12. Sınıf Matematik: Türevle Teğet, Normal ve Dış Nokta Problemleri

Rehberli anlatımda söylenen yönlendirmeler dâhil tam metin. Düşünme araları sessizdir.

1. Giriş

   Konuya başlayalım. Teğet problemi, türev hesabını doğru denklemiyle buluşturur. Eğri üzerindeki temas noktası doğrunun nereden geçtiğini, türev ise hangi eğime sahip olduğunu belirler. Normal doğrusu da aynı noktadan geçer fakat teğete diktir. Bu derste bütün eğriler polinom olacak; amaç teğet ve normalin denklemini kurmak, paralellik koşulundan temas noktasını bulmak ve yatay teğet durumunu ayrı değerlendirmektir. Önkoşullar polinom türevi, iki doğrunun eğim ilişkisi ve nokta–eğim biçimidir. Her örnekte noktayı bulmadan doğru yazmamaya dikkat et; türev tek başına doğrunun yerini belirlemez.

2. Ayrıntılı anlatım

   Önkoşul: temas noktası ve eğim iki ayrı bilgidir. y = f(x) eğrisinin x = a noktasındaki temas noktası A(a, f(a)) olur. Teğetin eğimi m_t = f'(a) ile bulunur. Nokta–eğim biçimi y−f(a) = f'(a)(x−a) olarak yazılır; sözel okunuşu “y değerinin temas yüksekliğinden farkı, eğim çarpı x değerinin temas girdisinden farkıdır” şeklindedir. Aynı eğime sahip sonsuz sayıda paralel doğru bulunduğu için yalnız türevi hesaplamak teğet denklemini bitirmez. Nokta bilgisi hangi paralel doğrunun seçileceğini belirler. Eğimleri sonlu ve sıfırdan farklı olan iki dik doğru için eğimlerin çarpımı eksi birdir. Bu durumda normal eğimi m_n = −1/m_t olur ve normal denklemi aynı temas noktasıyla yazılır. Teğetin eğimi sıfırsa bu kesir kullanılamaz: teğet yatay, normal düşeydir; normal x = a biçimindedir. Ayrıca teğet sözcüğünü “eğriyi yalnız bir yerde kesen doğru” diye tanımlamak güvenilir değildir. Bir polinom eğrisinin teğeti başka bir noktada eğriyi yeniden kesebilir; belirleyici olan temas noktasındaki yerel eğimdir. Çizim düşünmeyi kolaylaştırır, fakat noktayı ve eğimi hesaplamak geometrik sezgiyi sayısal bir denetime bağlar. Sonuç olarak her doğru için önce bir nokta, ardından bir yön bilgisi arayacaksın. İşlenmiş örnek: aynı noktada teğet ve normal. f(x) = x^2−3x+2 eğrisini x = 2 noktasında incele. Önce f(2) = 4−6+2 = 0 hesaplanır; temas noktası A(2,0) olur. Türev f'(x) = 2x−3, teğet eğimi f'(2) = 1 çıkar. Nokta–eğim biçimi y−0 = 1(x−2), yani y = x−2 verir. Noktayı doğruya yerleştirince sıfır elde edilmesi, doğrunun temas noktasından geçtiğini doğrular. Eğimin de bir olması ikinci kontroldür. Normal aynı A noktasından geçer ve eğimi −1 olur. Bu nedenle y−0 = −1(x−2), yani y = −x+2 bulunur. İki eğimin çarpımı 1·(−1) = −1 olduğundan diklik sağlanır. İkinci bir örnekte f(x) = x^2 için x = 1 al. Temas noktası (1,1), türev 2x ve teğet eğimi iki olur. Teğet y−1 = 2(x−1), dolayısıyla y = 2x−1 çıkar. Normal eğimi −1/2 olduğundan y−1 = (−1/2)(x−1), yani y = −x/2+3/2 olur. Normalin sabit terimini üç bölü iki yerine bir yazmak, eğimi doğru ama noktası yanlış bir doğru üretir. Kesirli eğimlerde parantezi dağıtma adımını açık tutmak bu hatayı yakalar. Yanılgı örneği: sıfır eğimde tersini alma. f(x) = x^2−4x+1 eğrisinin x = 2 noktasına bakalım. Noktanın yüksekliği f(2) = 4−8+1 = −3 olur. Türev f'(x) = 2x−4 olduğundan f'(2) = 0 bulunur. Teğet yataydır ve y = −3 denklemini taşır. Normal ise aynı noktadan geçen düşey doğru, yani x = 2 olur. Normal eğimini −1/0 diye yazmak bir sayı vermez; burada yatay ve düşey doğruların geometrik ilişkisini kullanmak gerekir. Sıfır türev, temas noktasının orijinde olduğu anlamına gelmez. Bu örnekte temas yüksekliği eksi üçtür; y = 0 yazmak yatay ama yanlış konumda bir doğru verir. Ayrıca normalin denklemini her zaman y = mx+b biçiminde aramak mümkün değildir; düşey doğruların sonlu eğimi yoktur. Kontrol için hem (2,−3) noktasını hem yakın bir başka normal noktasını düşün: (2,0) da