12. Sınıf Matematik: Dizilerde Terim, Toplam ve Model Kurma

Rehberli anlatımda söylenen yönlendirmeler dâhil tam metin. Düşünme araları sessizdir.

1. Giriş

   Konuya başlayalım. Bir dizide iki farklı soru sorulabilir: belirli sıradaki değer nedir ve o sıraya kadar ne kadar birikmiştir? İlki terim, ikincisi toplam sorusudur. Bu derste sabit farkla ilerleyen aritmetik dizileri ve sabit oranla ilerleyen geometrik dizileri karşılaştıracak, verilen birkaç terimden bir model kuracaksın. Temel işlemler, birinci derece denklem ve üslü ifade bilgisi yeterlidir. Her örnekte sıra numarasını, ilk terimi ve değişim kuralını ayrı yaz. Bir tablo hazırlayıp ilk birkaç değeri üretmek, formüldeki indis kaymalarını soyut bir hata olmaktan çıkarıp gözle görülen bir uyuşmazlığa dönüştürür.

2. Ayrıntılı anlatım

   Önkoşul: sıra, değer ve değişim kuralını ayır. a_n gösterimi “a dizisinin n inci terimi” diye okunur; n burada terimin değeri değil, listedeki sıra numarasıdır. İndis birden başlıyorsa a_1 ilk terimdir. Aritmetik dizide ardışık terimlerin farkı sabittir: a_(n+1)−a_n = d. Bu ifade “sonraki terimden önceki terimi çıkarınca ortak fark elde edilir” anlamına gelir. İlk terimden n inci terime ulaşmak için n−1 adım atıldığından a_n = a_1+(n−1)d yazılır. Formülde n yerine n−1 bulunmasının nedeni bu adım sayısıdır. Geometrik dizide ise ardışık geçiş aynı oranla çarpmadır: a_n = a_1 r^(n−1). Burada r ortak orandır. Oranı ardışık terimleri bölerek arıyorsan böldüğün terimin sıfır olmadığından emin olmalısın. Örneklerde ilk terim ve oran sıfırdan farklı seçilecektir. Birkaç terimin düzenli görünmesi, tek başına bütün sonsuz dizinin aynı kurala uyduğunu kanıtlamaz; soruda aritmetik veya geometrik olduğu belirtilmeli ya da modelin kuralı verilmelidir. S_n gösterimi ilk n terimin toplamını belirtir. Örneğin ikinci terim a_2 iken ikinci kısmi toplam S_2 = a_1+a_2 olur. Terim ile toplamı ayrı sütunlara yazmak bu farkı görünür kılar. İşlenmiş örnek: aritmetik terim ve toplam hesabı. İlk terimi yedi, ortak farkı dört olan aritmetik dizide on ikinci terimi bulalım. İlk birkaç terim 7, 11, 15, 19 biçimindedir. Genel terim a_n = 7+4(n−1) olduğundan a_12 = 7+44 = 51 olur. İlk on iki terimin toplamında ise yalnız elli bir yazılamaz; bütün terimler toplanmalıdır. Aritmetik toplam S_n = n(a_1+a_n)/2 biçimindedir ve “terim sayısı çarpı ilk ve son terimin ortalaması” diye okunur. Dolayısıyla S_12 = 12(7+51)/2 = 6·58 = 348 bulunur. Formülün nedeni karşılıklı eşleştirmedir: ilk ve son terimin toplamı, ikinci ve sondan ikinci terimin toplamına eşittir. Burada altı çiftin her biri elli sekiz eder. Şimdi a_3 = 11 ve a_8 = 31 verilen başka bir aritmetik diziyi kur. İndisler arasında beş adım olduğundan 5d = 31−11 = 20, yani d = 4 olur. Üçüncü terim ilk terimden iki adım sonradır; a_1 = 11−2·4 = 3 bulunur. Kontrol için a_8 = 3+7·4 = 31 yaz. İlk sekiz terimin toplamı S_8 = 8(3+31)/2 = 136 çıkar. Önce kuralı bulmak, ardından istenen niceliği seçmek iki ayrı adımdır. İkinci model: geometrik büyüme ve azalma. İlk terimi üç ve ortak oranı iki olan geometrik dizinin ilk altı terimi 3, 6, 12, 24, 48, 96 olur. Genel terim a_n = 3·2^(n−1) olduğundan altıncı terim doksan altıdır. İlk altı terimi topladığında ise 189 elde edilir. Geometrik toplamın r ≠ 1 için kullanılan biçimi S_n = a_1(r^n−1)/(r−1) olur. Bu örnekte S_6 = 3(64−1)/(2−1) = 189 hesaplanır. Üstelin toplam formülünde n, terim formülünde n−1 olmasına dikkat et; bu iki formül farklı nicelikleri temsil eder. Azalan bir örnekte ilk terim 160, ortak oran 1/2 olsun. İlk dört terim 160, 80, 40, 20 ve toplamları 300 olur. Formülle de S_4 = 160(1−(1/2)^4)/(1−1/2) = 160·(15/16)/(1/2) = 300 bulunur. Pay ile paydayı birlikte işaret değiştirerek yazmak aynı toplamı verir. Oranın birden küçük olması geometrik diziyi aritmetik yapmaz; burada farklar −80, −40 ve −20 olup sabit değildir. Ortak oran bir olduğunda bütün terimler ilk terime eşit kalır ve toplam n·a_1 olur; sıfır paydalı genel toplam ifadesi bu özel durumda