12. Sınıf Matematik: Trigonometrik Denklemlerde Aralık ve Kök Ayıklama

Rehberli anlatımda söylenen yönlendirmeler dâhil tam metin. Düşünme araları sessizdir.

1. Giriş

   Konuya başlayalım. Trigonometrik bir denklemin çözümü çoğu zaman tek açı değildir. Birim çemberde aynı sinüs ya da kosinüs değerine sahip birden fazla açı bulunur; ayrıca tam turlar yeni çözümler üretir. Bu derste temel açıları hatırlayıp çözüm ailelerini kuracak, sonra istenen aralığa süzeceksin. Ana çözüm örneklerinde açı ölçüsü radyandır; derece dönüşümü ayrıca belirtilir. Pi simgesi π ile gösterilecek; π radyan yarım tura, 2π radyan tam tura karşılık gelecektir. Birim çemberin işaret bilgisi, basit çarpanlara ayırma ve eşitsizlik çözme önkoşuldur. Son kontrolde hem denklemin tanımını hem aralık uçlarını ayrı ayrı incelemek alışkanlık hâline gelmelidir. Ana örnekler radyanla ilerler; aşağıdaki dönüşüm örneği ve bu derse bağlı uygulama testleri ise açıkça derece kullanır. Dereceyi radyana çevirmek için π/180, radyanı dereceye çevirmek için 180/π ile çarpılır. Örneğin π/6 radyan otuz derece, 2π radyan üç yüz altmış derecedir. Dereceyle sin(2x) = 0 sorusunda 0 ≤ x < 360 aralığı verilirse 2x = 180k, x = 90k olur; kökler 0, 90, 180 ve 270 derecedir. Aynı dört kök radyanla 0, π/2, π ve 3π/2 diye yazılır. Sayısal seçeneklere geçmeden soru kökündeki birimi mutlaka oku; yöntem aynı kalır, açıların sayısal yazımı değişir.

