12. Sınıf Matematik: Çember Analitiğinde Uzaklık, Kiriş ve Teğet

Rehberli anlatımda söylenen yönlendirmeler dâhil tam metin. Düşünme araları sessizdir.

1. Giriş

   Konuya başlayalım. Analitik çember, bir merkeze uzaklığı sabit olan noktaların koordinatlarla anlatılmasıdır. Bu derste merkez ve yarıçaptan denklem kuracak, genel denklemde kare tamamlayacak ve bir doğrunun çemberi kaç noktada kestiğini iki farklı yolla inceleyeceksin. Temel araçlar iki nokta arası uzaklık, noktanın doğruya uzaklığı ve ikinci derece denklemdir. Her örnekte önce geometrik nesnenin gerçekten bir çember oluşturduğunu kontrol et. Sonra bulunan noktaları hem çember hem doğru denkleminde sınayarak cebirsel çözümü geometrik koşullara geri bağla. Böylece şekil, yalnız yardımcı bir çizim değil, hesabın anlamını açıklayan bir model olur.

2. Ayrıntılı anlatım

   Önkoşul: sabit uzaklığı denklem olarak yaz. Merkezi M(a,b), yarıçapı r > 0 olan çemberin denklemi (x−a)^2+(y−b)^2 = r^2 olur. Bu ifade “x koordinatının merkezden yatay farkının karesi ile y koordinatının düşey farkının karesinin toplamı yarıçapın karesidir” diye okunur. Uzaklık formülünün karesi alınmış hâlidir. İşaretlere dikkat et: (x−3)^2+(y+2)^2 = 25 denkleminde merkez (3,−2), yarıçap beştir. Parantez içindeki artı iki, merkezin y koordinatının artı iki olduğunu söylemez. Bir noktanın çembere göre konumunu merkez uzaklığıyla belirleyebilirsin. Uzaklık yarıçaptan küçükse içeride, eşitse üzerinde, büyükse dışarıdadır. Karekök almak yerine uzaklığın karesini r^2 ile karşılaştırmak hesapları kısaltır. Örneğin merkez (3,−2), yarıçap beş ve nokta P(6,2) için farklar üç ve dört olur; uzaklığın karesi 9+16 = 25 olduğundan P çember üzerindedir. Aynı merkez için Q(3,0) uzaklık karesi dört verdiği için içeridedir. Merkezin kendisi çemberin üzerinde değildir; yarıçap pozitif olduğunda merkeze uzaklığı sıfırdır. Çemberin sınır noktaları ile iç bölgesini ayırmak, denklem ile eşitsizlik arasındaki farkı da açıklar. Denklem yalnız sabit uzaklıktaki sınırı anlatır. İşlenmiş örnek: genel denklemde kare tamamla. x^2+y^2−6x+4y−12 = 0 denklemini standart biçime dönüştür. Önce x ve y terimlerini grupla: (x^2−6x)+(y^2+4y) = 12. İlk grubu kare yapmak için dokuz, ikinciyi kare yapmak için dört gerekir. Eşitliğin iki tarafına toplam on üç ekleyince (x−3)^2+(y+2)^2 = 25 olur. Böylece merkez (3,−2), yarıçap beş bulunur. Kontrol için kareleri yeniden aç: x^2−6x+9+y^2+4y+4 = 25 eşitliği başlangıç denklemini geri verir. İkinci örnekte çapın uçları A(−2,1) ve B(4,5) olsun. Merkez uçların orta noktasıdır: M((−2+4)/2, (1+5)/2) = (1,3). Çap uzunluğunun karesi (4−(−2))^2+(5−1)^2 = 36+16 = 52 olur. Yarıçap çapın yarısı olduğundan yarıçapın karesi 52/4 = 13 çıkar. Çember denklemi (x−1)^2+(y−3)^2 = 13 olur. A noktasını yerine koyunca (−3)^2+(−2)^2 = 13 elde edilir; B de aynı eşitliği sağlar. Yarıçap karesini çap karesinin yarısı almak hatalıdır: uzunluğu ikiye bölmek, karesini dörde bölmek demektir. Bu örnek orta nokta ve uzaklık bilgisini tek denklemde birleştirir. İkinci örnek: yatay doğrunun kesişimlerini bul. Merkezi (2,−1), yarıçapı beş olan çember (x−2)^2+(y+1)^2 = 25 denklemini taşır. y = 3 doğrusu ile kesişimleri bulmak için y yerine üç yaz. Böylece (x−2)^2+16 = 25, ardından (x−2)^2 = 9 elde edilir. x−2 = 3 veya x−2 = −3 olduğundan x = 5 veya x = −1 çıkar. Kesişim noktaları (5,3) ve (−1,3) olur. Yalnız pozitif karekökü almak iki noktadan birini kaybettirir; kareli denklem iki işaretli aday üretir. Aynı çemberde y = 4 doğrusu için (x−2)^2+25 = 25, yani x = 2 bulunur. Tek ortak nokta (2,4) olduğundan doğru teğettir. y = 5 seçilirse (x−2)^2+36 = 25 ve (x−2)^2 = −11 çıkar; gerçek çözüm yoktur. Geometrik olarak merkezden bu yatay doğrulara uzaklıklar sırasıyla dört, beş ve altıdır. Yarıçapla karşılaştırma da aynı üç sonucu verir: iki kesişim, tek temas ve hiç kesişim. Cebir ile uzaklık yorumu birbirini doğrular. Bu örneklerde doğrunun yatay olması hesabı kolaylaştırır; eğik doğrularda aynı düşünce yer değiştirme veya nokta–doğru uzaklığı üzerinden sürdürülür. Transfer: eğik doğruyu uzaklık ve yerine yazmayla incele. Merkezi M(2,−1), yarıçapı beş olan çember için 3x+4y−27 = 0 doğrusunu