Limit ve Süreklilik — Kümülatif Bölüm 1–5

x değerleri 1.9,1.99 ve 2.01,2.1 iken 𝑓 değerleri sırasıyla 4.8,4.98 ve 5.02,5.2 veriliyor. İnceleme kaydındaki belirleyici kanıt şudur: Sol değerler ve sağ değerler x=2’de ortak 5 değerine yaklaşır; tablo iki yönlü limitin 5 olduğunu destekler. Karar verirken yalnız anahtar sözcüğü değil; verilen nicelik, işlem, neden-sonuç veya sınır koşulunu İki yönlü limit odağıyla birlikte sınamak gerekir.

1. A “Sol değerler ve sağ değerler x=2’de ortak 5 değerine yaklaşır; tablo iki yönlü limitin 5 olduğunu destekler.” kanıtı Limit ile fonksiyon değeri kavramıyla açıklanır: Bir noktadaki limit çevredeki değerlerle, 𝑓(𝑎) ise tek noktadaki tanımla belirlenir; limit var olduğu hâlde 𝑓(𝑎) farklı veya tanımsız olabilir.
2. B “Sol değerler ve sağ değerler x=2’de ortak 5 değerine yaklaşır; tablo iki yönlü limitin 5 olduğunu destekler.” kanıtı Noktada süreklilik kavramıyla açıklanır: 𝑓 fonksiyonunun 𝑎 noktasında sürekli olması için 𝑓(𝑎) tanımlı, iki yönlü limit var ve limit 𝑓(𝑎)’ya eşit olmalıdır.
3. C “Sol değerler ve sağ değerler x=2’de ortak 5 değerine yaklaşır; tablo iki yönlü limitin 5 olduğunu destekler.” kanıtı Belirsizliği giderme kavramıyla açıklanır: Doğrudan yerine koymada 0/0 biçimi sonucun olmadığı anlamına gelmez; pay ve payda çarpanlara ayrılıp ortak çarpan x farklı 𝑎 için sadeleştirilerek limit bulunabilir.
4. D “Sol değerler ve sağ değerler x=2’de ortak 5 değerine yaklaşır; tablo iki yönlü limitin 5 olduğunu destekler.” kanıtı şu yorumu doğrular: Mutlak değerli ifadelerde x-𝑎 işareti iki tarafta da aynıdır.
5. E “Sol değerler ve sağ değerler x=2’de ortak 5 değerine yaklaşır; tablo iki yönlü limitin 5 olduğunu destekler.” kanıtı İki yönlü limit kavramıyla açıklanır: Bir fonksiyonun x=𝑎 noktasındaki iki yönlü limitinin var olması için soldan ve sağdan limitlerin var ve birbirine eşit olması gerekir.

x -1’𝑒 yaklaşırken (x^2+3x+2)/(x+1) limitini bul. İnceleme kaydındaki belirleyici kanıt şudur: Pay (x+1)(x+2); x farklı -1 için x+2 kalır ve limit 1’dir. Karar verirken yalnız anahtar sözcüğü değil; verilen nicelik, işlem, neden-sonuç veya sınır koşulunu Belirsizliği giderme odağıyla birlikte sınamak gerekir.

1. A “Pay (x+1)(x+2); x farklı -1 için x+2 kalır ve limit 1’dir.” kanıtı Belirsizliği giderme kavramıyla açıklanır: Doğrudan yerine koymada 0/0 biçimi sonucun olmadığı anlamına gelmez; pay ve payda çarpanlara ayrılıp ortak çarpan x farklı 𝑎 için sadeleştirilerek limit bulunabilir.
2. B “Pay (x+1)(x+2); x farklı -1 için x+2 kalır ve limit 1’dir.” kanıtı Limit ile fonksiyon değeri kavramıyla açıklanır: Bir noktadaki limit çevredeki değerlerle, 𝑓(𝑎) ise tek noktadaki tanımla belirlenir; limit var olduğu hâlde 𝑓(𝑎) farklı veya tanımsız olabilir.
3. C “Pay (x+1)(x+2); x farklı -1 için x+2 kalır ve limit 1’dir.” kanıtı şu yorumu doğrular: Küp farkında x^3-𝑎^3 yalnız (x-𝑎)(x^2+𝑎^2) olur.
4. D “Pay (x+1)(x+2); x farklı -1 için x+2 kalır ve limit 1’dir.” kanıtı İki yönlü limit kavramıyla açıklanır: Bir fonksiyonun x=𝑎 noktasındaki iki yönlü limitinin var olması için soldan ve sağdan limitlerin var ve birbirine eşit olması gerekir.
5. E “Pay (x+1)(x+2); x farklı -1 için x+2 kalır ve limit 1’dir.” kanıtı Noktada süreklilik kavramıyla açıklanır: 𝑓 fonksiyonunun 𝑎 noktasında sürekli olması için 𝑓(𝑎) tanımlı, iki yönlü limit var ve limit 𝑓(𝑎)’ya eşit olmalıdır.

