Limit ve Süreklilik — Bölüm 1–2 Kavram Ayrımı

𝑓(x)=2x+1 (x küçüktür 1) ve 𝑓(x)=x^2+2 (x büyüktür 1) için x 1’𝑒 yaklaşırken limiti hesapla. İnceleme kaydındaki belirleyici kanıt şudur: Soldan limit 2*1+1=3, sağdan limit 1^2+2=3; eşit oldukları için iki yönlü limit 3’tür. Karar verirken yalnız anahtar sözcüğü değil; verilen nicelik, işlem, neden-sonuç veya sınır koşulunu İki yönlü limit odağıyla birlikte sınamak gerekir.

1. A “Soldan limit 2*1+1=3, sağdan limit 1^2+2=3; eşit oldukları için iki yönlü limit 3’tür.” kanıtı Belirsizliği giderme kavramıyla açıklanır: Doğrudan yerine koymada 0/0 biçimi sonucun olmadığı anlamına gelmez; pay ve payda çarpanlara ayrılıp ortak çarpan x farklı 𝑎 için sadeleştirilerek limit bulunabilir.
2. B “Soldan limit 2*1+1=3, sağdan limit 1^2+2=3; eşit oldukları için iki yönlü limit 3’tür.” kanıtı Limit ile fonksiyon değeri kavramıyla açıklanır: Bir noktadaki limit çevredeki değerlerle, 𝑓(𝑎) ise tek noktadaki tanımla belirlenir; limit var olduğu hâlde 𝑓(𝑎) farklı veya tanımsız olabilir.
3. C “Soldan limit 2*1+1=3, sağdan limit 1^2+2=3; eşit oldukları için iki yönlü limit 3’tür.” kanıtı İki yönlü limit kavramıyla açıklanır: Bir fonksiyonun x=𝑎 noktasındaki iki yönlü limitinin var olması için soldan ve sağdan limitlerin var ve birbirine eşit olması gerekir.
4. D “Soldan limit 2*1+1=3, sağdan limit 1^2+2=3; eşit oldukları için iki yönlü limit 3’tür.” kanıtı Noktada süreklilik kavramıyla açıklanır: 𝑓 fonksiyonunun 𝑎 noktasında sürekli olması için 𝑓(𝑎) tanımlı, iki yönlü limit var ve limit 𝑓(𝑎)’ya eşit olmalıdır.
5. E “Soldan limit 2*1+1=3, sağdan limit 1^2+2=3; eşit oldukları için iki yönlü limit 3’tür.” kanıtı şu yorumu doğrular: Soldan limit varsa iki yönlü limit de mutlaka vardır.

x 3’𝑒 yaklaşırken (x^2-9)/(x-3) limitini bul. İnceleme kaydındaki belirleyici kanıt şudur: Pay (x-3)(x+3) olur; x farklı 3 için sadeleşen x+3 ifadesinin limiti 6’dır. Karar verirken yalnız anahtar sözcüğü değil; verilen nicelik, işlem, neden-sonuç veya sınır koşulunu Belirsizliği giderme odağıyla birlikte sınamak gerekir.

1. A “Pay (x-3)(x+3) olur; x farklı 3 için sadeleşen x+3 ifadesinin limiti 6’dır.” kanıtı şu yorumu doğrular: 0/0 görüldüğünde limit otomatik olarak sıfırdır.
2. B “Pay (x-3)(x+3) olur; x farklı 3 için sadeleşen x+3 ifadesinin limiti 6’dır.” kanıtı Noktada süreklilik kavramıyla açıklanır: 𝑓 fonksiyonunun 𝑎 noktasında sürekli olması için 𝑓(𝑎) tanımlı, iki yönlü limit var ve limit 𝑓(𝑎)’ya eşit olmalıdır.
3. C “Pay (x-3)(x+3) olur; x farklı 3 için sadeleşen x+3 ifadesinin limiti 6’dır.” kanıtı Limit ile fonksiyon değeri kavramıyla açıklanır: Bir noktadaki limit çevredeki değerlerle, 𝑓(𝑎) ise tek noktadaki tanımla belirlenir; limit var olduğu hâlde 𝑓(𝑎) farklı veya tanımsız olabilir.
4. D “Pay (x-3)(x+3) olur; x farklı 3 için sadeleşen x+3 ifadesinin limiti 6’dır.” kanıtı İki yönlü limit kavramıyla açıklanır: Bir fonksiyonun x=𝑎 noktasındaki iki yönlü limitinin var olması için soldan ve sağdan limitlerin var ve birbirine eşit olması gerekir.
5. E “Pay (x-3)(x+3) olur; x farklı 3 için sadeleşen x+3 ifadesinin limiti 6’dır.” kanıtı Belirsizliği giderme kavramıyla açıklanır: Doğrudan yerine koymada 0/0 biçimi sonucun olmadığı anlamına gelmez; pay ve payda çarpanlara ayrılıp ortak çarpan x farklı 𝑎 için sadeleştirilerek limit bulunabilir.

