12. Sınıf Matematik: Bileşke Fonksiyonlarda Zincir Kuralı Uygulamaları

Rehberli anlatımda söylenen yönlendirmeler dâhil tam metin. Düşünme araları sessizdir.

1. Giriş

   Konuya başlayalım. Bir ifadenin içinde başka bir ifade bulunduğunda değişim iki aşamadan geçer. Zincir kuralı, bu iç içe yapının türevini hesaplarken iki değişim çarpanını birlikte izlemeyi sağlar. Bu derste yalnız polinomlar, rasyonel ifadeler ve uygun tanım aralıklarında rasyonel kuvvetler kullanılacak. Trigonometrik, logaritmik ya da üstel fonksiyonların türev kuralları bu çalışmanın konusu değildir. Önkoşul olarak kuvvet kuralını, parantezli işlemleri ve fonksiyon bileşkesini hatırla. Amacın yalnız son formülü yazmak değil, her türev çarpanının hangi katmandan geldiğini açıklamak ve bulunan ifadenin hangi girdilerde anlamlı kaldığını kontrol etmektir.

2. Ayrıntılı anlatım

   Önkoşul: iç ve dış işlemi görünür hâle getir. f(x) = F(g(x)) gösterimi “önce g işlemi, sonra F işlemi uygulanır” diye okunur. u = g(x) yazarsan dış işlem F(u) olur. Zincir kuralı f'(x) = F'(g(x))·g'(x) biçimindedir; sözel olarak dış işlemin türevini iç ifade yerinde dururken al, sonra iç ifadenin türeviyle çarp. Buradaki iki çarpan farklı aşamalardan gelir. İç türev unutulursa değişimin yalnız son aşaması hesaba katılmış olur. Kuvvet biçimindeki dış işlem için (u^n)' = n·u^(n−1)·u' yazılır. Bu derste n tam sayı ya da rasyonel sayı olabilir, fakat ifadenin gerçek değerli olduğu ve türevlenebildiği noktalar ayrıca dikkate alınır. Örneğin karekök için kökün içi negatif olamaz; türev ifadesinde kök paydaya geldiğinde sıfır da ayrıca incelenmelidir. Negatif kuvvetler ise iç ifadenin sıfır olmamasını gerektirir. Önce tanım kümesini yazmak, sonradan cebirsel sadeleştirmenin gizleyebileceği yasakları korur. f'(a) gösterimi türev fonksiyonunun a noktasındaki değeridir; f(a) ile aynı şey değildir. f(a) grafikteki yüksekliği, f'(a) o noktadaki değişim oranını verir. Bir türev sorusunda istenenin fonksiyon mu, belirli noktadaki sayı mı olduğunu bu gösterimden ayırabilirsin. İşlenmiş örnek: bir polinomun kuvvetini türevle. f(x) = (3x^2−1)^4 olsun. İç ifade u = 3x^2−1, dış işlem u^4 olur. Dış türev 4u^3, iç türev u' = 6x olduğundan f'(x) = 4(3x^2−1)^3·6x = 24x(3x^2−1)^3 bulunur. İçeriyi açıp sekizinci derece bir polinom yazmak mümkün olsa da gerekli değildir. Katmanları korumak daha az işlemle aynı sonuca ulaştırır. x = 1 için önce iç ifade 3−1 = 2, sonra türev 24·1·2^3 = 192 olur. Fonksiyonun aynı noktadaki değeri ise 2^4 = 16 olup türevden farklıdır. Daha kısa bir karşılaştırmada h(x) = (2x+1)^3 al. Zincir kuralı h'(x) = 3(2x+1)^2·2 = 6(2x+1)^2 verir. Kontrol için başlangıç ifadesini açabilirsin: h(x) = 8x^3+12x^2+6x+1. Terim terim türev 24x^2+24x+6 olur; zincir sonucunu açınca da aynı polinom elde edilir. Bu çift yöntem, iç türevin neden iki çarpanı getirdiğini somut olarak doğrular. Dış üssü yalnızca azaltıp 3(2x+1)^2 yazarsan açılmış polinomun türeviyle uyuşmaz. Kontrolü küçük bir örnekte yapmak, daha büyük kuvvetli sorularda kuralı güvenle kullanmana yardım eder. İkinci örnek: negatif ve rasyonel kuvvette tanım kontrolü. p(x) = 1/(x^2+1)^2 ifadesini (x^2+1)^(−2) olarak yaz. Dış kuvvetin türevi −2(x^2+1)^(−3), iç türev 2x olur. Çarpınca p'(x) = −4x/(x^2+1)^3 bulunur. x^2+1 her gerçek x için pozitif olduğundan bu örnekte payda sıfır olamaz. x = 1 noktasında p'(1) = −4/8 = −1/2 çıkar. Fonksiyonun pozitif olması türevin de pozitif olmasını gerektirmez; negatif türev, o noktadaki azalma eğilimini anlatır. Şimdi q(x) = √(2x+3), yani “iki x artı üçün karekökü” olsun. Kuvvet biçimi (2x+3)^(1/2) verir. Türev q'(x) = (1/2)(2x+3)^(−1/2)·2 = 1/√(2x+3) olur. Fonksiyon x ≥ −3/2 için gerçek değerlidir; yazılan sonlu türev formülü ise x > −3/2 aralığında geçerlidir. x = 3 için kökün içi dokuz, türev 1/3 olur. Bir başka rasyonel kuvvet örneği r(x) = (x^2+4)^(3/2) olsun. İçerisi daima pozitif olduğundan r'(x) = (3/2)(x^2+4)^(1/2)·2x = 3x√(x^2+4) yazılır. Buradan r'(0) = 0 elde edilir. Her üç örnekte de üs kuralı aynıdır; değişen, iç türev ve tanım