Türev ve Uygulamaları

Türev ve Uygulamaları — Bölüm 3–4 Kanıt ve Transfer

Test hakkında 10 soru · 19 dk

12. sınıf Türev ve Uygulamaları için 10 özgün, beş seçenekli sınıf sorusu; her seçenek öğretici gerekçe ve yayımdaki dersin tam bölümüne dönüş bağlantısı taşır. Resmî veya çıkmış sınav sorusu değildir.

10soru
Karmazorluk
19 dktahmini süre
Açıklamalıçözüm biçimi

ÇözNasıl düşündüğünü göster
Analiz etYanlışın nedenini gör
Derse dönEksik bölümü çalış
Yeniden deneÖğrenmeni doğrula

İLERLEME Soru 1 / 10

0 soru yanıtlandı Yanıtların ve ilerlemen kaydedildiğinde bu ziyaretçi oturumunda en fazla 2 saat devam edebilirsin

1 / 10

JavaScript kapalı. Tüm sorular aşağıda birlikte gösteriliyor; seçimlerini yaptıktan sonra formun sonundaki düğmeyle testi gönderebilirsin.

“besinci kuvvet zinciri” inceleme kaydındaki belirleyici kanıtı doğru kavram ve sınırıyla eşleştiren seçenek hangisidir?

𝑓(x)=(2x-1)^5 fonksiyonunun türevini zincir kuralıyla bul. İnceleme kaydındaki belirleyici kanıt şudur: Dış türev 5(2x-1)^4, iç türev 2’dir; 𝑓′(x)=10(2x-1)^4 olur. Karar verirken yalnız anahtar sözcüğü değil; verilen nicelik, işlem, neden-sonuç veya sınır koşulunu Zincir kuralı odağıyla birlikte sınamak gerekir.

“Dış türev 5(2x-1)^4, iç türev 2’dir; 𝑓′(x)=10(2x-1)^4 olur.” kanıtı Türev tanımı kavramıyla açıklanır: Bir fonksiyonun 𝑎 noktasındaki türevi, varsa, lim ℎ→0 [𝑓(𝑎+ℎ)-𝑓(𝑎)]/ℎ değeridir; sağ ve sol fark oranlarının aynı sonlu değere yaklaşması gerekir.
“Dış türev 5(2x-1)^4, iç türev 2’dir; 𝑓′(x)=10(2x-1)^4 olur.” kanıtı Teğetin eğimi kavramıyla açıklanır: y=𝑓(x) eğrisine x=𝑎 noktasında çizilen teğetin eğimi 𝑓′(𝑎), teğet denklemi y-𝑓(𝑎)=𝑓′(𝑎)(x-𝑎) biçimindedir; normalin eğimi teğet eğimi sıfır değilse -1/𝑓′(𝑎) olur.
“Dış türev 5(2x-1)^4, iç türev 2’dir; 𝑓′(x)=10(2x-1)^4 olur.” kanıtı Zincir kuralı kavramıyla açıklanır: Bileşke fonksiyonun türevi dış fonksiyonun iç ifadede türevi ile iç fonksiyonun türevinin çarpımıdır: (𝑓(𝑔(x)))′=𝑓′(𝑔(x))𝑔′(x).
“Dış türev 5(2x-1)^4, iç türev 2’dir; 𝑓′(x)=10(2x-1)^4 olur.” kanıtı Artma-azalma incelemesi kavramıyla açıklanır: Bir aralıkta 𝑓′(x) büyüktür 0 ise fonksiyon artar, 𝑓′(x) küçüktür 0 ise azalır; kritik noktalar ve uçlar işaret tablosu ile incelenerek yerel ya da kapalı aralık mutlak ekstremumları bulunur.
“Dış türev 5(2x-1)^4, iç türev 2’dir; 𝑓′(x)=10(2x-1)^4 olur.” kanıtı şu yorumu doğrular: Bileşke fonksiyon türevinde yalnız dış fonksiyonun türevi alınır.

“parabol artma azalma” inceleme kaydındaki belirleyici kanıtı doğru kavram ve sınırıyla eşleştiren seçenek hangisidir?