kullanılmaz. Toplam formülünün nereden geldiğini küçük bir listeyle kurabilirsin. S = 3+6+12+24 yaz; ikiyle çarpılmış toplam 2S = 6+12+24+48 olur. İkinci satırdan ilk satırı çıkardığında ortadaki ortak terimler gider ve S = 48−3 = 45 kalır. Genel geometrik toplamda da aynı kaydırıp çıkarma düşüncesi kullanılır. Bu yüzden formüldeki pay, listedeki son terimden değil son terimin bir sonraki oranlı değerinden yararlanır. Formülü terim formülüyle karıştırdığında bu küçük çıkarma düzenine dönmek, üslerdeki farkın nedenini hatırlatır. Ortak oran negatif de olabilir. İlk terimi üç, oranı eksi iki olan dizinin ilk dört terimi 3, −6, 12, −24 ve toplamı −15 olur. İşaretlerin sırayla değişmesi bir işlem hatası değildir; her geçişte negatif oranla çarpmanın sonucudur. Böyle bir listeyi günlük çözülen soru sayısı diye yorumlayamazsın, çünkü sayım modelinde negatif değer kabul edilmez. Aynı cebirsel dizi bir işaretli büyüklük için kullanılabilir. Bu nedenle doğru formül seçimi kadar modelin terimlerinin gerçek durumla uyuşması da önemlidir. Bulduğun sonucu yalnız sayısal olarak değil, soruda temsil ettiği nicelik bakımından da yorumlamalısın. Transfer: sözel bilgiden terim ve birikim modeli kur. Bir çalışma planında ilk gün on sekiz soru, her sonraki gün bir önceki günden iki soru fazla çözüleceği belirtilsin. Bu bir aritmetik modeldir; artan miktar sabit iki sorudur. Onuncu günün hedefi a_10 = 18+9·2 = 36 sorudur. On gün boyunca planlanan toplam S_10 = 10(18+36)/2 = 270 sorudur. “Onuncu gün kaç?” sorusuyla “on günde toplam kaç?” sorusunun yanıtları farklıdır. Gerçekte planın uygulanıp uygulanmadığı ayrı bir veridir; burada yalnız verilen kurala göre hedef hesaplanır. Başka bir modelde başlangıç ölçümü kırk olan bir büyüklüğün her aşamada yüzde yirmi arttığını düşün. Artışın bir önceki değere uygulanması, ortak oranın 1,20 olması demektir. Başlangıcı birinci terim kabul edersek ikinci ölçüm 48, üçüncü ölçüm 57,6 olur. Başlangıcı sıfırıncı ölçüm diye adlandırırsak aynı üçüncü listedeki değer ikinci aşamanın sonucudur. Soruyu çözmeden zaman etiketlerini yazman bu kaymayı engeller. Ayrıca yüzde yirmi artış, her seferinde yirmi eklemek değildir. Kırktan altmışa geçmek yüzde elli artış olur. Model kurulurken “sabit miktar” farkı, “sabit yüzde” ise çarpanı düşündürür; birim ve başlangıç anı da formül kadar önemlidir. Toplamdan kaç terim kullanıldığını ters yönde bulabilirsin. İlk terim dört ve ortak fark iki iken toplam kırk olsun. n(4+[4+2(n−1)])/2 = 40 eşitliği n(n+3) = 40 verir. (n−5)(n+8) = 0 adaylarından yalnız pozitif tam sayı beş kabul edilir; 4+6+8+10+12 = 40 ile doğrulanır. Geometrik dizide a_2 = 6 ve a_4 = 24, ortak oran pozitif verilirse r^2 = 24/6 = 4 olur. r = 2, a_1 = 3 ve ilk dört toplam 3+6+12+24 = 45 bulunur. Oranın pozitif olduğu verilmeseydi eksi iki adayını ayrıca incelemek gerekirdi; model koşulunu sessizce ekleyemezsin. Kontrol ve çıkış ödevi: modelini küçük bir tabloyla sına. Her çözümün sonunda genel terime n = 1 yaz ve ilk terimi geri elde ettiğini kontrol et. İkinci bir kontrol için verilen başka bir indisi yerleştir. Toplam sorusunda ise küçük bir terim sayısı seçip doğrudan toplama ile formülü karşılaştır. Sonuç artan pozitif bir dizinin son teriminden küçük görünüyorsa veya terim sayısı tam sayı çıkmıyorsa soru kökünü ve modelini yeniden oku. Terim sayısının pozitif tam sayı olması, denklem çözümünden sonra mutlaka korunması gereken bir koşuldur. Çıkış ödevinin ilk parçasında a_1 = 5, d = 3 için a_9 ve S_9 değerlerini bul. Beklenen sonuçlar a_9 = 5+8·3 = 29 ve S_9 = 9(5+29)/2 = 153 olur. İkinci parçada a_1 = 2, r = 3 için dördüncü terimi ve ilk dört terimin toplamını hesapla: terimler 2, 6, 18, 54, dolayısıyla a_4 = 54 ve S_4 = 80 bulunur. Son parçada 7, 11, 15 diye başlayan aritmetik dizide elli birin kaçıncı terim olduğunu araştır. 7+4(n−1) = 51 eşitliği n = 12 verir. Cevabın gerekçesinde yalnız formülü değil, neden fark ya da oran kullandığını da açıkla; hedef, uygun modeli bağımsız seçebilmektir.