ele al. Merkezden doğruya uzaklık |3·2+4·(−1)−27|/√(3^2+4^2) = |−25|/5 = 5 olur. Uzaklık yarıçapa eşit olduğundan doğru teğettir. Temas noktası için T(5,3) adayını kontrol edebiliriz: doğru denkleminde 15+12−27 = 0, çemberde (5−2)^2+(3+1)^2 = 9+16 = 25 olur. Merkezden temas noktasına uzanan doğrunun eğimi dört bölü üç, verilen doğrunun eğimi eksi üç bölü dört olur; çarpımları eksi bir olduğundan yarıçap teğete diktir. Böylece temas hem denklem hem diklik koşuluyla doğrulanır. Temas noktasını tahmin etmeden bulmak için bu dikliği başlangıçta kullanabilirsin. Verilen doğrunun eğimi −3/4 olduğundan merkezden ona dik çizilen doğrunun eğimi 4/3 olur. Merkez (2,−1) üzerinden geçen dik doğru y+1 = (4/3)(x−2), yani 3y = 4x−11 denklemini taşır. Bu denklemi 3x+4y−27 = 0 ile birlikte çöz. İlkinden gelen y = (4x−11)/3 değerini ikinciye yazıp üçle çarptığında 9x+16x−44−81 = 0 elde edilir. Buradan 25x = 125, x = 5 ve y = 3 bulunur. Böylece daha önce kontrol edilen temas noktası sistemli olarak üretilmiş olur. Uzaklık eşitliği teğetliği, iki doğruyu çözmek ise temasın yerini belirlemiştir. Başka bir örnekte x^2+y^2 = 25 çemberi ile y = x+1 doğrusunu kesiştir. Yerine yazınca x^2+(x+1)^2 = 25, yani 2x^2+2x−24 = 0 çıkar. İkiye bölüp çarpanlara ayırırsan x^2+x−12 = (x+4)(x−3) = 0 olur. x = 3 için y = 4, x = −4 için y = −3 bulunur. Noktalar (3,4) ve (−4,−3) çember üzerinde uzaklık karesi yirmi beş verir. Çözümün sonunda yalnız x değerlerini bırakma; analitik kesişim sorusu noktaları istediğinde her köke karşılık gelen y değeri de aynı doğru ilişkisinden hesaplanmalıdır. Doğru iki noktada kesiyorsa bu noktalar bir kirişin uçlarıdır. Merkezden kirişe indirilen dikme kirişi ortalar. Yarıçap beş ve merkezden doğruya uzaklık üç olduğunda yarım kirişin karesi 25−9 = 16, yarısı dört ve tam uzunluğu sekiz olur. Genel ilişki uzunluk = 2√(r^2−d^2) biçimindedir; “yarıçap karesinden uzaklık karesini çıkar, karekökünü al, ikiyle çarp” diye okunur. Aynı merkez M(2,−1) ve yarıçap beş için 3x+4y+c = 0 doğrusu teğet olsun. |6−4+c|/5 = 5 koşulu |c+2| = 25 verir. c = 23 veya c = −27 bulunur; iki değerin çarpımı −621 olur. Mutlak değer iki paralel teğeti üretir, yalnız bir işareti seçmek çözümü eksiltir. Kontrol ve çıkış ödevi: çember var mı, ortak nokta var mı? Genel denklemi kare tamamladıktan sonra sağ tarafı incele. Pozitif bir sayı gerçek yarıçaplı çember verir. Sıfır tek noktaya indirgenir; negatif sayı ise gerçek düzlemde nokta üretmez. Örneğin (x−1)^2+(y+2)^2 = −3 için kareler toplamı negatif olamayacağından gerçek çember yoktur. Ayrıca genel denklemde x^2 ve y^2 katsayıları aynı olmalı ve xy terimi bulunmamalıdır; eşit katsayı sıfırdan farklıysa önce o katsayıya bölerek standart incelemeye geçebilirsin. Her ikinci derece denklem çember değildir. Parametreli bir örnekte x^2+y^2−4x+2y+k = 0 denklemini ele al. Kare tamamlamak (x−2)^2+(y+1)^2 = 5−k verir. Merkez değişmez, fakat sağ taraf parametreye bağlıdır. k beşten küçükken gerçek yarıçaplı çember, beşe eşitken tek nokta, beşten büyükken boş gerçek nokta kümesi elde edilir. Bu nedenle genel denklemdeki sabit terimi doğrudan yarıçapın karesi sayamazsın; kare tamamlamanın eklediği sabitler de hesaba katılır. Parametre değişirken merkezin neden yerinde kaldığını x ve y içeren terimlerden açıklayabilirsin. Yarıçapı değiştiren bilgi, standart biçimdeki sağ taraftır. Böyle bir soruda önce geometrik nesnenin varlık koşulunu bulmak, daha sonra yapılacak kesişim hesabının anlamlı olup olmadığını belirler. Çıkış ödevinde merkezi (−1,2), yarıçapı üç olan çemberin denklemini yaz: (x+1)^2+(y−2)^2 = 9. Sonra x = 2 doğrusunun merkezden uzaklığını bul; uzaklık üç olduğu için temas noktası (2,2) olur. İkinci soruda x^2+y^2+2x−4y−4 = 0 denklemini kare tamamla; aynı çemberi elde etmelisin. Son soruda bu çember üzerinde P(−1,5) noktasının bulunduğunu ve Q(−1,6) noktasının dışarıda kaldığını uzaklık kareleriyle göster: sırasıyla dokuz ve on altı bulunur. Çalışmanı bitirirken merkez işaretlerini, yarıçapın karesini ve her kesişim noktasının iki denklemi birden sağlayıp sağlamadığını denetle. Böylece yalnız şeklin görünüşüne dayanmak yerine her geometrik iddiayı hesapla desteklemiş olursun.