𝑓(x)=x^2-4x fonksiyonunun artma-azalma aralıklarını ve en küçük değerini bul. İnceleme kaydındaki belirleyici kanıt şudur: 𝑓′(x)=2x-4; x küçüktür 2 için negatif, x büyüktür 2 için pozitiftir. Fonksiyon (-sonsuz,2)’de azalır, (2,sonsuz)’da artar ve 𝑓(2)=-4 yerel-mutlak minimumdur. Karar verirken yalnız anahtar sözcüğü değil; verilen nicelik, işlem, neden-sonuç veya sınır koşulunu Artma-azalma incelemesi odağıyla birlikte sınamak gerekir.

“𝑓′(x)=2x-4; x küçüktür 2 için negatif, x büyüktür 2 için pozitiftir. Fonksiyon (-sonsuz,2)’de azalır, (2,sonsuz)’da artar ve 𝑓(2)=-4 yerel-mutlak minimumdur.” kanıtı şu yorumu doğrular: 𝑓′(x)=0 olan her nokta kesin yerel maksimumdur.
“𝑓′(x)=2x-4; x küçüktür 2 için negatif, x büyüktür 2 için pozitiftir. Fonksiyon (-sonsuz,2)’de azalır, (2,sonsuz)’da artar ve 𝑓(2)=-4 yerel-mutlak minimumdur.” kanıtı Teğetin eğimi kavramıyla açıklanır: y=𝑓(x) eğrisine x=𝑎 noktasında çizilen teğetin eğimi 𝑓′(𝑎), teğet denklemi y-𝑓(𝑎)=𝑓′(𝑎)(x-𝑎) biçimindedir; normalin eğimi teğet eğimi sıfır değilse -1/𝑓′(𝑎) olur.
“𝑓′(x)=2x-4; x küçüktür 2 için negatif, x büyüktür 2 için pozitiftir. Fonksiyon (-sonsuz,2)’de azalır, (2,sonsuz)’da artar ve 𝑓(2)=-4 yerel-mutlak minimumdur.” kanıtı Zincir kuralı kavramıyla açıklanır: Bileşke fonksiyonun türevi dış fonksiyonun iç ifadede türevi ile iç fonksiyonun türevinin çarpımıdır: (𝑓(𝑔(x)))′=𝑓′(𝑔(x))𝑔′(x).
“𝑓′(x)=2x-4; x küçüktür 2 için negatif, x büyüktür 2 için pozitiftir. Fonksiyon (-sonsuz,2)’de azalır, (2,sonsuz)’da artar ve 𝑓(2)=-4 yerel-mutlak minimumdur.” kanıtı Artma-azalma incelemesi kavramıyla açıklanır: Bir aralıkta 𝑓′(x) büyüktür 0 ise fonksiyon artar, 𝑓′(x) küçüktür 0 ise azalır; kritik noktalar ve uçlar işaret tablosu ile incelenerek yerel ya da kapalı aralık mutlak ekstremumları bulunur.
“𝑓′(x)=2x-4; x küçüktür 2 için negatif, x büyüktür 2 için pozitiftir. Fonksiyon (-sonsuz,2)’de azalır, (2,sonsuz)’da artar ve 𝑓(2)=-4 yerel-mutlak minimumdur.” kanıtı Türev tanımı kavramıyla açıklanır: Bir fonksiyonun 𝑎 noktasındaki türevi, varsa, lim ℎ→0 [𝑓(𝑎+ℎ)-𝑓(𝑎)]/ℎ değeridir; sağ ve sol fark oranlarının aynı sonlu değere yaklaşması gerekir.

“kareli ic fonksiyon” inceleme kaydındaki belirleyici kanıtı doğru kavram ve sınırıyla eşleştiren seçenek hangisidir?

𝑔(x)=(x^2+1)^3 için zincir kuralının bütün çarpanlarıyla 𝑔′(1) değerini hesapla. İnceleme kaydındaki belirleyici kanıt şudur: 𝑔′(x)=3(x^2+1)^2*2x=6x(x^2+1)^2; 𝑔′(1)=6*1*2^2=24’tür. Karar verirken yalnız anahtar sözcüğü değil; verilen nicelik, işlem, neden-sonuç veya sınır koşulunu Zincir kuralı odağıyla birlikte sınamak gerekir.

