Türev ve Uygulamaları — Kümülatif Bölüm 1–5

𝑓(x)=1/x fonksiyonunun x=1 noktasındaki türevini fark oranıyla bul. İnceleme kaydındaki belirleyici kanıt şudur: [1/(1+ℎ)-1]/ℎ=-1/(1+ℎ); ℎ→0 limiti -1 olduğundan 𝑓′(1)=-1’dir. Karar verirken yalnız anahtar sözcüğü değil; verilen nicelik, işlem, neden-sonuç veya sınır koşulunu Türev tanımı odağıyla birlikte sınamak gerekir.

1. A “[1/(1+ℎ)-1]/ℎ=-1/(1+ℎ); ℎ→0 limiti -1 olduğundan 𝑓′(1)=-1’dir.” kanıtı şu yorumu doğrular: Sabit fonksiyonun fark oranı sabitin kendisine eşittir.
2. B “[1/(1+ℎ)-1]/ℎ=-1/(1+ℎ); ℎ→0 limiti -1 olduğundan 𝑓′(1)=-1’dir.” kanıtı Artma-azalma incelemesi kavramıyla açıklanır: Bir aralıkta 𝑓′(x) büyüktür 0 ise fonksiyon artar, 𝑓′(x) küçüktür 0 ise azalır; kritik noktalar ve uçlar işaret tablosu ile incelenerek yerel ya da kapalı aralık mutlak ekstremumları bulunur.
3. C “[1/(1+ℎ)-1]/ℎ=-1/(1+ℎ); ℎ→0 limiti -1 olduğundan 𝑓′(1)=-1’dir.” kanıtı Teğetin eğimi kavramıyla açıklanır: y=𝑓(x) eğrisine x=𝑎 noktasında çizilen teğetin eğimi 𝑓′(𝑎), teğet denklemi y-𝑓(𝑎)=𝑓′(𝑎)(x-𝑎) biçimindedir; normalin eğimi teğet eğimi sıfır değilse -1/𝑓′(𝑎) olur.
4. D “[1/(1+ℎ)-1]/ℎ=-1/(1+ℎ); ℎ→0 limiti -1 olduğundan 𝑓′(1)=-1’dir.” kanıtı Zincir kuralı kavramıyla açıklanır: Bileşke fonksiyonun türevi dış fonksiyonun iç ifadede türevi ile iç fonksiyonun türevinin çarpımıdır: (𝑓(𝑔(x)))′=𝑓′(𝑔(x))𝑔′(x).
5. E “[1/(1+ℎ)-1]/ℎ=-1/(1+ℎ); ℎ→0 limiti -1 olduğundan 𝑓′(1)=-1’dir.” kanıtı Türev tanımı kavramıyla açıklanır: Bir fonksiyonun 𝑎 noktasındaki türevi, varsa, lim ℎ→0 [𝑓(𝑎+ℎ)-𝑓(𝑎)]/ℎ değeridir; sağ ve sol fark oranlarının aynı sonlu değere yaklaşması gerekir.

𝑓(x)=1/x eğrisine x=1 noktasında çizilen teğetin denklemini bul. İnceleme kaydındaki belirleyici kanıt şudur: 𝑓(1)=1 ve 𝑓′(1)=-1; y-1=-(x-1) eşitliğinden y=-x+2 çıkar. Karar verirken yalnız anahtar sözcüğü değil; verilen nicelik, işlem, neden-sonuç veya sınır koşulunu Teğetin eğimi odağıyla birlikte sınamak gerekir.