𝑓(x)=|x-2| fonksiyonunu x=2’de süreklilik açısından denetle. İnceleme kaydındaki belirleyici kanıt şudur: Soldan ve sağdan limit 0, 𝑓(2)=0; üç koşul sağlanır, köşe sürekliliği bozmaz. Karar verirken yalnız anahtar sözcüğü değil; verilen nicelik, işlem, neden-sonuç veya sınır koşulunu Noktada süreklilik odağıyla birlikte sınamak gerekir.

1. A “Soldan ve sağdan limit 0, 𝑓(2)=0; üç koşul sağlanır, köşe sürekliliği bozmaz.” kanıtı şu yorumu doğrular: Polinom fonksiyonlar yalnız sıfırda süreklidir.
2. B “Soldan ve sağdan limit 0, 𝑓(2)=0; üç koşul sağlanır, köşe sürekliliği bozmaz.” kanıtı İki yönlü limit kavramıyla açıklanır: Bir fonksiyonun x=𝑎 noktasındaki iki yönlü limitinin var olması için soldan ve sağdan limitlerin var ve birbirine eşit olması gerekir.
3. C “Soldan ve sağdan limit 0, 𝑓(2)=0; üç koşul sağlanır, köşe sürekliliği bozmaz.” kanıtı Belirsizliği giderme kavramıyla açıklanır: Doğrudan yerine koymada 0/0 biçimi sonucun olmadığı anlamına gelmez; pay ve payda çarpanlara ayrılıp ortak çarpan x farklı 𝑎 için sadeleştirilerek limit bulunabilir.
4. D “Soldan ve sağdan limit 0, 𝑓(2)=0; üç koşul sağlanır, köşe sürekliliği bozmaz.” kanıtı Limit ile fonksiyon değeri kavramıyla açıklanır: Bir noktadaki limit çevredeki değerlerle, 𝑓(𝑎) ise tek noktadaki tanımla belirlenir; limit var olduğu hâlde 𝑓(𝑎) farklı veya tanımsız olabilir.
5. E “Soldan ve sağdan limit 0, 𝑓(2)=0; üç koşul sağlanır, köşe sürekliliği bozmaz.” kanıtı Noktada süreklilik kavramıyla açıklanır: 𝑓 fonksiyonunun 𝑎 noktasında sürekli olması için 𝑓(𝑎) tanımlı, iki yönlü limit var ve limit 𝑓(𝑎)’ya eşit olmalıdır.

Bir grafikte x=3 çevresindeki eğri y=2’ye yaklaşırken dolu nokta (3,5) olarak verilmiş. İnceleme kaydındaki belirleyici kanıt şudur: Grafikten limit 2, fonksiyon değeri 5 okunur; eşit olmadıkları için süreksizlik vardır. Karar verirken yalnız anahtar sözcüğü değil; verilen nicelik, işlem, neden-sonuç veya sınır koşulunu Limit ile fonksiyon değeri odağıyla birlikte sınamak gerekir.