“𝑔′(x)=3(x^2+1)^2*2x=6x(x^2+1)^2; 𝑔′(1)=6*1*2^2=24’tür.” kanıtı Türev tanımı kavramıyla açıklanır: Bir fonksiyonun 𝑎 noktasındaki türevi, varsa, lim ℎ→0 [𝑓(𝑎+ℎ)-𝑓(𝑎)]/ℎ değeridir; sağ ve sol fark oranlarının aynı sonlu değere yaklaşması gerekir.
“𝑔′(x)=3(x^2+1)^2*2x=6x(x^2+1)^2; 𝑔′(1)=6*1*2^2=24’tür.” kanıtı Artma-azalma incelemesi kavramıyla açıklanır: Bir aralıkta 𝑓′(x) büyüktür 0 ise fonksiyon artar, 𝑓′(x) küçüktür 0 ise azalır; kritik noktalar ve uçlar işaret tablosu ile incelenerek yerel ya da kapalı aralık mutlak ekstremumları bulunur.
“𝑔′(x)=3(x^2+1)^2*2x=6x(x^2+1)^2; 𝑔′(1)=6*1*2^2=24’tür.” kanıtı Zincir kuralı kavramıyla açıklanır: Bileşke fonksiyonun türevi dış fonksiyonun iç ifadede türevi ile iç fonksiyonun türevinin çarpımıdır: (𝑓(𝑔(x)))′=𝑓′(𝑔(x))𝑔′(x).
“𝑔′(x)=3(x^2+1)^2*2x=6x(x^2+1)^2; 𝑔′(1)=6*1*2^2=24’tür.” kanıtı şu yorumu doğrular: (𝑔(x))^n türevi n(𝑔(x))^(n-1) olup 𝑔′(x) gerekmez.
“𝑔′(x)=3(x^2+1)^2*2x=6x(x^2+1)^2; 𝑔′(1)=6*1*2^2=24’tür.” kanıtı Teğetin eğimi kavramıyla açıklanır: y=𝑓(x) eğrisine x=𝑎 noktasında çizilen teğetin eğimi 𝑓′(𝑎), teğet denklemi y-𝑓(𝑎)=𝑓′(𝑎)(x-𝑎) biçimindedir; normalin eğimi teğet eğimi sıfır değilse -1/𝑓′(𝑎) olur.

“kup iki kritik nokta” inceleme kaydındaki belirleyici kanıtı doğru kavram ve sınırıyla eşleştiren seçenek hangisidir?

𝑓(x)=x^3-3x için işaret tablosu kur ve yerel ekstremumları hesapla. İnceleme kaydındaki belirleyici kanıt şudur: 𝑓′(x)=3(x-1)(x+1); artma aralıkları (-sonsuz,-1) ve (1,sonsuz), azalma aralığı (-1,1)’dir. 𝑓(-1)=2 yerel maksimum, 𝑓(1)=-2 yerel minimumdur. Karar verirken yalnız anahtar sözcüğü değil; verilen nicelik, işlem, neden-sonuç veya sınır koşulunu Artma-azalma incelemesi odağıyla birlikte sınamak gerekir.