1. A “𝑓(1)=1 ve 𝑓′(1)=-1; y-1=-(x-1) eşitliğinden y=-x+2 çıkar.” kanıtı Türev tanımı kavramıyla açıklanır: Bir fonksiyonun 𝑎 noktasındaki türevi, varsa, lim ℎ→0 [𝑓(𝑎+ℎ)-𝑓(𝑎)]/ℎ değeridir; sağ ve sol fark oranlarının aynı sonlu değere yaklaşması gerekir.
2. B “𝑓(1)=1 ve 𝑓′(1)=-1; y-1=-(x-1) eşitliğinden y=-x+2 çıkar.” kanıtı Artma-azalma incelemesi kavramıyla açıklanır: Bir aralıkta 𝑓′(x) büyüktür 0 ise fonksiyon artar, 𝑓′(x) küçüktür 0 ise azalır; kritik noktalar ve uçlar işaret tablosu ile incelenerek yerel ya da kapalı aralık mutlak ekstremumları bulunur.
3. C “𝑓(1)=1 ve 𝑓′(1)=-1; y-1=-(x-1) eşitliğinden y=-x+2 çıkar.” kanıtı Teğetin eğimi kavramıyla açıklanır: y=𝑓(x) eğrisine x=𝑎 noktasında çizilen teğetin eğimi 𝑓′(𝑎), teğet denklemi y-𝑓(𝑎)=𝑓′(𝑎)(x-𝑎) biçimindedir; normalin eğimi teğet eğimi sıfır değilse -1/𝑓′(𝑎) olur.
4. D “𝑓(1)=1 ve 𝑓′(1)=-1; y-1=-(x-1) eşitliğinden y=-x+2 çıkar.” kanıtı Zincir kuralı kavramıyla açıklanır: Bileşke fonksiyonun türevi dış fonksiyonun iç ifadede türevi ile iç fonksiyonun türevinin çarpımıdır: (𝑓(𝑔(x)))′=𝑓′(𝑔(x))𝑔′(x).
5. E “𝑓(1)=1 ve 𝑓′(1)=-1; y-1=-(x-1) eşitliğinden y=-x+2 çıkar.” kanıtı şu yorumu doğrular: Normal doğrunun eğimi teğetin eğiminin aynısıdır.

r(x)=((x+1)^2+2)^3 fonksiyonunda r′(0) değerini hesapla. İnceleme kaydındaki belirleyici kanıt şudur: u=(x+1)^2+2 için u(0)=3 ve u′(0)=2; r′(0)=3u(0)^2*u′(0)=3*9*2=54’tür. Karar verirken yalnız anahtar sözcüğü değil; verilen nicelik, işlem, neden-sonuç veya sınır koşulunu Zincir kuralı odağıyla birlikte sınamak gerekir.

1. A “u=(x+1)^2+2 için u(0)=3 ve u′(0)=2; r′(0)=3u(0)^2*u′(0)=3*9*2=54’tür.” kanıtı Artma-azalma incelemesi kavramıyla açıklanır: Bir aralıkta 𝑓′(x) büyüktür 0 ise fonksiyon artar, 𝑓′(x) küçüktür 0 ise azalır; kritik noktalar ve uçlar işaret tablosu ile incelenerek yerel ya da kapalı aralık mutlak ekstremumları bulunur.
2. B “u=(x+1)^2+2 için u(0)=3 ve u′(0)=2; r′(0)=3u(0)^2*u′(0)=3*9*2=54’tür.” kanıtı Teğetin eğimi kavramıyla açıklanır: y=𝑓(x) eğrisine x=𝑎 noktasında çizilen teğetin eğimi 𝑓′(𝑎), teğet denklemi y-𝑓(𝑎)=𝑓′(𝑎)(x-𝑎) biçimindedir; normalin eğimi teğet eğimi sıfır değilse -1/𝑓′(𝑎) olur.
3. C “u=(x+1)^2+2 için u(0)=3 ve u′(0)=2; r′(0)=3u(0)^2*u′(0)=3*9*2=54’tür.” kanıtı Zincir kuralı kavramıyla açıklanır: Bileşke fonksiyonun türevi dış fonksiyonun iç ifadede türevi ile iç fonksiyonun türevinin çarpımıdır: (𝑓(𝑔(x)))′=𝑓′(𝑔(x))𝑔′(x).
4. D “u=(x+1)^2+2 için u(0)=3 ve u′(0)=2; r′(0)=3u(0)^2*u′(0)=3*9*2=54’tür.” kanıtı şu yorumu doğrular: Negatif kuvvette kuvvet bir azalırken işaret değişmez.
5. E “u=(x+1)^2+2 için u(0)=3 ve u′(0)=2; r′(0)=3u(0)^2*u′(0)=3*9*2=54’tür.” kanıtı Türev tanımı kavramıyla açıklanır: Bir fonksiyonun 𝑎 noktasındaki türevi, varsa, lim ℎ→0 [𝑓(𝑎+ℎ)-𝑓(𝑎)]/ℎ değeridir; sağ ve sol fark oranlarının aynı sonlu değere yaklaşması gerekir.