1. A “Grafikten limit 2, fonksiyon değeri 5 okunur; eşit olmadıkları için süreksizlik vardır.” kanıtı Noktada süreklilik kavramıyla açıklanır: 𝑓 fonksiyonunun 𝑎 noktasında sürekli olması için 𝑓(𝑎) tanımlı, iki yönlü limit var ve limit 𝑓(𝑎)’ya eşit olmalıdır.
2. B “Grafikten limit 2, fonksiyon değeri 5 okunur; eşit olmadıkları için süreksizlik vardır.” kanıtı Limit ile fonksiyon değeri kavramıyla açıklanır: Bir noktadaki limit çevredeki değerlerle, 𝑓(𝑎) ise tek noktadaki tanımla belirlenir; limit var olduğu hâlde 𝑓(𝑎) farklı veya tanımsız olabilir.
3. C “Grafikten limit 2, fonksiyon değeri 5 okunur; eşit olmadıkları için süreksizlik vardır.” kanıtı şu yorumu doğrular: Limit ve değer farklıysa fonksiyon hiçbir değer seçilerek sürekli yapılamaz.
4. D “Grafikten limit 2, fonksiyon değeri 5 okunur; eşit olmadıkları için süreksizlik vardır.” kanıtı İki yönlü limit kavramıyla açıklanır: Bir fonksiyonun x=𝑎 noktasındaki iki yönlü limitinin var olması için soldan ve sağdan limitlerin var ve birbirine eşit olması gerekir.
5. E “Grafikten limit 2, fonksiyon değeri 5 okunur; eşit olmadıkları için süreksizlik vardır.” kanıtı Belirsizliği giderme kavramıyla açıklanır: Doğrudan yerine koymada 0/0 biçimi sonucun olmadığı anlamına gelmez; pay ve payda çarpanlara ayrılıp ortak çarpan x farklı 𝑎 için sadeleştirilerek limit bulunabilir.

𝑓(x)=x+3 (x küçüktür 2), 𝑓(x)=x^2+1 (x büyüktür 2) için limiti belirle. İnceleme kaydındaki belirleyici kanıt şudur: Soldan 2+3=5, sağdan 2^2+1=5; iki yönlü limit 5’tir. Karar verirken yalnız anahtar sözcüğü değil; verilen nicelik, işlem, neden-sonuç veya sınır koşulunu İki yönlü limit odağıyla birlikte sınamak gerekir.

1. A “Soldan 2+3=5, sağdan 2^2+1=5; iki yönlü limit 5’tir.” kanıtı Noktada süreklilik kavramıyla açıklanır: 𝑓 fonksiyonunun 𝑎 noktasında sürekli olması için 𝑓(𝑎) tanımlı, iki yönlü limit var ve limit 𝑓(𝑎)’ya eşit olmalıdır.
2. B “Soldan 2+3=5, sağdan 2^2+1=5; iki yönlü limit 5’tir.” kanıtı İki yönlü limit kavramıyla açıklanır: Bir fonksiyonun x=𝑎 noktasındaki iki yönlü limitinin var olması için soldan ve sağdan limitlerin var ve birbirine eşit olması gerekir.
3. C “Soldan 2+3=5, sağdan 2^2+1=5; iki yönlü limit 5’tir.” kanıtı Limit ile fonksiyon değeri kavramıyla açıklanır: Bir noktadaki limit çevredeki değerlerle, 𝑓(𝑎) ise tek noktadaki tanımla belirlenir; limit var olduğu hâlde 𝑓(𝑎) farklı veya tanımsız olabilir.
4. D “Soldan 2+3=5, sağdan 2^2+1=5; iki yönlü limit 5’tir.” kanıtı Belirsizliği giderme kavramıyla açıklanır: Doğrudan yerine koymada 0/0 biçimi sonucun olmadığı anlamına gelmez; pay ve payda çarpanlara ayrılıp ortak çarpan x farklı 𝑎 için sadeleştirilerek limit bulunabilir.
5. E “Soldan 2+3=5, sağdan 2^2+1=5; iki yönlü limit 5’tir.” kanıtı şu yorumu doğrular: Sağdan limit x değerlerinin 𝑎’dan küçük seçilmesiyle bulunur.

x 1’𝑒 yaklaşırken (x^2-1)/(x^2+x-2) limitini hesapla. İnceleme kaydındaki belirleyici kanıt şudur: Pay (x-1)(x+1), payda (x-1)(x+2); sadeleşen oran (x+1)/(x+2) ve limit 2/3’tür. Karar verirken yalnız anahtar sözcüğü değil; verilen nicelik, işlem, neden-sonuç veya sınır koşulunu Belirsizliği giderme odağıyla birlikte sınamak gerekir.