“𝑓′(x)=3(x-1)(x+1); artma aralıkları (-sonsuz,-1) ve (1,sonsuz), azalma aralığı (-1,1)’dir. 𝑓(-1)=2 yerel maksimum, 𝑓(1)=-2 yerel minimumdur.” kanıtı şu yorumu doğrular: Türev pozitifken fonksiyon ilgili aralıkta azalır.
“𝑓′(x)=3(x-1)(x+1); artma aralıkları (-sonsuz,-1) ve (1,sonsuz), azalma aralığı (-1,1)’dir. 𝑓(-1)=2 yerel maksimum, 𝑓(1)=-2 yerel minimumdur.” kanıtı Teğetin eğimi kavramıyla açıklanır: y=𝑓(x) eğrisine x=𝑎 noktasında çizilen teğetin eğimi 𝑓′(𝑎), teğet denklemi y-𝑓(𝑎)=𝑓′(𝑎)(x-𝑎) biçimindedir; normalin eğimi teğet eğimi sıfır değilse -1/𝑓′(𝑎) olur.
“𝑓′(x)=3(x-1)(x+1); artma aralıkları (-sonsuz,-1) ve (1,sonsuz), azalma aralığı (-1,1)’dir. 𝑓(-1)=2 yerel maksimum, 𝑓(1)=-2 yerel minimumdur.” kanıtı Zincir kuralı kavramıyla açıklanır: Bileşke fonksiyonun türevi dış fonksiyonun iç ifadede türevi ile iç fonksiyonun türevinin çarpımıdır: (𝑓(𝑔(x)))′=𝑓′(𝑔(x))𝑔′(x).
“𝑓′(x)=3(x-1)(x+1); artma aralıkları (-sonsuz,-1) ve (1,sonsuz), azalma aralığı (-1,1)’dir. 𝑓(-1)=2 yerel maksimum, 𝑓(1)=-2 yerel minimumdur.” kanıtı Türev tanımı kavramıyla açıklanır: Bir fonksiyonun 𝑎 noktasındaki türevi, varsa, lim ℎ→0 [𝑓(𝑎+ℎ)-𝑓(𝑎)]/ℎ değeridir; sağ ve sol fark oranlarının aynı sonlu değere yaklaşması gerekir.
“𝑓′(x)=3(x-1)(x+1); artma aralıkları (-sonsuz,-1) ve (1,sonsuz), azalma aralığı (-1,1)’dir. 𝑓(-1)=2 yerel maksimum, 𝑓(1)=-2 yerel minimumdur.” kanıtı Artma-azalma incelemesi kavramıyla açıklanır: Bir aralıkta 𝑓′(x) büyüktür 0 ise fonksiyon artar, 𝑓′(x) küçüktür 0 ise azalır; kritik noktalar ve uçlar işaret tablosu ile incelenerek yerel ya da kapalı aralık mutlak ekstremumları bulunur.

“karekok zinciri” inceleme kaydındaki belirleyici kanıtı doğru kavram ve sınırıyla eşleştiren seçenek hangisidir?

ℎ(x)=sqrt(3x+1) fonksiyonunun ℎ′(1) değerini bul. İnceleme kaydındaki belirleyici kanıt şudur: ℎ′(x)=3/[2sqrt(3x+1)]; x=1 için 3/(2*2)=3/4 elde edilir. Karar verirken yalnız anahtar sözcüğü değil; verilen nicelik, işlem, neden-sonuç veya sınır koşulunu Zincir kuralı odağıyla birlikte sınamak gerekir.

“ℎ′(x)=3/[2sqrt(3x+1)]; x=1 için 3/(2*2)=3/4 elde edilir.” kanıtı şu yorumu doğrular: İç fonksiyon sabit katsayılı doğrusal olsa da iç türev 1 kabul edilir.
“ℎ′(x)=3/[2sqrt(3x+1)]; x=1 için 3/(2*2)=3/4 elde edilir.” kanıtı Zincir kuralı kavramıyla açıklanır: Bileşke fonksiyonun türevi dış fonksiyonun iç ifadede türevi ile iç fonksiyonun türevinin çarpımıdır: (𝑓(𝑔(x)))′=𝑓′(𝑔(x))𝑔′(x).
“ℎ′(x)=3/[2sqrt(3x+1)]; x=1 için 3/(2*2)=3/4 elde edilir.” kanıtı Türev tanımı kavramıyla açıklanır: Bir fonksiyonun 𝑎 noktasındaki türevi, varsa, lim ℎ→0 [𝑓(𝑎+ℎ)-𝑓(𝑎)]/ℎ değeridir; sağ ve sol fark oranlarının aynı sonlu değere yaklaşması gerekir.
“ℎ′(x)=3/[2sqrt(3x+1)]; x=1 için 3/(2*2)=3/4 elde edilir.” kanıtı Teğetin eğimi kavramıyla açıklanır: y=𝑓(x) eğrisine x=𝑎 noktasında çizilen teğetin eğimi 𝑓′(𝑎), teğet denklemi y-𝑓(𝑎)=𝑓′(𝑎)(x-𝑎) biçimindedir; normalin eğimi teğet eğimi sıfır değilse -1/𝑓′(𝑎) olur.
“ℎ′(x)=3/[2sqrt(3x+1)]; x=1 için 3/(2*2)=3/4 elde edilir.” kanıtı Artma-azalma incelemesi kavramıyla açıklanır: Bir aralıkta 𝑓′(x) büyüktür 0 ise fonksiyon artar, 𝑓′(x) küçüktür 0 ise azalır; kritik noktalar ve uçlar işaret tablosu ile incelenerek yerel ya da kapalı aralık mutlak ekstremumları bulunur.