𝑓(x)=x^2-2x fonksiyonunun [0,3] aralığındaki mutlak en küçük ve en büyük değerlerini bul. İnceleme kaydındaki belirleyici kanıt şudur: 𝑓′(x)=2x-2 ile kritik nokta x=1; 𝑓(0)=0, 𝑓(1)=-1, 𝑓(3)=3. Mutlak minimum -1, mutlak maksimum 3’tür. Karar verirken yalnız anahtar sözcüğü değil; verilen nicelik, işlem, neden-sonuç veya sınır koşulunu Artma-azalma incelemesi odağıyla birlikte sınamak gerekir.

1. A “𝑓′(x)=2x-2 ile kritik nokta x=1; 𝑓(0)=0, 𝑓(1)=-1, 𝑓(3)=3. Mutlak minimum -1, mutlak maksimum 3’tür.” kanıtı Teğetin eğimi kavramıyla açıklanır: y=𝑓(x) eğrisine x=𝑎 noktasında çizilen teğetin eğimi 𝑓′(𝑎), teğet denklemi y-𝑓(𝑎)=𝑓′(𝑎)(x-𝑎) biçimindedir; normalin eğimi teğet eğimi sıfır değilse -1/𝑓′(𝑎) olur.
2. B “𝑓′(x)=2x-2 ile kritik nokta x=1; 𝑓(0)=0, 𝑓(1)=-1, 𝑓(3)=3. Mutlak minimum -1, mutlak maksimum 3’tür.” kanıtı şu yorumu doğrular: 𝑓′ işareti eksiden artıya geçince yerel maksimum oluşur.
3. C “𝑓′(x)=2x-2 ile kritik nokta x=1; 𝑓(0)=0, 𝑓(1)=-1, 𝑓(3)=3. Mutlak minimum -1, mutlak maksimum 3’tür.” kanıtı Türev tanımı kavramıyla açıklanır: Bir fonksiyonun 𝑎 noktasındaki türevi, varsa, lim ℎ→0 [𝑓(𝑎+ℎ)-𝑓(𝑎)]/ℎ değeridir; sağ ve sol fark oranlarının aynı sonlu değere yaklaşması gerekir.
4. D “𝑓′(x)=2x-2 ile kritik nokta x=1; 𝑓(0)=0, 𝑓(1)=-1, 𝑓(3)=3. Mutlak minimum -1, mutlak maksimum 3’tür.” kanıtı Zincir kuralı kavramıyla açıklanır: Bileşke fonksiyonun türevi dış fonksiyonun iç ifadede türevi ile iç fonksiyonun türevinin çarpımıdır: (𝑓(𝑔(x)))′=𝑓′(𝑔(x))𝑔′(x).
5. E “𝑓′(x)=2x-2 ile kritik nokta x=1; 𝑓(0)=0, 𝑓(1)=-1, 𝑓(3)=3. Mutlak minimum -1, mutlak maksimum 3’tür.” kanıtı Artma-azalma incelemesi kavramıyla açıklanır: Bir aralıkta 𝑓′(x) büyüktür 0 ise fonksiyon artar, 𝑓′(x) küçüktür 0 ise azalır; kritik noktalar ve uçlar işaret tablosu ile incelenerek yerel ya da kapalı aralık mutlak ekstremumları bulunur.

𝑓(x)=sqrt(x) fonksiyonunun x=4 noktasındaki fark oranını eşlenikle sadeleştir. İnceleme kaydındaki belirleyici kanıt şudur: [sqrt(4+ℎ)-2]/ℎ=1/[sqrt(4+ℎ)+2]; ℎ→0 iken sonuç 1/4 olur. Karar verirken yalnız anahtar sözcüğü değil; verilen nicelik, işlem, neden-sonuç veya sınır koşulunu Türev tanımı odağıyla birlikte sınamak gerekir.