𝑓(x)=x/|x| için x sıfıra yaklaşırken tek yönlü limitleri bul. İnceleme kaydındaki belirleyici kanıt şudur: x küçüktür 0 iken 𝑓=-1, x büyüktür 0 iken 𝑓=1; soldan -1 ve sağdan 1 farklı olduğu için iki yönlü limit yoktur. Karar verirken yalnız anahtar sözcüğü değil; verilen nicelik, işlem, neden-sonuç veya sınır koşulunu İki yönlü limit odağıyla birlikte sınamak gerekir.

1. A “x küçüktür 0 iken 𝑓=-1, x büyüktür 0 iken 𝑓=1; soldan -1 ve sağdan 1 farklı olduğu için iki yönlü limit yoktur.” kanıtı Limit ile fonksiyon değeri kavramıyla açıklanır: Bir noktadaki limit çevredeki değerlerle, 𝑓(𝑎) ise tek noktadaki tanımla belirlenir; limit var olduğu hâlde 𝑓(𝑎) farklı veya tanımsız olabilir.
2. B “x küçüktür 0 iken 𝑓=-1, x büyüktür 0 iken 𝑓=1; soldan -1 ve sağdan 1 farklı olduğu için iki yönlü limit yoktur.” kanıtı şu yorumu doğrular: Soldan ve sağdan limitler farklıysa ortalamaları iki yönlü limittir.
3. C “x küçüktür 0 iken 𝑓=-1, x büyüktür 0 iken 𝑓=1; soldan -1 ve sağdan 1 farklı olduğu için iki yönlü limit yoktur.” kanıtı İki yönlü limit kavramıyla açıklanır: Bir fonksiyonun x=𝑎 noktasındaki iki yönlü limitinin var olması için soldan ve sağdan limitlerin var ve birbirine eşit olması gerekir.
4. D “x küçüktür 0 iken 𝑓=-1, x büyüktür 0 iken 𝑓=1; soldan -1 ve sağdan 1 farklı olduğu için iki yönlü limit yoktur.” kanıtı Noktada süreklilik kavramıyla açıklanır: 𝑓 fonksiyonunun 𝑎 noktasında sürekli olması için 𝑓(𝑎) tanımlı, iki yönlü limit var ve limit 𝑓(𝑎)’ya eşit olmalıdır.
5. E “x küçüktür 0 iken 𝑓=-1, x büyüktür 0 iken 𝑓=1; soldan -1 ve sağdan 1 farklı olduğu için iki yönlü limit yoktur.” kanıtı Belirsizliği giderme kavramıyla açıklanır: Doğrudan yerine koymada 0/0 biçimi sonucun olmadığı anlamına gelmez; pay ve payda çarpanlara ayrılıp ortak çarpan x farklı 𝑎 için sadeleştirilerek limit bulunabilir.

x 2’ye yaklaşırken (x^2+x-6)/(x-2) limitini hesapla. İnceleme kaydındaki belirleyici kanıt şudur: Pay (x+3)(x-2); ortak çarpan sadeleşince x+3 kalır ve limit 5 olur. Karar verirken yalnız anahtar sözcüğü değil; verilen nicelik, işlem, neden-sonuç veya sınır koşulunu Belirsizliği giderme odağıyla birlikte sınamak gerekir.