“asagi parabol maksimum” inceleme kaydındaki belirleyici kanıtı doğru kavram ve sınırıyla eşleştiren seçenek hangisidir?

𝑓(x)=-x^2+6x fonksiyonunun maksimumunu türevle bul. İnceleme kaydındaki belirleyici kanıt şudur: 𝑓′(x)=-2x+6 sıfırı x=3’tür; işaret artıdan eksiye geçer ve 𝑓(3)=-9+18=9 maksimum değeridir. Karar verirken yalnız anahtar sözcüğü değil; verilen nicelik, işlem, neden-sonuç veya sınır koşulunu Artma-azalma incelemesi odağıyla birlikte sınamak gerekir.

“𝑓′(x)=-2x+6 sıfırı x=3’tür; işaret artıdan eksiye geçer ve 𝑓(3)=-9+18=9 maksimum değeridir.” kanıtı Teğetin eğimi kavramıyla açıklanır: y=𝑓(x) eğrisine x=𝑎 noktasında çizilen teğetin eğimi 𝑓′(𝑎), teğet denklemi y-𝑓(𝑎)=𝑓′(𝑎)(x-𝑎) biçimindedir; normalin eğimi teğet eğimi sıfır değilse -1/𝑓′(𝑎) olur.
“𝑓′(x)=-2x+6 sıfırı x=3’tür; işaret artıdan eksiye geçer ve 𝑓(3)=-9+18=9 maksimum değeridir.” kanıtı şu yorumu doğrular: Türev bir noktada sıfırsa fonksiyon hiçbir aralıkta sıkı artan olamaz.
“𝑓′(x)=-2x+6 sıfırı x=3’tür; işaret artıdan eksiye geçer ve 𝑓(3)=-9+18=9 maksimum değeridir.” kanıtı Artma-azalma incelemesi kavramıyla açıklanır: Bir aralıkta 𝑓′(x) büyüktür 0 ise fonksiyon artar, 𝑓′(x) küçüktür 0 ise azalır; kritik noktalar ve uçlar işaret tablosu ile incelenerek yerel ya da kapalı aralık mutlak ekstremumları bulunur.
“𝑓′(x)=-2x+6 sıfırı x=3’tür; işaret artıdan eksiye geçer ve 𝑓(3)=-9+18=9 maksimum değeridir.” kanıtı Türev tanımı kavramıyla açıklanır: Bir fonksiyonun 𝑎 noktasındaki türevi, varsa, lim ℎ→0 [𝑓(𝑎+ℎ)-𝑓(𝑎)]/ℎ değeridir; sağ ve sol fark oranlarının aynı sonlu değere yaklaşması gerekir.
“𝑓′(x)=-2x+6 sıfırı x=3’tür; işaret artıdan eksiye geçer ve 𝑓(3)=-9+18=9 maksimum değeridir.” kanıtı Zincir kuralı kavramıyla açıklanır: Bileşke fonksiyonun türevi dış fonksiyonun iç ifadede türevi ile iç fonksiyonun türevinin çarpımıdır: (𝑓(𝑔(x)))′=𝑓′(𝑔(x))𝑔′(x).