1. A “[sqrt(4+ℎ)-2]/ℎ=1/[sqrt(4+ℎ)+2]; ℎ→0 iken sonuç 1/4 olur.” kanıtı şu yorumu doğrular: Fark oranı sadeleştirilince ℎ içeren bütün terimler silinmek zorundadır.
2. B “[sqrt(4+ℎ)-2]/ℎ=1/[sqrt(4+ℎ)+2]; ℎ→0 iken sonuç 1/4 olur.” kanıtı Teğetin eğimi kavramıyla açıklanır: y=𝑓(x) eğrisine x=𝑎 noktasında çizilen teğetin eğimi 𝑓′(𝑎), teğet denklemi y-𝑓(𝑎)=𝑓′(𝑎)(x-𝑎) biçimindedir; normalin eğimi teğet eğimi sıfır değilse -1/𝑓′(𝑎) olur.
3. C “[sqrt(4+ℎ)-2]/ℎ=1/[sqrt(4+ℎ)+2]; ℎ→0 iken sonuç 1/4 olur.” kanıtı Zincir kuralı kavramıyla açıklanır: Bileşke fonksiyonun türevi dış fonksiyonun iç ifadede türevi ile iç fonksiyonun türevinin çarpımıdır: (𝑓(𝑔(x)))′=𝑓′(𝑔(x))𝑔′(x).
4. D “[sqrt(4+ℎ)-2]/ℎ=1/[sqrt(4+ℎ)+2]; ℎ→0 iken sonuç 1/4 olur.” kanıtı Türev tanımı kavramıyla açıklanır: Bir fonksiyonun 𝑎 noktasındaki türevi, varsa, lim ℎ→0 [𝑓(𝑎+ℎ)-𝑓(𝑎)]/ℎ değeridir; sağ ve sol fark oranlarının aynı sonlu değere yaklaşması gerekir.
5. E “[sqrt(4+ℎ)-2]/ℎ=1/[sqrt(4+ℎ)+2]; ℎ→0 iken sonuç 1/4 olur.” kanıtı Artma-azalma incelemesi kavramıyla açıklanır: Bir aralıkta 𝑓′(x) büyüktür 0 ise fonksiyon artar, 𝑓′(x) küçüktür 0 ise azalır; kritik noktalar ve uçlar işaret tablosu ile incelenerek yerel ya da kapalı aralık mutlak ekstremumları bulunur.

𝑓(x)=x^2 eğrisinde x=1 noktasındaki normal doğrunun denklemini hesapla. İnceleme kaydındaki belirleyici kanıt şudur: Teğet eğimi 𝑓′(1)=2, normal eğimi -1/2 ve nokta (1,1)’dir; y-1=-(1/2)(x-1) olur. Karar verirken yalnız anahtar sözcüğü değil; verilen nicelik, işlem, neden-sonuç veya sınır koşulunu Teğetin eğimi odağıyla birlikte sınamak gerekir.

1. A “Teğet eğimi 𝑓′(1)=2, normal eğimi -1/2 ve nokta (1,1)’dir; y-1=-(1/2)(x-1) olur.” kanıtı Artma-azalma incelemesi kavramıyla açıklanır: Bir aralıkta 𝑓′(x) büyüktür 0 ise fonksiyon artar, 𝑓′(x) küçüktür 0 ise azalır; kritik noktalar ve uçlar işaret tablosu ile incelenerek yerel ya da kapalı aralık mutlak ekstremumları bulunur.
2. B “Teğet eğimi 𝑓′(1)=2, normal eğimi -1/2 ve nokta (1,1)’dir; y-1=-(1/2)(x-1) olur.” kanıtı şu yorumu doğrular: Anlık hız, konum fonksiyonunun o andaki değeridir.
3. C “Teğet eğimi 𝑓′(1)=2, normal eğimi -1/2 ve nokta (1,1)’dir; y-1=-(1/2)(x-1) olur.” kanıtı Zincir kuralı kavramıyla açıklanır: Bileşke fonksiyonun türevi dış fonksiyonun iç ifadede türevi ile iç fonksiyonun türevinin çarpımıdır: (𝑓(𝑔(x)))′=𝑓′(𝑔(x))𝑔′(x).
4. D “Teğet eğimi 𝑓′(1)=2, normal eğimi -1/2 ve nokta (1,1)’dir; y-1=-(1/2)(x-1) olur.” kanıtı Türev tanımı kavramıyla açıklanır: Bir fonksiyonun 𝑎 noktasındaki türevi, varsa, lim ℎ→0 [𝑓(𝑎+ℎ)-𝑓(𝑎)]/ℎ değeridir; sağ ve sol fark oranlarının aynı sonlu değere yaklaşması gerekir.
5. E “Teğet eğimi 𝑓′(1)=2, normal eğimi -1/2 ve nokta (1,1)’dir; y-1=-(1/2)(x-1) olur.” kanıtı Teğetin eğimi kavramıyla açıklanır: y=𝑓(x) eğrisine x=𝑎 noktasında çizilen teğetin eğimi 𝑓′(𝑎), teğet denklemi y-𝑓(𝑎)=𝑓′(𝑎)(x-𝑎) biçimindedir; normalin eğimi teğet eğimi sıfır değilse -1/𝑓′(𝑎) olur.