koşuludur. Transfer: rasyonel iç ifadede iki kuralı birleştir. s(x) = ((x+1)/(x−1))^3 fonksiyonunda dış işlem küp alma, iç işlem ise bir bölümdür. Önce x ≠ 1 koşulunu yaz. u = (x+1)/(x−1) için bölüm kuralı u' = ((x−1)·1−(x+1)·1)/(x−1)^2 verir. Pay x−1−x−1 = −2 olduğundan u' = −2/(x−1)^2 olur. Zincir kuralıyla s'(x) = 3((x+1)/(x−1))^2·(−2/(x−1)^2) = −6(x+1)^2/(x−1)^4 bulunur. x = 2 için sonuç −6·9/1 = −54 olur. Bölüm kuralındaki çıkarma sırası önemlidir: payın türevi çarpı payda, eksi pay çarpı paydanın türevi. Ters sırayla yazmak işareti değiştirir. Parantezleri erken kaldırırsan eksi işaretinin ikinci ifadenin tamamına uygulandığını kaçırabilirsin. Bu örnekte önce iç türevi tek başına bitirmek, ardından dış türevle çarpmak çözümü denetlenebilir kılar. Üç katmanlı bir ifadeyle karşılaşırsan aynı düzeni sürdür: en dış işlemi belirle, kalan iç işlemi ayrıca türevle ve zincirin bütün çarpanlarını bir araya getir. Çarpım ve bölüm kuralları zincir kuralının yerine geçmez; içte veya dışta görülen yapıya göre birlikte kullanılır. Sadeleşmiş türevde bir yasaklı nokta görünmez hâle gelse bile başlangıç fonksiyonunun tanımını geri genişletmemelisin. Üç katmanı açıkça görmek için t(x) = ((x^2+1)^2+3)^2 örneğini kullan. En dıştaki kareyi türevlediğinde iki çarpanı ile büyük parantezin kendisi kalır. Bu büyük parantezin türevinde sabit üçün katkısı sıfırdır; diğer kare ise iki çarpanı, küçük parantezi ve onun türevini üretir. En içte x^2+1 bulunduğu için son çarpan iki x olur. Birleştirilmiş sonuç t'(x) = 8x(x^2+1)((x^2+1)^2+3) biçimindedir. x bir olduğunda küçük parantez iki, büyük parantez yedi olur; türev 8·1·2·7 = 112 çıkar. Katmanları dıştan içe sayarak her birinin türevde iz bıraktığını doğrulayabilirsin. Bazen fonksiyonların açık formülü yerine gerekli değerleri bilirsin. h(x) = f(g(x)), g(2) = 5, f'(5) = −3 ve g'(2) = 4 ise h'(2) = f'(g(2))·g'(2) = −3·4 = −12 olur. Dış türevi iki noktasında değil, iç fonksiyonun ürettiği beş noktasında kullanırsın. Parametreyi ters yönde bulmak için f(x) = (ax+b)^3, b > 0, f(0) = 8 ve f'(0) = 36 verilsin. b^3 = 8 eşitliğinden b = 2; 3ab^2 = 36 eşitliğinden a = 3 çıkar. Son kontrol f(x) = (3x+2)^3 üzerinden yapılır: sıfırda değer sekiz ve türev otuz altıdır. Verilen iki bilgi iki ayrı bilinmeyeni belirler. Çarpım içeren p(x) = x^2(2x+1)^3 ifadesinde önce en dış yapının çarpım olduğunu fark et. Birinci çarpanın türeviyle ikinciyi, sonra birinciyle ikinci çarpanın türevini toplayacaksın. İkinci çarpanın kendi içinde zincir kuralı bulunur. Bu nedenle p'(x) = 2x(2x+1)^3+6x^2(2x+1)^2 elde edilir. x bir için iki terim de elli dört verir ve toplam yüz sekiz olur. Dış yapıyı yanlışlıkla tek bir kuvvet gibi okumak bu toplamı kaybettirir. İşlem seçimini soldan sağa rastgele yapmak yerine, ifadenin en son hangi işlemle oluşturulduğunu sormak güvenilir bir başlangıçtır. Böylece hem çarpımın iki katkısını hem iç türevin ek çarpanını korursun. Kontrol ve çıkış ödevi: kaybolan iç türevi yakala. Kontrol için çözümünü katman adlarıyla yeniden oku. Dıştaki üs aşağı indi mi, bir azaldı mı, iç ifade yerinde korundu mu ve iç türev çarpan olarak eklendi mi? Paydalı bir ifade varsa sıfır yapan girdileri, çift dereceli kök varsa kök içini ayrıca işaretle. İstenen bir noktadaki türevse önce genel türevi bulup sonra noktayı yerleştir. Başlangıçta noktayı yerine koyarak sabit bir sayı elde edip onun türevini sıfır almak, iki farklı işlemin sırasını karıştırmaktır. Çıkış ödevinde f(x) = (x^2−1)^2 için f'(x) = 4x(x^2−1) sonucunu üret. x = 2 noktasında türev 4·2·3 = 24 olmalıdır. İkinci soruda g(x) = 1/(3x+2) için g'(x) = −3/(3x+2)^2 bul; x = 0 değerinde sonuç −3/4 olur ve x = −2/3 tanım dışındadır. Son soruda h(x) = (x^3+2x)^5 ifadesinin türevini parantezleri açmadan yaz: h'(x) = 5(x^3+2x)^4(3x^2+2). Her cevapta iki ayrı türev çarpanını renk ya da alt çizgi kullanmadan sözle adlandırabilmelisin. Bir arkadaşın “iç türev nerede?” diye sorduğunda gösterebildiğin çarpan, yalnız sonucun değil çözüm yapısının da anlaşıldığını gösterir. Yanlışın yalnız katsayıdaysa öncelikle bu çarpanı denetle.

