TYT Matematik: Oran ve Yüzde — Bütün ve Değişim Yorumlama

Rehberli anlatımda söylenen yönlendirmeler dâhil tam metin. Düşünme araları sessizdir.

1. Giriş

   Önce bütünü seç. Bir sayıya yüzde eklemek kolay görünebilir; asıl karar yüzdeyi hangi sayının üzerinden aldığındır. Bu dört bölümde önce bütünü seç, sonra modeli kur, en son sonucu bağlama geri koy. İlk iki soruda bütünü ve değişim tabanını belirle. Sonraki sorularda önce bir satırlık model yaz; hızlı tahminle değil verilen koşullarla karar ver. İstersen kâğıda tablo çiz.

2. Ayrıntılı anlatım

   Oran, parça ve bütün. A ile B miktarlarının oranı 3:2 ise A üç pay, B iki paydır. Toplam beş paydır; A'nın bütüne oranı 3/5 olur. A/B ile A/(A+B) aynı oran değildir. Birden çok grubu birleştirirken yüzdeleri hemen ortalama. Önce her gruptaki ilgili kişi ya da nesne sayısını bul; sonra ilgili toplamı bütün toplamına böl. Grup büyüklükleri farklıysa basit yüzde ortalaması yanıltır. Sonuç için birim yaz: gram, kişi, lira ya da yüzde. Sayılan bütünün tamamı ile seçilen parçanın aynı tür nicelik olması gerekir. Örnek: Yeşil ve beyaz boya kütleleri 3:2 oranında karıştırılıyor. Karışım toplam 250 gram ise yeşil boya kaç gram ve karışımın yüzde kaçıdır? Açıklama: Toplam pay 3+2=5; bir pay 250/5=50 gramdır. Yeşil boya 3×50=150 gramdır. 150/250=3/5=%60. 150+100=250 kontrolü bütünü korur. Sonuç: 150 gram; %60. Örnek: 20 kişilik bir grupta 8 kişi, 60 kişilik başka bir grupta 18 kişi bisiklet kullanıyor. İki grubun birleşiminde bisiklet kullananların yüzdesi nedir? Açıklama: İlgili kişi sayısı 8+18=26; bütün 20+60=80 kişidir. 26/80×100=%32,5. %40 ile %30'un basit ortalaması %35 olur; grup büyüklükleri eşit olmadığı için bu sonuç birleşik grubun yüzdesi değildir. Sonuç: %32,5. Turuncu ve beyaz şerit uzunlukları 4:1 oranındadır; toplam 200 cm'dir. Turuncu şerit kaç cm ve bütünün yüzde kaçıdır? 160 cm ve %80. Beş eşit paydan dördü turuncudur. Sık hata: Parçaların birbirine oranını parçanın bütüne oranı sanmak veya eşit olmayan grupların yüzdelerini eşit ağırlıkla ortalamak. Yüzdenin tabanını seç. Bir nicelik eski değerinden yeni değerine geçiyorsa yüzde değişim = (yeni−eski)/eski ×100'dür. Referans eski değerdir. Artış miktarı ile yeni değerin kendisi farklıdır. Bir oran %40'tan %50'ye çıkarsa fark 10 yüzde puanıdır. Oranın kendi eski değerine göre artışı ise 10/40×100=%25'tir. Yüzde puanı ile yüzde değişim farklı soruları yanıtlar. %20 indirimden sonra fiyat eski fiyatın %80'idir. Son fiyattan ilk fiyatı bulurken 0,80'e böl; son fiyata doğrudan %20 eklemek ilk fiyata geri götürmez. Örnek: Bir kulüpte tercih oranı %40'tan %50'ye çıktı. Değişimi iki ayrı biçimde yaz. Açıklama: Oranların farkı 50−40=10 yüzde puanıdır. Eski orana göre yüzde artış 10/40×100=%25'tir. %40'ın %25'i 10'dur; 40+10=50 kontrolü sonucu doğrular. Sonuç: 10 yüzde puanı ve %25 göreli artış. Örnek: Bir çantanın %20 indirimli fiyatı 240 liradır. İlk fiyatı nedir? Açıklama: İlk fiyatı P olsun. İndirim sonrası 0,80P=240. P=240/0,80=300 liradır. 300'ün %20'si 60; 300−60=240. 240'a %20 eklemek 288 verir ve koşulu sağlamaz. Sonuç: 300 lira. 120 liralık bir ürün %25 indirimle satılıyor. Son fiyat nedir; bu son fiyattan ilk fiyatı nasıl kontrol edersin? 90 lira; 90/0,75=120. %25'in tabanı ilk fiyat olan 120 liradır. Sık hata: Yüzde puanını yüzde artış diye adlandırmak ya da ters işlemde indirimi son fiyatın üzerine aynı yüzdeyle eklemek. Sıra ve sabit terim fark yaratır. Yüzde indirimi ile sabit lira kuponu farklı işlemlerdir. Önce %20 indirim, sonra 30 lira kupon: 0,80P−30. Önce kupon, sonra indirim: 0,80(P−30). Parantez işlem sırasını gösterir. Sabit başlangıç ücreti varsa toplam ücret kullanımın katı değildir. 