𝐹(u)=u^2+1 ve u(x)=2x+3 iken (𝐹(u(x)))′ değerini bulup x=1’de hesapla. İnceleme kaydındaki belirleyici kanıt şudur: Türev 2u(x)*u′(x)=2(2x+3)*2=4(2x+3); x=1 için 20’dir. Karar verirken yalnız anahtar sözcüğü değil; verilen nicelik, işlem, neden-sonuç veya sınır koşulunu Zincir kuralı odağıyla birlikte sınamak gerekir.

1. A “Türev 2u(x)*u′(x)=2(2x+3)*2=4(2x+3); x=1 için 20’dir.” kanıtı şu yorumu doğrular: Bileşke türevinde önce x’𝑒 sayısal değer verip bütün bağımlılıkları sabitlemek güvenlidir.
2. B “Türev 2u(x)*u′(x)=2(2x+3)*2=4(2x+3); x=1 için 20’dir.” kanıtı Teğetin eğimi kavramıyla açıklanır: y=𝑓(x) eğrisine x=𝑎 noktasında çizilen teğetin eğimi 𝑓′(𝑎), teğet denklemi y-𝑓(𝑎)=𝑓′(𝑎)(x-𝑎) biçimindedir; normalin eğimi teğet eğimi sıfır değilse -1/𝑓′(𝑎) olur.
3. C “Türev 2u(x)*u′(x)=2(2x+3)*2=4(2x+3); x=1 için 20’dir.” kanıtı Zincir kuralı kavramıyla açıklanır: Bileşke fonksiyonun türevi dış fonksiyonun iç ifadede türevi ile iç fonksiyonun türevinin çarpımıdır: (𝑓(𝑔(x)))′=𝑓′(𝑔(x))𝑔′(x).
4. D “Türev 2u(x)*u′(x)=2(2x+3)*2=4(2x+3); x=1 için 20’dir.” kanıtı Artma-azalma incelemesi kavramıyla açıklanır: Bir aralıkta 𝑓′(x) büyüktür 0 ise fonksiyon artar, 𝑓′(x) küçüktür 0 ise azalır; kritik noktalar ve uçlar işaret tablosu ile incelenerek yerel ya da kapalı aralık mutlak ekstremumları bulunur.
5. E “Türev 2u(x)*u′(x)=2(2x+3)*2=4(2x+3); x=1 için 20’dir.” kanıtı Türev tanımı kavramıyla açıklanır: Bir fonksiyonun 𝑎 noktasındaki türevi, varsa, lim ℎ→0 [𝑓(𝑎+ℎ)-𝑓(𝑎)]/ℎ değeridir; sağ ve sol fark oranlarının aynı sonlu değere yaklaşması gerekir.

Bir fonksiyon için 𝑓′(x)=(x-1)(x-4) veriliyor; artma ve azalma aralıklarını belirle. İnceleme kaydındaki belirleyici kanıt şudur: Çarpım x küçüktür 1 ve x büyüktür 4 bölgelerinde pozitif, 1 küçüktür x küçüktür 4 bölgesinde negatiftir; fonksiyon dış aralıklarda artar, ortada azalır. Karar verirken yalnız anahtar sözcüğü değil; verilen nicelik, işlem, neden-sonuç veya sınır koşulunu Artma-azalma incelemesi odağıyla birlikte sınamak gerekir.

