12. Sınıf Matematik: Logaritmik Denklemlerde Tanım ve Kök Denetimi

Rehberli anlatımda söylenen yönlendirmeler dâhil tam metin. Düşünme araları sessizdir.

1. Giriş

   Konuya başlayalım. Logaritmik bir denklemde cebirsel işlem sonucunda bulunan sayı, henüz denklemin kökü değildir. Önce logaritmaların o sayıda gerçekten tanımlı olup olmadığına bakılır. Bu derste logaritmayı bir üs sorusu olarak okuyacak, tanım koşullarını işlemden önce yazacak ve elde ettiğin adayları başlangıç denkleminde sınayacaksın. Üslü ifadeler, çarpanlara ayırma ve basit eşitsizlikler bu çalışmanın önkoşullarıdır. Hesap makinesi gerekmez; örneklerdeki sayılar temel kuvvetlerle kontrol edilebilir. Çözümünü üç bölmeye ayır: izin verilen değerler, cebirsel adaylar ve doğrulanan kökler. Böylece doğru görünen bir işlemin hangi koşul altında geçerli olduğunu da açıklayabilirsin.

2. Ayrıntılı anlatım

   Önkoşul: logaritmayı üs sorusuna dönüştür. log_a b = c ifadesi, “a tabanında b sayısının logaritması c” diye okunur ve a^c = b anlamına gelir. Gerçek sayılarda a > 0, a ≠ 1 ve b > 0 gerekir. Taban bir olduğunda bütün kuvvetler bir olur; üs, sayıyı ayırt edemez. İçerideki sayının pozitif olması da sonradan eklenen bir kural değil, bu gerçek değerli logaritma modelinin parçasıdır. Örneğin log_3 81 = 4, çünkü 3^4 = 81; log_2(1/8) = −3, çünkü 2^(−3) = 1/8. Logaritmanın sonucu negatif olabilir, fakat logaritması alınan sayı negatif olamaz. Aynı tabanlı logaritmaların toplamı çarpımın, farkı bölümün logaritmasına dönüşür. log_a u + log_a v = log_a(uv) yazarken u > 0 ve v > 0 koşullarını ayrı ayrı korumalısın. Yalnız uv > 0 yazmak yeterli değildir; iki negatif sayı da pozitif çarpım verir. Ayrıca log_a(u+v) için logaritmaları toplama kuralı yoktur. Örneğin log_2(4+4) = 3 iken log_2 4 + log_2 4 = 4 olur. Sayılarla yapılan bu kısa karşılaştırma, ezberlenen yanlış bir özdeşliği hemen açığa çıkarır. Bir ifadeyi dönüştürmeden önce hangi işlem kuralını kullandığını adlandırman, sonraki denklemlerde hatayı bulmayı kolaylaştırır. İşlenmiş örnek: tek logaritmadan iki logaritmaya. İlk denklem log_3(x+1) = 2 olsun. Tanım koşulu x+1 > 0, yani x > −1 olur. Üs biçimine geçince x+1 = 3^2 = 9 ve x = 8 bulunur. Sekiz, izin verilen aralıktadır. Başlangıç denklemine dönünce log_3 9 = 2 elde edilir; dolayısıyla çözüm kümesi {8} olur. Burada eşitliğin iki tarafını üçle çarpmadık; logaritmanın tanımını kullanarak aynı bilgiyi başka biçimde yazdık. Şimdi log_2(x−1) + log_2(x−3) = 3 denklemini çöz. Önce x−1 > 0 ve x−3 > 0 koşullarının ortak sonucu x > 3 olarak yazılır. Toplam kuralıyla log_2((x−1)(x−3)) = 3 olur. Üs biçimi (x−1)(x−3) = 8, açılmış biçimi x^2−4x+3 = 8 verir. Buradan x^2−4x−5 = 0 ve (x−5)(x+1) = 0 bulunur. Adaylar beş ve eksi birdir. Beş için başlangıç ifadesi log_2 4 + log_2 2 = 2+1 = 3 olur. Eksi bir ise tanım aralığının dışındadır. İşlem satırlarını tek başına değil, yanlarına yazdığın koşulla birlikte okumak çözümü tamamlar. Yanılgı örneği: pozitif çarpım her zaman yeterli değildir. Önceki denklemde x = −1 seçilirse iki logaritmanın içi sırasıyla −2 ve −4 olur. Çarpımları sekizdir, fakat gerçek sayılarda bu iki logaritma ayrı ayrı tanımlı değildir. Bu nedenle çarpım denklemine uyan eksi bir, başlangıç denkleminin kökü olamaz. Çarpım denklemine geçmek, başlangıçtaki tanım koşulunu unuttuğunda çözüm kümesini gereksiz yere büyütür. Buradaki sorun ikinci derece denklemi yanlış çözmek değil, doğru çözülen yeni denklemi eski denkleme koşulsuz eşdeğer saymaktır. Tabanın değişken olduğu log_x 16 = 2 örneğinde koşullar farklı yerde ortaya çıkar. Önce x > 0 ve x ≠ 1 yazılır; içerideki on altı zaten pozitiftir. Üs biçimi x^2 = 16 olduğundan x = 4 veya x = −4 adayları çıkar. Negatif taban kabul edilmediği için yalnız dört kalır; 4^2 = 16 kontrolü sonucu doğrular. “Kareyi çözerken yalnız pozitif kök alınır” açıklaması burada yanlıştır. Cebirsel denklem iki aday verir; negatif adayı eleyen şey logaritmanın taban koşuludur. Her elemenin gerekçesini yazmak, karekök işlemi ile denklem çözmeyi birbirinden ayırır. Başlangıç denkleminde tabanı bir yapan