1. A “Pay (x-1)(x+1), payda (x-1)(x+2); sadeleşen oran (x+1)/(x+2) ve limit 2/3’tür.” kanıtı İki yönlü limit kavramıyla açıklanır: Bir fonksiyonun x=𝑎 noktasındaki iki yönlü limitinin var olması için soldan ve sağdan limitlerin var ve birbirine eşit olması gerekir.
2. B “Pay (x-1)(x+1), payda (x-1)(x+2); sadeleşen oran (x+1)/(x+2) ve limit 2/3’tür.” kanıtı şu yorumu doğrular: Sadeleştirmeden sonra kalan payda 𝑎’da sıfırsa yine doğrudan bölüm yapılabilir.
3. C “Pay (x-1)(x+1), payda (x-1)(x+2); sadeleşen oran (x+1)/(x+2) ve limit 2/3’tür.” kanıtı Belirsizliği giderme kavramıyla açıklanır: Doğrudan yerine koymada 0/0 biçimi sonucun olmadığı anlamına gelmez; pay ve payda çarpanlara ayrılıp ortak çarpan x farklı 𝑎 için sadeleştirilerek limit bulunabilir.
4. D “Pay (x-1)(x+1), payda (x-1)(x+2); sadeleşen oran (x+1)/(x+2) ve limit 2/3’tür.” kanıtı Noktada süreklilik kavramıyla açıklanır: 𝑓 fonksiyonunun 𝑎 noktasında sürekli olması için 𝑓(𝑎) tanımlı, iki yönlü limit var ve limit 𝑓(𝑎)’ya eşit olmalıdır.
5. E “Pay (x-1)(x+1), payda (x-1)(x+2); sadeleşen oran (x+1)/(x+2) ve limit 2/3’tür.” kanıtı Limit ile fonksiyon değeri kavramıyla açıklanır: Bir noktadaki limit çevredeki değerlerle, 𝑓(𝑎) ise tek noktadaki tanımla belirlenir; limit var olduğu hâlde 𝑓(𝑎) farklı veya tanımsız olabilir.

𝑓(x)=sqrt(x+4) fonksiyonunun x=5 noktasındaki sürekliliğini denetle. İnceleme kaydındaki belirleyici kanıt şudur: İç değer 5+4=9 tanım kümesindedir; limit ve değer sqrt(9)=3 olduğundan süreklidir. Karar verirken yalnız anahtar sözcüğü değil; verilen nicelik, işlem, neden-sonuç veya sınır koşulunu Noktada süreklilik odağıyla birlikte sınamak gerekir.

1. A “İç değer 5+4=9 tanım kümesindedir; limit ve değer sqrt(9)=3 olduğundan süreklidir.” kanıtı Belirsizliği giderme kavramıyla açıklanır: Doğrudan yerine koymada 0/0 biçimi sonucun olmadığı anlamına gelmez; pay ve payda çarpanlara ayrılıp ortak çarpan x farklı 𝑎 için sadeleştirilerek limit bulunabilir.
2. B “İç değer 5+4=9 tanım kümesindedir; limit ve değer sqrt(9)=3 olduğundan süreklidir.” kanıtı İki yönlü limit kavramıyla açıklanır: Bir fonksiyonun x=𝑎 noktasındaki iki yönlü limitinin var olması için soldan ve sağdan limitlerin var ve birbirine eşit olması gerekir.
3. C “İç değer 5+4=9 tanım kümesindedir; limit ve değer sqrt(9)=3 olduğundan süreklidir.” kanıtı Limit ile fonksiyon değeri kavramıyla açıklanır: Bir noktadaki limit çevredeki değerlerle, 𝑓(𝑎) ise tek noktadaki tanımla belirlenir; limit var olduğu hâlde 𝑓(𝑎) farklı veya tanımsız olabilir.
4. D “İç değer 5+4=9 tanım kümesindedir; limit ve değer sqrt(9)=3 olduğundan süreklidir.” kanıtı Noktada süreklilik kavramıyla açıklanır: 𝑓 fonksiyonunun 𝑎 noktasında sürekli olması için 𝑓(𝑎) tanımlı, iki yönlü limit var ve limit 𝑓(𝑎)’ya eşit olmalıdır.
5. E “İç değer 5+4=9 tanım kümesindedir; limit ve değer sqrt(9)=3 olduğundan süreklidir.” kanıtı şu yorumu doğrular: Mutlak değer fonksiyonu köşeli olduğu için köşe noktasında süreksizdir.