1. A “Çarpım x küçüktür 1 ve x büyüktür 4 bölgelerinde pozitif, 1 küçüktür x küçüktür 4 bölgesinde negatiftir; fonksiyon dış aralıklarda artar, ortada azalır.” kanıtı Zincir kuralı kavramıyla açıklanır: Bileşke fonksiyonun türevi dış fonksiyonun iç ifadede türevi ile iç fonksiyonun türevinin çarpımıdır: (𝑓(𝑔(x)))′=𝑓′(𝑔(x))𝑔′(x).
2. B “Çarpım x küçüktür 1 ve x büyüktür 4 bölgelerinde pozitif, 1 küçüktür x küçüktür 4 bölgesinde negatiftir; fonksiyon dış aralıklarda artar, ortada azalır.” kanıtı şu yorumu doğrular: En iyileştirme probleminde geometrik tanım aralığına gerek yoktur.
3. C “Çarpım x küçüktür 1 ve x büyüktür 4 bölgelerinde pozitif, 1 küçüktür x küçüktür 4 bölgesinde negatiftir; fonksiyon dış aralıklarda artar, ortada azalır.” kanıtı Teğetin eğimi kavramıyla açıklanır: y=𝑓(x) eğrisine x=𝑎 noktasında çizilen teğetin eğimi 𝑓′(𝑎), teğet denklemi y-𝑓(𝑎)=𝑓′(𝑎)(x-𝑎) biçimindedir; normalin eğimi teğet eğimi sıfır değilse -1/𝑓′(𝑎) olur.
4. D “Çarpım x küçüktür 1 ve x büyüktür 4 bölgelerinde pozitif, 1 küçüktür x küçüktür 4 bölgesinde negatiftir; fonksiyon dış aralıklarda artar, ortada azalır.” kanıtı Türev tanımı kavramıyla açıklanır: Bir fonksiyonun 𝑎 noktasındaki türevi, varsa, lim ℎ→0 [𝑓(𝑎+ℎ)-𝑓(𝑎)]/ℎ değeridir; sağ ve sol fark oranlarının aynı sonlu değere yaklaşması gerekir.
5. E “Çarpım x küçüktür 1 ve x büyüktür 4 bölgelerinde pozitif, 1 küçüktür x küçüktür 4 bölgesinde negatiftir; fonksiyon dış aralıklarda artar, ortada azalır.” kanıtı Artma-azalma incelemesi kavramıyla açıklanır: Bir aralıkta 𝑓′(x) büyüktür 0 ise fonksiyon artar, 𝑓′(x) küçüktür 0 ise azalır; kritik noktalar ve uçlar işaret tablosu ile incelenerek yerel ya da kapalı aralık mutlak ekstremumları bulunur.

𝑓(x)=x^2 (x≤2) ve 𝑓(x)=4x-4 (x büyüktür 2) için x=2’de türevlenebilirliği denetle. İnceleme kaydındaki belirleyici kanıt şudur: İki parça 2’de 4 değerini verir; soldan fark oranı 4+ℎ ile 4’𝑒, sağdan fark oranı tam 4’𝑒 yaklaşır, dolayısıyla 𝑓′(2)=4’tür. Karar verirken yalnız anahtar sözcüğü değil; verilen nicelik, işlem, neden-sonuç veya sınır koşulunu Türev tanımı odağıyla birlikte sınamak gerekir.