bir aday çıksaydı, pozitif olmasına rağmen o aday da elenirdi. Şimdi birbirine çok benzeyen iki denklemi karşılaştır: log_2(x^2−1) = 3 ve log_2(x−1)+log_2(x+1) = 3. Birinci denklemde yalnız kare eksi birin pozitif olması gerekir. Üs biçimi x^2−1 = 8 verir; üç ve eksi üç değerlerinin ikisi de kabul edilir. İkinci denklemde ise iki ayrı iç ifadenin pozitif olması, x sayısının birden büyük olmasını gerektirir. Aynı çarpım denklemi ortaya çıksa bile burada yalnız üç kalır. Dolayısıyla çarpımın logaritmasını iki logaritmaya ayırırken başlangıç ifadesinin bütün tanım kümesini otomatik korumuş olmazsın. Bu karşılaştırmanın amacı daha zor işlem yapmak değil, özdeşliğin koşullarını görmek ve denklem dönüştürürken hangi bilgiyi taşıdığını izlemektir. Kendi çözüm defterinde her adayın yanına “taban”, “içerik” ve “eşitlik” kontrollerini ayrı not düşebilirsin. Tabanı ve içi uygun bir sayı yine de cebirsel işlem hatası nedeniyle eşitliği sağlamayabilir. Tersine, dönüştürülmüş eşitliği sağlayan sayı başlangıçta tanımsız kalabilir. Üç denetimin görevleri farklıdır; birinin doğru olması diğerlerinin yerine geçmez. Bu ayrım özellikle çok adımlı soruda en son satıra aşırı güvenmeyi engeller. Yanlış bir adayın hangi kontrolde elendiğini göstermek, çözüm kümesini yalnız tahminle daraltmadığını da kanıtlar. Uygulama: bölüm kuralını koşullarıyla taşı. log_2(x+2) − log_2 x = 1 denklemini ele al. İçlerin pozitif olması x+2 > 0 ve x > 0 koşullarını verir; ortak tanım x > 0 olur. Bölüm kuralıyla log_2((x+2)/x) = 1 yazılır. Üs biçimi (x+2)/x = 2 verir. Tanım koşulu zaten x ≠ 0 dediği için her iki tarafı x ile çarpmak güvenlidir: x+2 = 2x, buradan x = 2 bulunur. Başlangıçta log_2 4 − log_2 2 = 2−1 = 1 olduğu görülür. Sonuç hem cebiri hem tanımı sağlar. Bu yöntemi bir karşılaştırma modeline taşıyabilirsin. Pozitif iki büyüklüğün aynı tabanlı logaritmaları arasındaki fark bir ise, taban iki seçildiğinde büyük olanın küçük olana oranı ikidir. Farkın bir olması, büyüklüklerin kendi farkının bir olduğu anlamına gelmez. Örnekte büyüklükler x+2 ve x olduğundan aralarındaki fark iki, oranları ise çözüme göre ikidir. Modelden denkleme geçerken “fark” sözcüğünün logaritma değerlerine mi, asıl büyüklüklere mi ait olduğunu ayır. Birim taşıyan ölçüler kullanılıyorsa logaritmaya aynı birimle oluşturulmuş pozitif bir oran yerleştirmek yorumun daha açık olmasını sağlar. Bu ayrım hesap kadar problemin doğru kurulmasına da yardım eder. İki ölçümden üstel model kurmayı da dene. Q(t) = A·b^t, A > 0 ve b > 1 olsun; Q(1) = 6, Q(3) = 54 verilsin. Ölçümleri böldüğünde b^2 = 54/6 = 9 olur. Pozitif tabandan b = 3, ardından A = 6/3 = 2 bulunur. Q(t) = 162 koşulu 2·3^t = 162, yani 3^t = 81 verir; t = 4 olur. Sesli okurken önce “üç üzeri t”, sonra “seksen bir, üçün dördüncü kuvvetidir” de. Negatif taban adayını modelin koşulu eler; iki ölçüm, hem çarpanı hem başlangıç katsayısını belirlemeye birlikte yarar. Kontrol ve çıkış ödevi: aday listesini gerekçeyle daralt. Çözümünü değerlendirirken şu sırayı izle: tabanları denetle, bütün logaritma içlerini pozitif yapan ortak aralığı bul, uygun özdeşliği seç, cebirsel denklemi çöz ve her adayı ilk denklemde kontrol et. Sadece en son bulunan sayıyı yazmak yerine elenen adayın neden elendiğini de belirt. Bu, özellikle çarpımın pozitif olduğu fakat çarpanların negatif kaldığı sorularda belirleyicidir. Aynı tabanlı iki logaritma eşitse içlerinin eşitlenebilmesi, ortak tabanın geçerli ve her iki iç ifadenin pozitif olmasına bağlıdır. Çıkış çalışmasında önce log_5(2x−1) = 1 denklemini çöz. Tanım x > 1/2, üs biçimi 2x−1 = 5 ve sonuç x = 3 olmalıdır. Ardından log_2(x−2) + log_2 x = 3 denklemini incele. Tanım x > 2, çarpım denklemi x(x−2) = 8 ve çarpanlara ayrılmış biçim (x−4)(x+2) = 0 verir. Dört kabul edilir, eksi iki elenir. Son olarak log_2(x+1) = log_2(3x−5) için ortak koşul x > 5/3, eşitlenen içlerden x+1 = 3x−5 ve çözüm x = 3 çıkar. Cevaplara bakmadan her sorunun tanım aralığını ayrı yaz; sonuçların doğru ama gerekçelerin eksik olması, bir sonraki çalışmada koşul yazmaya öncelik vermen gerektiğini gösterir.