“ters kuvvet zinciri” inceleme kaydındaki belirleyici kanıtı doğru kavram ve sınırıyla eşleştiren seçenek hangisidir?

p(x)=1/(3x-2) fonksiyonunun p′(1) değerini hesapla. İnceleme kaydındaki belirleyici kanıt şudur: p(x)=(3x-2)^(-1); p′(x)=-3/(3x-2)^2 ve p′(1)=-3’tür. Karar verirken yalnız anahtar sözcüğü değil; verilen nicelik, işlem, neden-sonuç veya sınır koşulunu Zincir kuralı odağıyla birlikte sınamak gerekir.

“p(x)=(3x-2)^(-1); p′(x)=-3/(3x-2)^2 ve p′(1)=-3’tür.” kanıtı Artma-azalma incelemesi kavramıyla açıklanır: Bir aralıkta 𝑓′(x) büyüktür 0 ise fonksiyon artar, 𝑓′(x) küçüktür 0 ise azalır; kritik noktalar ve uçlar işaret tablosu ile incelenerek yerel ya da kapalı aralık mutlak ekstremumları bulunur.
“p(x)=(3x-2)^(-1); p′(x)=-3/(3x-2)^2 ve p′(1)=-3’tür.” kanıtı Teğetin eğimi kavramıyla açıklanır: y=𝑓(x) eğrisine x=𝑎 noktasında çizilen teğetin eğimi 𝑓′(𝑎), teğet denklemi y-𝑓(𝑎)=𝑓′(𝑎)(x-𝑎) biçimindedir; normalin eğimi teğet eğimi sıfır değilse -1/𝑓′(𝑎) olur.
“p(x)=(3x-2)^(-1); p′(x)=-3/(3x-2)^2 ve p′(1)=-3’tür.” kanıtı şu yorumu doğrular: Karekökün türevi iç ifadeden bağımsız olarak 1/2’dir.
“p(x)=(3x-2)^(-1); p′(x)=-3/(3x-2)^2 ve p′(1)=-3’tür.” kanıtı Türev tanımı kavramıyla açıklanır: Bir fonksiyonun 𝑎 noktasındaki türevi, varsa, lim ℎ→0 [𝑓(𝑎+ℎ)-𝑓(𝑎)]/ℎ değeridir; sağ ve sol fark oranlarının aynı sonlu değere yaklaşması gerekir.
“p(x)=(3x-2)^(-1); p′(x)=-3/(3x-2)^2 ve p′(1)=-3’tür.” kanıtı Zincir kuralı kavramıyla açıklanır: Bileşke fonksiyonun türevi dış fonksiyonun iç ifadede türevi ile iç fonksiyonun türevinin çarpımıdır: (𝑓(𝑔(x)))′=𝑓′(𝑔(x))𝑔′(x).

“kup siki artma” inceleme kaydındaki belirleyici kanıtı doğru kavram ve sınırıyla eşleştiren seçenek hangisidir?

𝑓(x)=x^3 için türev işaretini kullanarak artma davranışını açıkla. İnceleme kaydındaki belirleyici kanıt şudur: 𝑓′(x)=3x^2≥0 ve yalnız x=0’da sıfırdır; x1 küçüktür x2 için x1^3 küçüktür x2^3 olduğundan fonksiyon tüm gerçek sayılarda sıkı artandır. Karar verirken yalnız anahtar sözcüğü değil; verilen nicelik, işlem, neden-sonuç veya sınır koşulunu Artma-azalma incelemesi odağıyla birlikte sınamak gerekir.