𝑓(x)=(x^2-16)/(x-4), x farklı 4 ve 𝑓(4)=k için k’yı belirle. İnceleme kaydındaki belirleyici kanıt şudur: Sadeleşen x+4 ifadesinin limiti 8’dir; k=8 seçilirse fonksiyon sürekli olur. Karar verirken yalnız anahtar sözcüğü değil; verilen nicelik, işlem, neden-sonuç veya sınır koşulunu Limit ile fonksiyon değeri odağıyla birlikte sınamak gerekir.

1. A “Sadeleşen x+4 ifadesinin limiti 8’dir; k=8 seçilirse fonksiyon sürekli olur.” kanıtı Limit ile fonksiyon değeri kavramıyla açıklanır: Bir noktadaki limit çevredeki değerlerle, 𝑓(𝑎) ise tek noktadaki tanımla belirlenir; limit var olduğu hâlde 𝑓(𝑎) farklı veya tanımsız olabilir.
2. B “Sadeleşen x+4 ifadesinin limiti 8’dir; k=8 seçilirse fonksiyon sürekli olur.” kanıtı Noktada süreklilik kavramıyla açıklanır: 𝑓 fonksiyonunun 𝑎 noktasında sürekli olması için 𝑓(𝑎) tanımlı, iki yönlü limit var ve limit 𝑓(𝑎)’ya eşit olmalıdır.
3. C “Sadeleşen x+4 ifadesinin limiti 8’dir; k=8 seçilirse fonksiyon sürekli olur.” kanıtı İki yönlü limit kavramıyla açıklanır: Bir fonksiyonun x=𝑎 noktasındaki iki yönlü limitinin var olması için soldan ve sağdan limitlerin var ve birbirine eşit olması gerekir.
4. D “Sadeleşen x+4 ifadesinin limiti 8’dir; k=8 seçilirse fonksiyon sürekli olur.” kanıtı şu yorumu doğrular: Bir noktada fonksiyon değeri yoksa o noktanın çevresindeki cebirsel ifade de kullanılamaz.
5. E “Sadeleşen x+4 ifadesinin limiti 8’dir; k=8 seçilirse fonksiyon sürekli olur.” kanıtı Belirsizliği giderme kavramıyla açıklanır: Doğrudan yerine koymada 0/0 biçimi sonucun olmadığı anlamına gelmez; pay ve payda çarpanlara ayrılıp ortak çarpan x farklı 𝑎 için sadeleştirilerek limit bulunabilir.

𝑓(x)=3x-1, x farklı 4; 𝑓(4)=100 olarak tanımlansın. x 4’𝑒 yaklaşırken limiti bul. İnceleme kaydındaki belirleyici kanıt şudur: Çevrede 3x-1 değeri 11’𝑒 yaklaşır; tek noktadaki 100 değeri limiti değiştirmez. Karar verirken yalnız anahtar sözcüğü değil; verilen nicelik, işlem, neden-sonuç veya sınır koşulunu İki yönlü limit odağıyla birlikte sınamak gerekir.