aynı düşey doğrudadır. Buna karşılık teğet üzerinde (0,−3) bulunur. Noktaları ayrı ayrı seçmek iki doğrunun yön farkını görünür kılar. Hesapta sıfır çıkınca işlemi mekanik sürdürmek yerine kullanılan formülün hangi koşulda geçerli olduğunu sormak gerekir. Bu özel durum, normal sorularında eksiksiz çözüm yazmanın temel parçalarından biridir. Kesen ile teğeti de ayırt etmelisin. y = x^2 eğrisindeki (1,1) ve (3,9) noktalarından geçen kesenin eğimi (9−1)/(3−1) = 4 olur. Buna karşılık birinci noktadaki teğet eğimi ikidir. İki uzak noktadan hesaplanan ortalama eğimi, bu noktalardan herhangi birinin teğet eğimi diye kullanamazsın. Bu örnekte eğimi dört olan teğet başka bir girdide, x iki olduğunda ortaya çıkar. Kesenin iki noktasını bilmek ile teğetin tek noktadaki değişimini bilmek farklı veri türleridir. Soru kökündeki “bu iki noktadan geçen” ve “bu noktada teğet olan” ifadelerini bu yüzden dikkatle ayır. Bir teğetin eğriyi başka yerde kesebileceğini de sayılarla gösterebiliriz. y = x^3 eğrisinin x bir noktasındaki teğeti y = 3x−2 olur. Eğriyle doğrunun ortak noktalarını ararken x^3 = 3x−2, yani x^3−3x+2 = 0 yazılır. Çarpanlar (x−1)^2(x+2) olduğundan x bir dışında x eksi iki de ortak noktadır. İkinci noktada hem eğri hem doğru eksi sekiz yüksekliğini verir. Bu ikinci kesişim, doğrunun birinci noktada teğet olmasını bozmaz. Teğetlik o noktadaki eğim ilişkisidir; bütün grafikte yalnız bir ortak nokta bulunması şart değildir. Bu karşı örneği düşünmek, çizimde yapılan yanıltıcı bir genellemeyi kalıcı biçimde düzeltir. Transfer: paralellikten ve dış noktadan temas yeri bul. f(x) = x^3−3x eğrisine eğimi dokuz olan doğrulara paralel teğetler aransın. Temas girdisine a diyelim. f'(x) = 3x^2−3 olduğundan paralellik koşulu 3a^2−3 = 9 verir. Buradan a^2 = 4, yani a = 2 veya a = −2 bulunur. Noktalar f(2) = 2 ve f(−2) = −2 ile (2,2), (−2,−2) olur. Birinci teğet y−2 = 9(x−2), yani y = 9x−16; ikinci teğet y+2 = 9(x+2), yani y = 9x+16 çıkar. Tek eğim koşulunun iki temas noktası üretmesi mümkündür. Şimdi y = x^2 eğrisine, P(0,−4) noktasından geçen teğetleri ara. Temas noktası (a,a^2), eğim 2a ve genel teğet y = 2ax−a^2 olur. P doğru üzerinde bulunacağından −4 = 2a·0−a^2, dolayısıyla a^2 = 4 yazılır. a = 2 için y = 4x−4, a = −2 için y = −4x−4 bulunur. Verilen P noktasının eğri üzerinde olması gerekmez; bu yüzden doğrudan f'(0) alarak eğimi belirlemek yanlış olur. Önce bilinmeyen temas noktasını modellemek, dış noktadan geçme koşulunu doğru yere bağlar. Her iki son doğruya P noktasını yerleştirerek geçme koşulunu doğrulayabilirsin. Kontrol ve çıkış ödevi: denklemi iki bağımsız koşulla doğrula. Bir teğet denklemini kontrol ederken temas noktasının doğruyu sağladığını ve doğrunun eğiminin türev değerine eşit olduğunu ayrı ayrı göster. Normalde noktadan geçme koşulu değişmez; yön kontrolü ise dikliktir. Sonlu ve sıfırdan farklı eğimlerde çarpım eksi bir olmalı, yatay teğette normal düşey olmalıdır. Eğer temas noktası denklem çözerek bulunduysa bütün gerçek adayları incele; yalnız pozitif olanı seçmek için bir gerekçe bulunmayabilir. Polinomların her gerçek girdide tanımlı olması bu örneklerde nokta bulma aşamasını kolaylaştırır. Çıkış ödevinde f(x) = x^2+2x için x = 0 noktasındaki teğet ve normali bul. Nokta (0,0), teğet eğimi iki olduğundan teğet y = 2x, normal y = −x/2 olur. İkinci soruda f(x) = x^3 eğrisinin x = 1 noktasını kullan: nokta (1,1), türev üç, teğet y = 3x−2 ve normal y = −x/3+4/3 çıkar. Son soruda f(x) = x^2−6x+5 için yatay teğeti ara. 2a−6 = 0 koşulu a = 3, yükseklik 9−18+5 = −4 verir; teğet y = −4, normal x = 3 olur. Cevapları yalnız ezberlenen doğru biçimleriyle değil, hesaplanan nokta ve eğimlerle açıklayabiliyorsan yeni bir polinom sorusuna yöntemi taşıyabilirsin.