25+4n liralık tarifede 25 sabit, 4n kullanıma bağlı parçadır. Kullanım iki katına çıkınca sabit 25 iki katına çıkmaz. İki modeli karşılaştırırken eşitlik sınırını bul, sonra sınırın bir altını ve bir üstünü dene. Kullanım tam sayıysa 'daha ucuz' ile 'eşit' durumunu ayır. Örnek: 500 liralık ürün için iki sıra karşılaştırılıyor: %20 indirim sonra 30 lira kupon; 30 lira kupon sonra %20 indirim. Son fiyatlar nedir? Açıklama: İlk sıra 0,80×500−30=370 liradır. İkinci sıra 0,80×470=376 liradır. İlk sıra 6 lira daha ucuzdur. Fark 30'un %20'sidir; kupon koşullarının başka kesinti içermediği varsayılmıştır. Sonuç: 370 lira ve 376 lira. Örnek: A tarifesi 25+4n, B tarifesi 5+6n liradır. n, 0 ile 30 arasındaki tam sayı kullanım sayısıdır. Tarifeler hangi n'de eşittir; A ilk hangi n'de daha ucuzdur? Açıklama: 25+4n=5+6n; 20=2n, n=10. n=10'da iki ücret de 65 liradır; bu 'daha ucuz' değildir. n=11'de A=69, B=71. A'nın daha ucuz olduğu ilk tam sayı kullanım 11'dir. Sonuç: Eşitlik 10; A'nın ilk daha ucuz olduğu kullanım 11. 200 liralık ürün için önce %10 indirim sonra 20 lira kupon ile önce 20 lira kupon sonra %10 indirim aynı sonucu verir mi? Hayır. İlk sıra 160, ikinci sıra 162 liradır; yüzde işleminin tabanı değişir. Sık hata: Sabit indirimi yüzde indirimi gibi düşünmek; eşitlik noktasını sıkı eşitsizliğin ilk tam sayı çözümü sanmak. Sabit kalanı bul, iddiayı sınamaya dön. Yol sabit ve hız pozitifse süre = yol/hızdır. Hız %25 artınca yeni hız eskisinin 1,25 katıdır; yeni süre eskisinin 1/1,25=0,80 katıdır. Süre %20 azalır, %25 değil. Bu model sabit hız ve mola olmaması koşuluyla geçerlidir. Bir kutuya yalnız mavi nesne eklersen kırmızı sayısı değişmez, toplam sayı artar. Kırmızı payını hedef yüzdeye düşürmek için sabit kırmızı sayısını yeni toplam sayıya bölerek model kur. Sonucu yalnız seçeneğe bakarak kabul etme. Yeni toplamı, yüzde tabanını ve birimi tekrar yaz. Sonucu eski koşullara koy; nesne sayıları tam sayı ve miktarlar negatif olmayan değerler olmalıdır. Örnek: 240 km'lik yol, mola olmadan sabit 48 km/sa hızla gidiliyordu. Hız sabit 60 km/sa olursa süre yüzde kaç kısalır? Açıklama: Eski süre 240/48=5 saat; yeni süre 240/60=4 saat. Kısalma 1 saattir; eski süreye oranı 1/5=%20. 48×5=60×4=240 km. Hızdaki %25 artış ile süredeki %20 azalış aynı yüzde değildir. Sonuç: %20. Örnek: Kutuda 18 kırmızı, 12 mavi pul var. Hiç pul çıkarılmadan yalnız mavi pul eklenerek kırmızı payı %50 yapılacak. Kaç mavi pul gerekir? Açıklama: Kırmızı sayı 18 olarak kalır. %50 için bütün 18/0,50=36 pul olmalıdır. Başlangıç toplamı 30; eklenecek mavi pul 36−30=6. Yeni kutuda 18 kırmızı ve 18 mavi vardır; 18/36=%50. Sonuç: 6 mavi pul. Bir süreç aynı miktar işi kesintisiz ve sabit hızla 100 birim/saat yerine 125 birim/saat üretiyor. Eski süre 4 saat ise yeni süre ve yüzde kısalma nedir? 3,2 saat ve %20 kısalma. Aynı miktar 400 birimdir; 400/125=3,2. Sık hata: Ters değişen niceliklerin yüzde değişimlerini eşit sanmak veya hedef yüzdeyi eski toplam üzerinden hesaplamak.

3. Giriş

   Bu küçük çalışmanın sınırı. Soruların sayıları ve olayları varsayımsaldır. Gerçek fiyat, yolculuk veya öğrenci araştırması değildir. Bu çalışma oran ve yüzdeyi yorumlamaya odaklanır; bütün TYT Matematik, grafik, mutlak değer veya bütün problem türleri değildir. Süre baskısı olmadan önce kendi modelini yaz. İstersen kâğıda tablo çiz; sonucu eski koşullara ve birime geri koy. Sesli anlatım, insan öğretmen incelemesi veya sınav sonucu garantisi verildiği anlamına gelmez.

4. Bölüm 4

   Modelini sekiz soruda dene. Her seçeneğin açıklamasını incele; ilgili bölüme dönerek modelini yeniden kur. Sekiz özgün model sorusu.