1. A “Çevrede 3x-1 değeri 11’𝑒 yaklaşır; tek noktadaki 100 değeri limiti değiştirmez.” kanıtı Belirsizliği giderme kavramıyla açıklanır: Doğrudan yerine koymada 0/0 biçimi sonucun olmadığı anlamına gelmez; pay ve payda çarpanlara ayrılıp ortak çarpan x farklı 𝑎 için sadeleştirilerek limit bulunabilir.
2. B “Çevrede 3x-1 değeri 11’𝑒 yaklaşır; tek noktadaki 100 değeri limiti değiştirmez.” kanıtı şu yorumu doğrular: İki yönlü limitin varlığı fonksiyonun o noktada tanımlı olmasını gerektirir.
3. C “Çevrede 3x-1 değeri 11’𝑒 yaklaşır; tek noktadaki 100 değeri limiti değiştirmez.” kanıtı Limit ile fonksiyon değeri kavramıyla açıklanır: Bir noktadaki limit çevredeki değerlerle, 𝑓(𝑎) ise tek noktadaki tanımla belirlenir; limit var olduğu hâlde 𝑓(𝑎) farklı veya tanımsız olabilir.
4. D “Çevrede 3x-1 değeri 11’𝑒 yaklaşır; tek noktadaki 100 değeri limiti değiştirmez.” kanıtı Noktada süreklilik kavramıyla açıklanır: 𝑓 fonksiyonunun 𝑎 noktasında sürekli olması için 𝑓(𝑎) tanımlı, iki yönlü limit var ve limit 𝑓(𝑎)’ya eşit olmalıdır.
5. E “Çevrede 3x-1 değeri 11’𝑒 yaklaşır; tek noktadaki 100 değeri limiti değiştirmez.” kanıtı İki yönlü limit kavramıyla açıklanır: Bir fonksiyonun x=𝑎 noktasındaki iki yönlü limitinin var olması için soldan ve sağdan limitlerin var ve birbirine eşit olması gerekir.

x 2’ye yaklaşırken (x^2+1)/(x+3) limitini belirle. İnceleme kaydındaki belirleyici kanıt şudur: Payda 5 ile sıfır değildir; doğrudan yerine koyma (4+1)/5=1 verir ve 0/0 işlemi gerekmez. Karar verirken yalnız anahtar sözcüğü değil; verilen nicelik, işlem, neden-sonuç veya sınır koşulunu Belirsizliği giderme odağıyla birlikte sınamak gerekir.

1. A “Payda 5 ile sıfır değildir; doğrudan yerine koyma (4+1)/5=1 verir ve 0/0 işlemi gerekmez.” kanıtı şu yorumu doğrular: Doğrudan yerine koyma sonlu bir bölüm veriyorsa önce yapay biçimde 0/0 oluşturulmalıdır.
2. B “Payda 5 ile sıfır değildir; doğrudan yerine koyma (4+1)/5=1 verir ve 0/0 işlemi gerekmez.” kanıtı Noktada süreklilik kavramıyla açıklanır: 𝑓 fonksiyonunun 𝑎 noktasında sürekli olması için 𝑓(𝑎) tanımlı, iki yönlü limit var ve limit 𝑓(𝑎)’ya eşit olmalıdır.
3. C “Payda 5 ile sıfır değildir; doğrudan yerine koyma (4+1)/5=1 verir ve 0/0 işlemi gerekmez.” kanıtı Limit ile fonksiyon değeri kavramıyla açıklanır: Bir noktadaki limit çevredeki değerlerle, 𝑓(𝑎) ise tek noktadaki tanımla belirlenir; limit var olduğu hâlde 𝑓(𝑎) farklı veya tanımsız olabilir.
4. D “Payda 5 ile sıfır değildir; doğrudan yerine koyma (4+1)/5=1 verir ve 0/0 işlemi gerekmez.” kanıtı Belirsizliği giderme kavramıyla açıklanır: Doğrudan yerine koymada 0/0 biçimi sonucun olmadığı anlamına gelmez; pay ve payda çarpanlara ayrılıp ortak çarpan x farklı 𝑎 için sadeleştirilerek limit bulunabilir.
5. E “Payda 5 ile sıfır değildir; doğrudan yerine koyma (4+1)/5=1 verir ve 0/0 işlemi gerekmez.” kanıtı İki yönlü limit kavramıyla açıklanır: Bir fonksiyonun x=𝑎 noktasındaki iki yönlü limitinin var olması için soldan ve sağdan limitlerin var ve birbirine eşit olması gerekir.