1. A “İki parça 2’de 4 değerini verir; soldan fark oranı 4+ℎ ile 4’𝑒, sağdan fark oranı tam 4’𝑒 yaklaşır, dolayısıyla 𝑓′(2)=4’tür.” kanıtı Zincir kuralı kavramıyla açıklanır: Bileşke fonksiyonun türevi dış fonksiyonun iç ifadede türevi ile iç fonksiyonun türevinin çarpımıdır: (𝑓(𝑔(x)))′=𝑓′(𝑔(x))𝑔′(x).
2. B “İki parça 2’de 4 değerini verir; soldan fark oranı 4+ℎ ile 4’𝑒, sağdan fark oranı tam 4’𝑒 yaklaşır, dolayısıyla 𝑓′(2)=4’tür.” kanıtı Artma-azalma incelemesi kavramıyla açıklanır: Bir aralıkta 𝑓′(x) büyüktür 0 ise fonksiyon artar, 𝑓′(x) küçüktür 0 ise azalır; kritik noktalar ve uçlar işaret tablosu ile incelenerek yerel ya da kapalı aralık mutlak ekstremumları bulunur.
3. C “İki parça 2’de 4 değerini verir; soldan fark oranı 4+ℎ ile 4’𝑒, sağdan fark oranı tam 4’𝑒 yaklaşır, dolayısıyla 𝑓′(2)=4’tür.” kanıtı şu yorumu doğrular: Bir noktada fonksiyon değeri tanımlı değilse yalnız limit kullanılarak türev atanabilir.
4. D “İki parça 2’de 4 değerini verir; soldan fark oranı 4+ℎ ile 4’𝑒, sağdan fark oranı tam 4’𝑒 yaklaşır, dolayısıyla 𝑓′(2)=4’tür.” kanıtı Türev tanımı kavramıyla açıklanır: Bir fonksiyonun 𝑎 noktasındaki türevi, varsa, lim ℎ→0 [𝑓(𝑎+ℎ)-𝑓(𝑎)]/ℎ değeridir; sağ ve sol fark oranlarının aynı sonlu değere yaklaşması gerekir.
5. E “İki parça 2’de 4 değerini verir; soldan fark oranı 4+ℎ ile 4’𝑒, sağdan fark oranı tam 4’𝑒 yaklaşır, dolayısıyla 𝑓′(2)=4’tür.” kanıtı Teğetin eğimi kavramıyla açıklanır: y=𝑓(x) eğrisine x=𝑎 noktasında çizilen teğetin eğimi 𝑓′(𝑎), teğet denklemi y-𝑓(𝑎)=𝑓′(𝑎)(x-𝑎) biçimindedir; normalin eğimi teğet eğimi sıfır değilse -1/𝑓′(𝑎) olur.

𝑓(x)=x^3-2x eğrisine x=-1 noktasındaki teğeti bul. İnceleme kaydındaki belirleyici kanıt şudur: 𝑓(-1)=1 ve 𝑓′(-1)=3(-1)^2-2=1; y-1=1(x+1), dolayısıyla y=x+2’dir. Karar verirken yalnız anahtar sözcüğü değil; verilen nicelik, işlem, neden-sonuç veya sınır koşulunu Teğetin eğimi odağıyla birlikte sınamak gerekir.

1. A “𝑓(-1)=1 ve 𝑓′(-1)=3(-1)^2-2=1; y-1=1(x+1), dolayısıyla y=x+2’dir.” kanıtı şu yorumu doğrular: Türev aynı çıktığı sürece teğetin temas noktası denklemde kullanılmaz.
2. B “𝑓(-1)=1 ve 𝑓′(-1)=3(-1)^2-2=1; y-1=1(x+1), dolayısıyla y=x+2’dir.” kanıtı Türev tanımı kavramıyla açıklanır: Bir fonksiyonun 𝑎 noktasındaki türevi, varsa, lim ℎ→0 [𝑓(𝑎+ℎ)-𝑓(𝑎)]/ℎ değeridir; sağ ve sol fark oranlarının aynı sonlu değere yaklaşması gerekir.
3. C “𝑓(-1)=1 ve 𝑓′(-1)=3(-1)^2-2=1; y-1=1(x+1), dolayısıyla y=x+2’dir.” kanıtı Artma-azalma incelemesi kavramıyla açıklanır: Bir aralıkta 𝑓′(x) büyüktür 0 ise fonksiyon artar, 𝑓′(x) küçüktür 0 ise azalır; kritik noktalar ve uçlar işaret tablosu ile incelenerek yerel ya da kapalı aralık mutlak ekstremumları bulunur.
4. D “𝑓(-1)=1 ve 𝑓′(-1)=3(-1)^2-2=1; y-1=1(x+1), dolayısıyla y=x+2’dir.” kanıtı Teğetin eğimi kavramıyla açıklanır: y=𝑓(x) eğrisine x=𝑎 noktasında çizilen teğetin eğimi 𝑓′(𝑎), teğet denklemi y-𝑓(𝑎)=𝑓′(𝑎)(x-𝑎) biçimindedir; normalin eğimi teğet eğimi sıfır değilse -1/𝑓′(𝑎) olur.
5. E “𝑓(-1)=1 ve 𝑓′(-1)=3(-1)^2-2=1; y-1=1(x+1), dolayısıyla y=x+2’dir.” kanıtı Zincir kuralı kavramıyla açıklanır: Bileşke fonksiyonun türevi dış fonksiyonun iç ifadede türevi ile iç fonksiyonun türevinin çarpımıdır: (𝑓(𝑔(x)))′=𝑓′(𝑔(x))𝑔′(x).