1. A “Pay (x+3)(x-2); ortak çarpan sadeleşince x+3 kalır ve limit 5 olur.” kanıtı Limit ile fonksiyon değeri kavramıyla açıklanır: Bir noktadaki limit çevredeki değerlerle, 𝑓(𝑎) ise tek noktadaki tanımla belirlenir; limit var olduğu hâlde 𝑓(𝑎) farklı veya tanımsız olabilir.
2. B “Pay (x+3)(x-2); ortak çarpan sadeleşince x+3 kalır ve limit 5 olur.” kanıtı Noktada süreklilik kavramıyla açıklanır: 𝑓 fonksiyonunun 𝑎 noktasında sürekli olması için 𝑓(𝑎) tanımlı, iki yönlü limit var ve limit 𝑓(𝑎)’ya eşit olmalıdır.
3. C “Pay (x+3)(x-2); ortak çarpan sadeleşince x+3 kalır ve limit 5 olur.” kanıtı İki yönlü limit kavramıyla açıklanır: Bir fonksiyonun x=𝑎 noktasındaki iki yönlü limitinin var olması için soldan ve sağdan limitlerin var ve birbirine eşit olması gerekir.
4. D “Pay (x+3)(x-2); ortak çarpan sadeleşince x+3 kalır ve limit 5 olur.” kanıtı şu yorumu doğrular: 0/0 görüldüğünde limit kesinlikle yoktur.
5. E “Pay (x+3)(x-2); ortak çarpan sadeleşince x+3 kalır ve limit 5 olur.” kanıtı Belirsizliği giderme kavramıyla açıklanır: Doğrudan yerine koymada 0/0 biçimi sonucun olmadığı anlamına gelmez; pay ve payda çarpanlara ayrılıp ortak çarpan x farklı 𝑎 için sadeleştirilerek limit bulunabilir.

|x-2|/(x-2) ifadesinin x 2’ye yaklaşırken limitini incele. İnceleme kaydındaki belirleyici kanıt şudur: x küçüktür 2 için oran -1, x büyüktür 2 için 1’dir; tek yönlü limitler eşit değildir. Karar verirken yalnız anahtar sözcüğü değil; verilen nicelik, işlem, neden-sonuç veya sınır koşulunu İki yönlü limit odağıyla birlikte sınamak gerekir.

1. A “x küçüktür 2 için oran -1, x büyüktür 2 için 1’dir; tek yönlü limitler eşit değildir.” kanıtı Belirsizliği giderme kavramıyla açıklanır: Doğrudan yerine koymada 0/0 biçimi sonucun olmadığı anlamına gelmez; pay ve payda çarpanlara ayrılıp ortak çarpan x farklı 𝑎 için sadeleştirilerek limit bulunabilir.
2. B “x küçüktür 2 için oran -1, x büyüktür 2 için 1’dir; tek yönlü limitler eşit değildir.” kanıtı şu yorumu doğrular: Fonksiyonun 𝑎 noktasındaki değeri iki yönlü limiti tek başına belirler.
3. C “x küçüktür 2 için oran -1, x büyüktür 2 için 1’dir; tek yönlü limitler eşit değildir.” kanıtı Noktada süreklilik kavramıyla açıklanır: 𝑓 fonksiyonunun 𝑎 noktasında sürekli olması için 𝑓(𝑎) tanımlı, iki yönlü limit var ve limit 𝑓(𝑎)’ya eşit olmalıdır.
4. D “x küçüktür 2 için oran -1, x büyüktür 2 için 1’dir; tek yönlü limitler eşit değildir.” kanıtı İki yönlü limit kavramıyla açıklanır: Bir fonksiyonun x=𝑎 noktasındaki iki yönlü limitinin var olması için soldan ve sağdan limitlerin var ve birbirine eşit olması gerekir.
5. E “x küçüktür 2 için oran -1, x büyüktür 2 için 1’dir; tek yönlü limitler eşit değildir.” kanıtı Limit ile fonksiyon değeri kavramıyla açıklanır: Bir noktadaki limit çevredeki değerlerle, 𝑓(𝑎) ise tek noktadaki tanımla belirlenir; limit var olduğu hâlde 𝑓(𝑎) farklı veya tanımsız olabilir.

x 2’ye yaklaşırken (x^3-8)/(x-2) limitini hesapla. İnceleme kaydındaki belirleyici kanıt şudur: x^3-8=(x-2)(x^2+2x+4); kalan ifade 4+4+4=12 verir. Karar verirken yalnız anahtar sözcüğü değil; verilen nicelik, işlem, neden-sonuç veya sınır koşulunu Belirsizliği giderme odağıyla birlikte sınamak gerekir.