3. Sık sorulanlar

   Sık sorulan sorular. Soru: Zincir kuralını kullanmam gerektiğini nasıl fark ederim? Cevap: Bir işlemin girdisi doğrudan x yerine başka bir fonksiyonsa iç içe yapı vardır. Örneğin (3x^2−1)^4 içinde önce polinom, sonra dördüncü kuvvet işlemi uygulanır. Dış türev, iç ifadenin türeviyle çarpılır. Soru: Türev almadan önce parantezin içini mutlaka açmalı mıyım? Cevap: Hayır. Zincir kuralı parantezli yapıyı koruyarak işlem yapmanı sağlar. Küçük bir kuvveti açmak sonucu kontrol etmeye yarayabilir; büyük kuvvetlerde açmadan çalışmak genellikle daha kısa ve denetlenebilirdir. Soru: Karekök fonksiyonunun tanımlı olduğu her noktada aynı türev formülü kullanılır mı? Cevap: Hayır. Örneğin √(2x+3) fonksiyonu x = −3/2 noktasında tanımlıdır, fakat 1/√(2x+3) türev ifadesinin paydası orada sıfırdır. Bu sonlu türev formülü yalnız x > −3/2 için kullanılır. Soru: İç fonksiyon bir bölümse zincir kuralı yeterli olur mu? Cevap: Zincir kuralı dış ve iç türevlerin nasıl birleşeceğini söyler. İç bölümün türevini bulmak için ayrıca bölüm kuralını uygularsın. Sonra elde ettiğin iç türevi dış türevle çarparsın. Soru: Bir noktayı baştan yerine koyup sonra türev almak neden yanlış sonuç verir? Cevap: Noktayı baştan koymak fonksiyonu tek bir sabit değere indirger ve değişim bilgisini siler. Bir noktadaki türev için önce fonksiyonun değişimini temsil eden türev hesaplanır, sonra o noktanın değeri türev ifadesine yerleştirilir.

4. Bölüm 4

   Şimdi öğrendiğini dene. Kısa testi çöz; her seçenekteki açıklamayla doğru yöntemi pekiştir. Teste başla.