir. Başka k değerleri fonksiyonu tanımlı yapar, fakat o noktada sürekli yapmaz. Süreklilik kontrolünü üç ayrı koşul olarak okuyabilirsin: noktadaki fonksiyon değeri bulunmalı, iki taraflı limit bulunmalı ve bu ikisi eşit olmalı. Örneğin x birden küçükken h(x) = x+1, x birden büyükken h(x) = 3−x olsun. Soldan yaklaşma iki, sağdan yaklaşma da ikidir. h(1) = 2 seçilirse süreklilik sağlanır. Sağdaki ifade bunun yerine x+2 olsaydı sağdan limit üç olurdu; iki yan farklı olduğundan h(1) için hiçbir seçim iki taraflı sürekliliği sağlayamazdı. Bu ikinci karşılaştırma bir çarpan hesabı değil, grafik okuma kontrolüdür. Eksik bir noktayı doldurmak yalnız zaten aynı değere yönelen iki tarafı birleştirebilir; sıçramayı tek noktayla düzeltemez. Kontrol ve çıkış ödevi: işlem sonucunu yaklaşma diliyle açıkla. Bir limit çözümünü tamamladığında başlangıç ifadesinin tanımsız olduğu noktaları ve sadeleştirmenin koşulunu görünür tut. Eşitlik işaretinin iki yanındaki ifadelerin her yerde aynı fonksiyon olduğunu varsayma. Sadeleşmiş ifade, yaklaşma noktasının çevresinde aynı değerleri veriyorsa limit hesabında kullanılabilir. Ayrıca paydaki terimle paydadaki terimi ayrı ayrı çizerek silmek sadeleştirme değildir; önce ortak çarpım yapısı bulunmalıdır. Örneğin x^2−4 içindeki yalnız dört sayısı, başka bir toplamın içindeki dörtle sadeleşmez. Çıkış ödevinde x bire yaklaşırken (x^3−1)/(x−1) limitini çöz. Küp farkı (x−1)(x^2+x+1) verir; kalan ifadenin birdeki değeri üçtür. İkinci soruda x dörde yaklaşırken (x^2−16)/(x−4) limitini bul; x+4 kaldığı için sekiz elde edilir. Üçüncü soruda x ikiye yaklaşırken (x^2−5x+6)/(x−2) ifadesini incele; pay (x−2)(x−3) olduğundan limit eksi birdir. Ardından son fonksiyonun ikideki değeri ayrıca yedi seçilirse limitin değişip değişmediğini açıkla. Değişmez: yakın değerler hâlâ x−3 üzerinden eksi bire yönelir. Kendi açıklamanda “yerine koydum” cümlesinden önce belirsizliğin hangi çarpanla kaldırıldığını belirtmen, yöntemi gerçekten seçebildiğinin göstergesidir.

3. Sık sorulanlar

   Sık sorulan sorular. Soru: Sıfır bölü sıfır görünce limit neden doğrudan sıfır değildir? Cevap: Bu görünüm pay ve paydanın birlikte sıfıra yöneldiğini söyler, oranlarının neye yöneldiğini söylemez. Örneğin aynı 0/0 görünümü çarpanlara ayırma sonrasında beş ya da altı gibi farklı limitler verebilir. Soru: Yaklaşma noktasında sıfır olan ortak çarpanı nasıl silebiliyorum? Cevap: Sadeleştirmeyi tam yaklaşma noktasında değil, ona yakın ve ondan farklı noktalarda yaparsın. Ortak çarpan bu noktalarda sıfır değildir. Yakın çevrede eşit olan ifadelerin o noktadaki limitleri aynıdır. Soru: Grafikteki dolu nokta her zaman limit değerini gösterir mi? Cevap: Dolu nokta fonksiyonun o girdideki değerini gösterir. Limit ise iki yandaki yakın değerlerin yöneldiği değerdir. Noktadaki değer çevresinden ayrı tanımlanmışsa limit ile fonksiyon değeri farklı olabilir. Soru: Her süreksizlik yalnız tek bir değer değiştirilerek giderilebilir mi? Cevap: Hayır. İki taraf aynı sonlu değere yaklaşıyorsa noktayı o değerle doldurmak mümkündür. Soldan ve sağdan limitler farklıysa tek noktadaki değişiklik çevredeki bu farkı ortadan kaldırmaz. Soru: Çarpanlara ayırdıktan sonra elde ettiğim limit sonucunu nasıl denetlerim? Cevap: Önce çarpanları yeniden çarpıp başlangıç payını ve paydasını doğrula. Sonra sadeleştirme koşulunu yaz, kalan paydanın yaklaşma noktasında sıfır olmadığını kontrol et ve ancak bundan sonra değer yerleştir.

4. Bölüm 4

   Şimdi öğrendiğini dene. Kısa testi çöz; her seçenekteki açıklamayla doğru yöntemi pekiştir. Teste başla.