1. A “x^3-8=(x-2)(x^2+2x+4); kalan ifade 4+4+4=12 verir.” kanıtı şu yorumu doğrular: Ortak x-𝑎 çarpanı sadeleştirilince x=𝑎 için başlangıç fonksiyonu da tanımlı olur.
2. B “x^3-8=(x-2)(x^2+2x+4); kalan ifade 4+4+4=12 verir.” kanıtı Limit ile fonksiyon değeri kavramıyla açıklanır: Bir noktadaki limit çevredeki değerlerle, 𝑓(𝑎) ise tek noktadaki tanımla belirlenir; limit var olduğu hâlde 𝑓(𝑎) farklı veya tanımsız olabilir.
3. C “x^3-8=(x-2)(x^2+2x+4); kalan ifade 4+4+4=12 verir.” kanıtı Noktada süreklilik kavramıyla açıklanır: 𝑓 fonksiyonunun 𝑎 noktasında sürekli olması için 𝑓(𝑎) tanımlı, iki yönlü limit var ve limit 𝑓(𝑎)’ya eşit olmalıdır.
4. D “x^3-8=(x-2)(x^2+2x+4); kalan ifade 4+4+4=12 verir.” kanıtı İki yönlü limit kavramıyla açıklanır: Bir fonksiyonun x=𝑎 noktasındaki iki yönlü limitinin var olması için soldan ve sağdan limitlerin var ve birbirine eşit olması gerekir.
5. E “x^3-8=(x-2)(x^2+2x+4); kalan ifade 4+4+4=12 verir.” kanıtı Belirsizliği giderme kavramıyla açıklanır: Doğrudan yerine koymada 0/0 biçimi sonucun olmadığı anlamına gelmez; pay ve payda çarpanlara ayrılıp ortak çarpan x farklı 𝑎 için sadeleştirilerek limit bulunabilir.

𝑓(x)=(x^2-4)/(x-2), x farklı 2 için x 2’ye yaklaşırken limiti hesapla. İnceleme kaydındaki belirleyici kanıt şudur: x farklı 2 iken 𝑓=x+2; soldan ve sağdan değerler 4’𝑒 yaklaşır, limit 4’tür. Karar verirken yalnız anahtar sözcüğü değil; verilen nicelik, işlem, neden-sonuç veya sınır koşulunu İki yönlü limit odağıyla birlikte sınamak gerekir.

1. A “x farklı 2 iken 𝑓=x+2; soldan ve sağdan değerler 4’𝑒 yaklaşır, limit 4’tür.” kanıtı Belirsizliği giderme kavramıyla açıklanır: Doğrudan yerine koymada 0/0 biçimi sonucun olmadığı anlamına gelmez; pay ve payda çarpanlara ayrılıp ortak çarpan x farklı 𝑎 için sadeleştirilerek limit bulunabilir.
2. B “x farklı 2 iken 𝑓=x+2; soldan ve sağdan değerler 4’𝑒 yaklaşır, limit 4’tür.” kanıtı İki yönlü limit kavramıyla açıklanır: Bir fonksiyonun x=𝑎 noktasındaki iki yönlü limitinin var olması için soldan ve sağdan limitlerin var ve birbirine eşit olması gerekir.
3. C “x farklı 2 iken 𝑓=x+2; soldan ve sağdan değerler 4’𝑒 yaklaşır, limit 4’tür.” kanıtı şu yorumu doğrular: Parçalı fonksiyonlarda yalnız x=𝑎’yı içeren parça incelenir.
4. D “x farklı 2 iken 𝑓=x+2; soldan ve sağdan değerler 4’𝑒 yaklaşır, limit 4’tür.” kanıtı Limit ile fonksiyon değeri kavramıyla açıklanır: Bir noktadaki limit çevredeki değerlerle, 𝑓(𝑎) ise tek noktadaki tanımla belirlenir; limit var olduğu hâlde 𝑓(𝑎) farklı veya tanımsız olabilir.
5. E “x farklı 2 iken 𝑓=x+2; soldan ve sağdan değerler 4’𝑒 yaklaşır, limit 4’tür.” kanıtı Noktada süreklilik kavramıyla açıklanır: 𝑓 fonksiyonunun 𝑎 noktasında sürekli olması için 𝑓(𝑎) tanımlı, iki yönlü limit var ve limit 𝑓(𝑎)’ya eşit olmalıdır.

x 1’𝑒 yaklaşırken (x^2-4x+3)/(x-1) limitini bul. İnceleme kaydındaki belirleyici kanıt şudur: Pay (x-1)(x-3); sadeleşen x-3 ifadesi x=1’de -2 verir. Karar verirken yalnız anahtar sözcüğü değil; verilen nicelik, işlem, neden-sonuç veya sınır koşulunu Belirsizliği giderme odağıyla birlikte sınamak gerekir.