2. Ayrıntılı anlatım

   Önkoşul: birim çember, periyot ve tanım. Birim çemberde bir açıya karşılık gelen noktanın yatay koordinatı kosinüs, düşey koordinatı sinüstür. Bu nedenle sinüs ve kosinüs değerleri −1 ile 1 arasındadır. sin x = 2 gibi bir denklemin gerçek çözümü yoktur; burada açı aramaya başlamadan değer aralığına bakmak yeterlidir. sin(x+2π) = sin x ve cos(x+2π) = cos x eşitlikleri tam turdan sonra aynı noktaya dönüldüğünü anlatır. Genel çözümde k tam sayı olmak üzere 2kπ eklenmesi bu yüzden gerekir. Tanjant tan x = sin x/cos x biçiminde okunur; payda sıfır olduğunda tanımlı değildir. Bu nedenle x = π/2+kπ değerleri tanjant içeren bir denklemin başlangıç tanımından çıkarılır. Tanjantın periyodu π olduğundan tan x = tan α denklemi x = α+kπ biçiminde çözülür. Sinüs denkleminde ise aynı yüksekliği veren iki yön düşünülür: sin x = sin α için x = α+2kπ veya x = π−α+2kπ yazılır. Kosinüste aynı yatay koordinat x = α+2kπ veya x = −α+2kπ verir. Bu aileler bazı özel açılarda aynı çözümleri tekrar üretebilir. Çözüm kümesine aynı açıyı iki kez yazmamak, aileleri bulduktan sonraki son düzenleme adımıdır. İşlenmiş örnek: temel açıdan dönüşmüş açıya. sin x = 1/2 denklemini 0 ≤ x < 2π aralığında çöz. Referans açı π/6 olur; çünkü sin(π/6) = 1/2. Sinüs birinci ve ikinci bölgede pozitif olduğu için aralıktaki açılar π/6 ve 5π/6 bulunur. Genel aileler π/6+2kπ ve 5π/6+2kπ biçimindedir. Verilen aralık yalnız bir tam tur içerdiğinden bu iki değer yeterlidir. Burada 2π aralığa dahil değildir; fakat denklemi zaten sağlamadığından bu örnekte uç seçimi sonucu değiştirmez. Şimdi aynı aralıkta cos(2x) = 1/2 denklemini çöz. u = 2x adını verdiğinde u için aralık 0 ≤ u < 4π olur. Kosinüsün temel çözümleri u = π/3 ve u = 5π/3 iken ikinci turda u = 7π/3 ve u = 11π/3 değerleri de gelir. Her birini ikiye bölünce x = π/6, 5π/6, 7π/6, 11π/6 bulunur. Sadece ilk turdaki u değerlerini almak iki kökü kaçırır. Kontrol için x = 7π/6 yazıldığında 2x = 7π/3 olur; bu açı π/3 ile aynı kosinüse sahiptir. Dönüşmüş açının aralığını dönüştürmek, katsayının çözüm sayısına etkisini görünür kılar. Yanılgı örneği: bir çarpana bölmek kök kaybettirir. sin x cos x = 0 denklemini 0 ≤ x < 2π aralığında ele al. Bir çarpımın sıfır olması için çarpanlardan en az biri sıfırdır. sin x = 0 dalından x = 0 ve x = π gelir. cos x = 0 dalından x = π/2 ve x = 3π/2 gelir. Çözüm kümesi dört açıdan oluşur. Eğer denklemin iki tarafını doğrudan sin x ile bölersen, sin x sıfırken bölme yapmış olursun ve sıfır ile pi çözümlerini kaybedersin. Bölme ancak böldüğün ifadenin sıfır olmadığı ayrı bir durumda kullanılabilir. Benzer şekilde 2sin^2 x−sin x = 0 denklemini sin x(2sin x−1) = 0 olarak ayır. Birinci dal x = 0, π; ikinci dal sin x = 1/2 olduğundan x = π/6, 5π/6 verir. Bu örnekte kareli görünüm yeni bir yöntem gerektirmez; ortak çarpan ve temel sinüs denklemi yeterlidir. Her adayı ilk ifadeye yerleştirerek sıfır sonucunu denetleyebilirsin. Denklemi çözerken kullandığın özdeşlik tüm gerçek açılarda geçerliyse dönüşüm güvenlidir; bir trigonometrik ifadeyle bölme veya tanjant yazmak ise yeni tanım kısıtları doğurabilir. Bu nedenle işlem kolaylığı ile çözüm kümesini korumayı birlikte düşün. Bir diğer yanılgı, yalnız pozitif açıların çözüm olabileceğini düşünmektir. cos x = 0 denklemini bu kez −π ≤ x ≤ π aralığında incele. Genel aile x = π/2+kπ olduğundan uygun tam sayılar eksi bir ve sıfırdır. Çözümler −π/2 ve π/2 olur. Önceki tam tur aralığında yazdığın üç pi bölü iki, yeni aralığın dışında kalır. Aynı yönü gösterebilen açılardan hangisinin yazılacağına sorunun sayı aralığı karar verir. Birim çember, açıları bulmaya yardım eder; aralık koşulu ise hangi gerçek sayı temsilcilerinin kabul edileceğini belirler. Karesi alınmış bir eşitliği geri çözerken de aday kontrolü gerekir. sin^2 x = 1/4 denklemi hem sin x = 1/2 hem sin x = −1/2 dallarını içerir. Sıfır dahil, iki pi hariç aralıkta dört çözüm vardır: π/6, 5π/6, 7π/6 ve 11π/6. Buna karşılık başlangıç sorusu sin x = 1/2 iken sen iki tarafın karesini aldıysan, son iki açı başlangıç denklemine ait değildir. İşlemin ürettiği yeni adaylarla asıl kökleri ayırmak burada da zorunludur. Çözüm sonunda ilk eşitliğe dönme alışkanlığı hem eksik dalı hem fazladan adayı yakalayabilir. Kare alma işlemini kullanmadan önce neden ihtiyaç duyduğunu açıklaman da gereksiz adımları azaltır. Transfer: kaydırılmış açı ve aralık süzgeci. tan(x−π/4) = 1 denklemini 0 ≤ x < 2π aralığında çöz. İç açı u = x−π/4 olsun. tan u = 1 için u = π/4+kπ yazılır. Dolayısıyla x−π/4 = π/4+kπ ve x = π/2+kπ olur. Aralık koşulu 0 ≤ π/2+kπ < 2π eşitsizliğidir. Buradan k = 0 veya k = 1 seçilir; çözümler π/2 ve 3π/2 olur. Başlangıçta tanjantın tanımsız olduğu durum x−π/4 = π/2+kπ, yani x = 3π/4+kπ idi. Bulunan iki çözüm bu yasaklı değerlerle çakışmaz. Burada x = π/2 değerini yalnız “tanjant pi bölü ikide tanımsızdır” diye elemek yanlış olur. Tanjantın aldığı açı x değil, x−π/4 ifadesidir. Birinci çözümde iç açı π/4, ikinci çözümde 5π/4 olup ikisinde de tanjant birdir. Aynı düşünce dönme ya da tekrar eden hareket modellerine aktarılır: bir zaman değişkenine bağlı açı varsa önce açının başlangıç kaymasını ve değişim katsayısını ayırırsın. Bu dersin hesabında hareket yorumu zorunlu değildir; önemli olan fonksiyonun gerçek girdisini doğru belirlemektir. Kontrol satırında yalnız x değerini değil, onun oluşturduğu iç açıyı da yazmak tanım hatalarını azaltır. Kontrol ve çıkış ödevi: bütün çözümler, yalnız izin verilenler. Bitirdiğin çözümde dört soru sor: açı birimi neydi, fonksiyon nerede tanımlıydı, bütün temel dalları yazdım mı ve genel aileyi istenen aralığa doğru süzdüm mü? Aralık kapalıysa uç noktalar da adaydır; yarı açık bir aralıkta sağ uç dışarıda kalır. Örneğin sin x = 0 denklemi [0, 2π] aralığında 0, π ve 2π çözümlerini verirken [0, 2π) aralığında yalnız 0 ve π kalır. Aynı doğrultuya denk gelmeleri, farklı gerçek sayılar olan sıfır ile iki pi değerlerini her soruda birleştirme hakkı vermez. Çıkış ödevinde cos x = −1/2 denklemini [0, 2π) aralığında çöz; ikinci ve üçüncü bölgeden 2π/3 ve 4π/3 bulmalısın. Sonra sin(2x) = 0 denklemini aynı aralıkta çöz: 2x = kπ olduğundan x = kπ/2, uygun tam sayılar k = 0, 1, 2, 3 ve sonuç dört açıdır. Son soruda tan x = 0 için yalnız 0 ve π bulunur; π/2 ile 3π/2 tanımsızdır, kök değildir. Her soru için en az bir yanlış adayı neden reddettiğini yaz. Böylece yalnız doğru açıları hatırlamadığını, eksik ve fazla çözümleri de denetleyebildiğini göstermiş olursun.