3. Sık sorulanlar

   Sık sorulan sorular. Soru: Teğet için türev değerini bulduktan sonra neden fonksiyon değerini de hesaplarım? Cevap: Türev eğimi belirler, fakat aynı eğime sahip sonsuz doğru vardır. Fonksiyon değeri temas noktasının yüksekliğini verir. Bu nokta ile eğimi birlikte kullanınca doğru tek olarak belirlenir. Soru: Yatay teğetin normali hangi denklemle yazılır? Cevap: x = a noktasındaki yatay teğetin normali x = a düşey doğrusudur. Eğimlerin negatif tersini alma formülü bu durumda kullanılmaz; sıfırın çarpmaya göre tersi yoktur. Soru: Normal doğrusunu bulurken başka bir temas noktası aramalı mıyım? Cevap: Hayır. Teğet ve normal aynı temas noktasından geçer. Normalin farklı olan özelliği yönüdür: teğete diktir. Bu nedenle noktayı korur, uygun diklik koşulundan normalin yönünü belirlersin. Soru: Eğri dışındaki bir noktadan teğet istenirse o noktanın x değerinde türev alınır mı? Cevap: Genellikle hayır. Dış nokta temas noktası değildir. Bilinmeyen temas girdisine a diyerek teğeti kurar, verilen dış noktanın bu doğru üzerinde bulunması koşulundan a değerlerini bulursun. Soru: Bir eğime paralel birden fazla teğet bulunabilir mi? Cevap: Evet. Türev değerini verilen eğime eşitleyen denklem birden fazla gerçek temas girdisi verebilir. Her girdi için temas noktası ve doğru denklemi ayrı hesaplanmalıdır; aynı eğim, aynı doğru anlamına gelmez.

4. Bölüm 4

   Şimdi öğrendiğini dene. Kısa testi çöz; her seçenekteki açıklamayla doğru yöntemi pekiştir. Teste başla.