“𝑓′(x)=3x^2≥0 ve yalnız x=0’da sıfırdır; x1 küçüktür x2 için x1^3 küçüktür x2^3 olduğundan fonksiyon tüm gerçek sayılarda sıkı artandır.” kanıtı Zincir kuralı kavramıyla açıklanır: Bileşke fonksiyonun türevi dış fonksiyonun iç ifadede türevi ile iç fonksiyonun türevinin çarpımıdır: (𝑓(𝑔(x)))′=𝑓′(𝑔(x))𝑔′(x).
“𝑓′(x)=3x^2≥0 ve yalnız x=0’da sıfırdır; x1 küçüktür x2 için x1^3 küçüktür x2^3 olduğundan fonksiyon tüm gerçek sayılarda sıkı artandır.” kanıtı şu yorumu doğrular: Kapalı aralıkta en büyük ve en küçük değer için yalnız kritik noktalar hesaplanır.
“𝑓′(x)=3x^2≥0 ve yalnız x=0’da sıfırdır; x1 küçüktür x2 için x1^3 küçüktür x2^3 olduğundan fonksiyon tüm gerçek sayılarda sıkı artandır.” kanıtı Artma-azalma incelemesi kavramıyla açıklanır: Bir aralıkta 𝑓′(x) büyüktür 0 ise fonksiyon artar, 𝑓′(x) küçüktür 0 ise azalır; kritik noktalar ve uçlar işaret tablosu ile incelenerek yerel ya da kapalı aralık mutlak ekstremumları bulunur.
“𝑓′(x)=3x^2≥0 ve yalnız x=0’da sıfırdır; x1 küçüktür x2 için x1^3 küçüktür x2^3 olduğundan fonksiyon tüm gerçek sayılarda sıkı artandır.” kanıtı Türev tanımı kavramıyla açıklanır: Bir fonksiyonun 𝑎 noktasındaki türevi, varsa, lim ℎ→0 [𝑓(𝑎+ℎ)-𝑓(𝑎)]/ℎ değeridir; sağ ve sol fark oranlarının aynı sonlu değere yaklaşması gerekir.
“𝑓′(x)=3x^2≥0 ve yalnız x=0’da sıfırdır; x1 küçüktür x2 için x1^3 küçüktür x2^3 olduğundan fonksiyon tüm gerçek sayılarda sıkı artandır.” kanıtı Teğetin eğimi kavramıyla açıklanır: y=𝑓(x) eğrisine x=𝑎 noktasında çizilen teğetin eğimi 𝑓′(𝑎), teğet denklemi y-𝑓(𝑎)=𝑓′(𝑎)(x-𝑎) biçimindedir; normalin eğimi teğet eğimi sıfır değilse -1/𝑓′(𝑎) olur.

“kup icli dorduncu kuvvet” inceleme kaydındaki belirleyici kanıtı doğru kavram ve sınırıyla eşleştiren seçenek hangisidir?

q(x)=(x^3-1)^4 fonksiyonunun türevini çarpanları açık yazarak bul. İnceleme kaydındaki belirleyici kanıt şudur: Dış ve iç türevler çarpılır: q′(x)=4(x^3-1)^3*3x^2=12x^2(x^3-1)^3’tür. Karar verirken yalnız anahtar sözcüğü değil; verilen nicelik, işlem, neden-sonuç veya sınır koşulunu Zincir kuralı odağıyla birlikte sınamak gerekir.

“Dış ve iç türevler çarpılır: q′(x)=4(x^3-1)^3*3x^2=12x^2(x^3-1)^3’tür.” kanıtı Teğetin eğimi kavramıyla açıklanır: y=𝑓(x) eğrisine x=𝑎 noktasında çizilen teğetin eğimi 𝑓′(𝑎), teğet denklemi y-𝑓(𝑎)=𝑓′(𝑎)(x-𝑎) biçimindedir; normalin eğimi teğet eğimi sıfır değilse -1/𝑓′(𝑎) olur.
“Dış ve iç türevler çarpılır: q′(x)=4(x^3-1)^3*3x^2=12x^2(x^3-1)^3’tür.” kanıtı Artma-azalma incelemesi kavramıyla açıklanır: Bir aralıkta 𝑓′(x) büyüktür 0 ise fonksiyon artar, 𝑓′(x) küçüktür 0 ise azalır; kritik noktalar ve uçlar işaret tablosu ile incelenerek yerel ya da kapalı aralık mutlak ekstremumları bulunur.
“Dış ve iç türevler çarpılır: q′(x)=4(x^3-1)^3*3x^2=12x^2(x^3-1)^3’tür.” kanıtı Zincir kuralı kavramıyla açıklanır: Bileşke fonksiyonun türevi dış fonksiyonun iç ifadede türevi ile iç fonksiyonun türevinin çarpımıdır: (𝑓(𝑔(x)))′=𝑓′(𝑔(x))𝑔′(x).
“Dış ve iç türevler çarpılır: q′(x)=4(x^3-1)^3*3x^2=12x^2(x^3-1)^3’tür.” kanıtı Türev tanımı kavramıyla açıklanır: Bir fonksiyonun 𝑎 noktasındaki türevi, varsa, lim ℎ→0 [𝑓(𝑎+ℎ)-𝑓(𝑎)]/ℎ değeridir; sağ ve sol fark oranlarının aynı sonlu değere yaklaşması gerekir.
“Dış ve iç türevler çarpılır: q′(x)=4(x^3-1)^3*3x^2=12x^2(x^3-1)^3’tür.” kanıtı şu yorumu doğrular: İç içe üç katmanda yalnız en dış ve en iç türevler çarpılır.