3. Sık sorulanlar

   Sık sorulan sorular. Soru: Çember denklemindeki artı işaretinden merkezin koordinatı nasıl okunur? Cevap: Standart biçim (x−a)^2+(y−b)^2 = r^2 şeklindedir. Bu nedenle y+2 ifadesi y−(−2) demektir ve merkezin y koordinatı −2 olur. İşaret, parantez içindeki çıkarma yapısına göre okunur. Soru: Çap uçlarından yarıçapın karesini hesaplarken neden dörde bölerim? Cevap: Yarıçap çap uzunluğunun yarısıdır. Bu ilişkinin karesini alınca r^2 = çap^2/4 elde edilir. Uzunluğu ikiye bölmek ile uzunluğun karesini ikiye bölmek aynı işlem değildir. Soru: Bir doğrunun çembere teğet olduğunu noktaları çözmeden anlayabilir miyim? Cevap: Evet. Merkezin doğruya uzaklığı yarıçapa eşitse doğru teğettir. Uzaklık daha küçükse iki ortak nokta, daha büyükse hiç ortak nokta yoktur. Temas noktasının koordinatları istenirse ayrıca hesaplanır. Soru: Kare tamamladığım denklemde yarıçapın karesi negatif çıktıysa ne anlama gelir? Cevap: Gerçek düzlemde bu denklemi sağlayan nokta bulunmaz; kareler toplamı negatif olamaz. Sağ taraf sıfırsa tek nokta elde edilir. Pozitif yarıçaplı bir çember için sağ taraf pozitif olmalıdır. Soru: Doğru ve çember kesişiminde x köklerini bulmak neden tek başına yeterli değildir? Cevap: Kesişim bir koordinat çiftidir. Her x kökü için y değeri de doğru denkleminden hesaplanır. Sonra noktanın hem doğruyu hem çemberi sağladığı kontrol edilir; böylece yanlış eşleştirme ve işlem hataları ayıklanır.

4. Bölüm 4

   Şimdi öğrendiğini dene. Kısa testi çöz; her seçenekteki açıklamayla doğru yöntemi pekiştir. Teste başla.