3. Sık sorulanlar

   Sık sorulan sorular. Soru: Sinüs denklemi çözerken neden ikinci bölgeyi de düşünürüm? Cevap: Birim çemberde aynı düşey koordinata sahip iki nokta bulunabilir. Pozitif bir sinüs değeri için bu noktalar birinci ve ikinci bölgede yer alır. Örneğin sin x = 1/2 bir turda hem π/6 hem 5π/6 açısında sağlanır. Soru: cos(2x) denkleminde iç açının aralığını neden ikiyle çarparım? Cevap: Denklemi u = 2x üzerinden çözüyorsan x değerlerinin oluşturduğu u aralığını kullanmalısın. x bir tam tur aralığında değişirken u iki tur tarar; ilk turla sınırlamak geçerli kökleri kaybettirir. Soru: Tanjant denkleminde pi bölü iki olan her x elenir mi? Cevap: Hayır. Tanımsızlık tanjantın gerçek girdisine bağlıdır. tan(x−π/4) ifadesinde x = π/2 için iç açı π/4 olur ve ifade tanımlıdır. Yasaklı değerler, iç açıyı π/2+kπ yapan x değerleridir. Soru: Trigonometrik çarpımı çözerken doğrudan bölmek neden risklidir? Cevap: Bölen ifade sıfır olabiliyorsa o duruma ait çözümler kaybolur. sin x cos x = 0 denkleminde sin x ile bölmek, sin x = 0 dalını siler. Çarpanları ayrı ayrı sıfıra eşitlemek çözüm kümesini korur. Soru: Sıfır ve iki pi aynı yönü gösteriyorsa neden bazen iki ayrı çözüm yazılır? Cevap: Denklem bir açı yönü değil gerçek sayı aralığındaki x değerlerini istiyorsa sıfır ve iki pi farklı sayılardır. Kapalı aralık ikisini de kapsayabilir. Sağ ucu açık aralıkta ise iki pi çözüm kümesine alınmaz.

4. Bölüm 4

   Şimdi öğrendiğini dene. Kısa testi çöz; her seçenekteki açıklamayla doğru yöntemi pekiştir. Teste başla.