“dikdortgen alan optimizasyonu” inceleme kaydındaki belirleyici kanıtı doğru kavram ve sınırıyla eşleştiren seçenek hangisidir?

Çevresi 20 olan dikdörtgende bir kenar x ise en büyük alanı bul. İnceleme kaydındaki belirleyici kanıt şudur: Diğer kenar 10-x ve 0 küçüktür x küçüktür 10; 𝐴=x(10-x), 𝐴′=10-2x=0 için x=5. İşaret artıdan eksiye döner ve en büyük alan 5*5=25’tir. Karar verirken yalnız anahtar sözcüğü değil; verilen nicelik, işlem, neden-sonuç veya sınır koşulunu Artma-azalma incelemesi odağıyla birlikte sınamak gerekir.

“Diğer kenar 10-x ve 0 küçüktür x küçüktür 10; 𝐴=x(10-x), 𝐴′=10-2x=0 için x=5. İşaret artıdan eksiye döner ve en büyük alan 5*5=25’tir.” kanıtı Artma-azalma incelemesi kavramıyla açıklanır: Bir aralıkta 𝑓′(x) büyüktür 0 ise fonksiyon artar, 𝑓′(x) küçüktür 0 ise azalır; kritik noktalar ve uçlar işaret tablosu ile incelenerek yerel ya da kapalı aralık mutlak ekstremumları bulunur.
“Diğer kenar 10-x ve 0 küçüktür x küçüktür 10; 𝐴=x(10-x), 𝐴′=10-2x=0 için x=5. İşaret artıdan eksiye döner ve en büyük alan 5*5=25’tir.” kanıtı şu yorumu doğrular: 𝑓′ işareti artıdan eksiye geçince yerel minimum oluşur.
“Diğer kenar 10-x ve 0 küçüktür x küçüktür 10; 𝐴=x(10-x), 𝐴′=10-2x=0 için x=5. İşaret artıdan eksiye döner ve en büyük alan 5*5=25’tir.” kanıtı Teğetin eğimi kavramıyla açıklanır: y=𝑓(x) eğrisine x=𝑎 noktasında çizilen teğetin eğimi 𝑓′(𝑎), teğet denklemi y-𝑓(𝑎)=𝑓′(𝑎)(x-𝑎) biçimindedir; normalin eğimi teğet eğimi sıfır değilse -1/𝑓′(𝑎) olur.
“Diğer kenar 10-x ve 0 küçüktür x küçüktür 10; 𝐴=x(10-x), 𝐴′=10-2x=0 için x=5. İşaret artıdan eksiye döner ve en büyük alan 5*5=25’tir.” kanıtı Türev tanımı kavramıyla açıklanır: Bir fonksiyonun 𝑎 noktasındaki türevi, varsa, lim ℎ→0 [𝑓(𝑎+ℎ)-𝑓(𝑎)]/ℎ değeridir; sağ ve sol fark oranlarının aynı sonlu değere yaklaşması gerekir.
“Diğer kenar 10-x ve 0 küçüktür x küçüktür 10; 𝐴=x(10-x), 𝐴′=10-2x=0 için x=5. İşaret artıdan eksiye döner ve en büyük alan 5*5=25’tir.” kanıtı Zincir kuralı kavramıyla açıklanır: Bileşke fonksiyonun türevi dış fonksiyonun iç ifadede türevi ile iç fonksiyonun türevinin çarpımıdır: (𝑓(𝑔(x)))′=𝑓′(𝑔(x))𝑔′(x).