3. Sık sorulanlar

   Sık sorulan sorular. Soru: Logaritmanın değeri eksi çıkarsa kökü elemek gerekir mi? Cevap: Hayır. Pozitif bir sayının logaritması negatif olabilir; örneğin log_2(1/8) = −3 olur. Pozitif olması gereken, logaritmanın sonucu değil içindeki sayıdır. Ayrıca taban pozitif ve birden farklı olmalıdır. Soru: İki logaritmayı çarpımda birleştirdikten sonra hangi koşulları saklamalıyım? Cevap: Başlangıçtaki her logaritmanın içinin pozitif olduğu koşulları ayrı ayrı saklamalısın. Çarpımın pozitif olması daha zayıf bir koşuldur; iki negatif çarpanın oluşturduğu sahte adayları tek başına engellemez. Soru: Tabanı bilinmeyen bir logaritmada kontrol nereden başlar? Cevap: Taban ifadesinin pozitif ve birden farklı olmasından başlar. Sonra logaritmanın içi kontrol edilir. Örneğin log_x 16 = 2 denkleminde x^2 = 16 iki aday üretir, fakat taban koşulu yalnız x = 4 değerini kabul eder. Soru: Logaritmaların farkı, içlerindeki sayıların farkını mı gösterir? Cevap: Hayır. Geçerli ortak tabanda log_a u − log_a v = log_a(u/v) olur. Fark, içeride bölüm oluşturur. İçlerin doğrudan çıkarılması farklı bir ifadedir ve genel olarak aynı sonucu vermez. Soru: Logaritmik denklemde kontrol için dönüştürülmüş son satır yeterli midir? Cevap: Yeterli değildir. Son satır başlangıç koşullarını taşımıyor olabilir. Adayı hem ilk tanım koşullarında hem başlangıç denkleminde sınamak, dönüştürme sırasında ortaya çıkan fazladan çözümleri ayıklar.

4. Bölüm 4

   Şimdi öğrendiğini dene. Kısa testi çöz; her seçenekteki açıklamayla doğru yöntemi pekiştir. Teste başla.