3. Sık sorulanlar

   Sık sorulan sorular. Soru: Aritmetik dizide neden n tane değil n−1 tane fark eklenir? Cevap: İlk terim zaten başlangıç değeridir. Birinci terimden ikinciye bir, üçüncüye iki geçiş yapılır. Bu nedenle birinci terimden n inci terime ulaşmak için n−1 geçiş gerekir. Soru: Yüzdeyle artan her liste geometrik dizi midir? Cevap: Sabit yüzde her defasında bir önceki terime uygulanıyorsa ortak çarpan sabittir ve geometrik model kurulur. Yüzde başlangıç değerine uygulanarak sabit miktar ekleniyorsa model farklıdır; hangi büyüklüğün esas alındığını okumak gerekir. Soru: Geometrik toplamda ortak oran bir olursa ne yapmalıyım? Cevap: Bütün terimler ilk terime eşit olur. İlk n terimin toplamını n·a_1 olarak hesaplarsın. Paydasında r−1 bulunan toplam formülü r = 1 için kullanılmaz. Soru: İki bilinen aritmetik terimden ortak fark nasıl çıkarılır? Cevap: Terim değerlerinin farkını indislerin farkına bölersin. Örneğin a_8−a_3 = 20 ise arada beş geçiş bulunduğundan d = 20/5 = 4 olur. Ardından bilinen terimlerden ilk terime geri gidebilirsin. Soru: Dizi sorusunda başlangıç anını sıfır mı bir mi almalıyım? Cevap: Soruda verilen etiketlemeyi izlemelisin. Başlangıç birinci terimse n inci terim için n−1 geçiş vardır. Başlangıç sıfırıncı ölçümse n aşama sonraki değer n geçiş içerir; aynı fiziksel ölçüm farklı indis alabilir.

4. Bölüm 4

   Şimdi öğrendiğini dene. Kısa testi çöz; her seçenekteki açıklamayla doğru yöntemi pekiştir. Teste başla.