1. A “Pay (x-1)(x-3); sadeleşen x-3 ifadesi x=1’de -2 verir.” kanıtı Limit ile fonksiyon değeri kavramıyla açıklanır: Bir noktadaki limit çevredeki değerlerle, 𝑓(𝑎) ise tek noktadaki tanımla belirlenir; limit var olduğu hâlde 𝑓(𝑎) farklı veya tanımsız olabilir.
2. B “Pay (x-1)(x-3); sadeleşen x-3 ifadesi x=1’de -2 verir.” kanıtı İki yönlü limit kavramıyla açıklanır: Bir fonksiyonun x=𝑎 noktasındaki iki yönlü limitinin var olması için soldan ve sağdan limitlerin var ve birbirine eşit olması gerekir.
3. C “Pay (x-1)(x-3); sadeleşen x-3 ifadesi x=1’de -2 verir.” kanıtı Belirsizliği giderme kavramıyla açıklanır: Doğrudan yerine koymada 0/0 biçimi sonucun olmadığı anlamına gelmez; pay ve payda çarpanlara ayrılıp ortak çarpan x farklı 𝑎 için sadeleştirilerek limit bulunabilir.
4. D “Pay (x-1)(x-3); sadeleşen x-3 ifadesi x=1’de -2 verir.” kanıtı şu yorumu doğrular: Pay çarpanlara ayrılırken paydanın kökü dikkate alınmaz.
5. E “Pay (x-1)(x-3); sadeleşen x-3 ifadesi x=1’de -2 verir.” kanıtı Noktada süreklilik kavramıyla açıklanır: 𝑓 fonksiyonunun 𝑎 noktasında sürekli olması için 𝑓(𝑎) tanımlı, iki yönlü limit var ve limit 𝑓(𝑎)’ya eşit olmalıdır.

𝑓(x)=ax+2 (x küçüktür 1) ve 𝑓(x)=5-x (x büyüktür 1) için iki yönlü limit var olacak 𝑎 değerini bul. İnceleme kaydındaki belirleyici kanıt şudur: Soldan limit 𝑎+2, sağdan limit 4; 𝑎+2=4 denkleminden 𝑎=2 bulunur. Karar verirken yalnız anahtar sözcüğü değil; verilen nicelik, işlem, neden-sonuç veya sınır koşulunu İki yönlü limit odağıyla birlikte sınamak gerekir.

1. A “Soldan limit 𝑎+2, sağdan limit 4; 𝑎+2=4 denkleminden 𝑎=2 bulunur.” kanıtı Limit ile fonksiyon değeri kavramıyla açıklanır: Bir noktadaki limit çevredeki değerlerle, 𝑓(𝑎) ise tek noktadaki tanımla belirlenir; limit var olduğu hâlde 𝑓(𝑎) farklı veya tanımsız olabilir.
2. B “Soldan limit 𝑎+2, sağdan limit 4; 𝑎+2=4 denkleminden 𝑎=2 bulunur.” kanıtı şu yorumu doğrular: Grafikte açık nokta varsa hiçbir limit hesaplanamaz.
3. C “Soldan limit 𝑎+2, sağdan limit 4; 𝑎+2=4 denkleminden 𝑎=2 bulunur.” kanıtı İki yönlü limit kavramıyla açıklanır: Bir fonksiyonun x=𝑎 noktasındaki iki yönlü limitinin var olması için soldan ve sağdan limitlerin var ve birbirine eşit olması gerekir.
4. D “Soldan limit 𝑎+2, sağdan limit 4; 𝑎+2=4 denkleminden 𝑎=2 bulunur.” kanıtı Noktada süreklilik kavramıyla açıklanır: 𝑓 fonksiyonunun 𝑎 noktasında sürekli olması için 𝑓(𝑎) tanımlı, iki yönlü limit var ve limit 𝑓(𝑎)’ya eşit olmalıdır.
5. E “Soldan limit 𝑎+2, sağdan limit 4; 𝑎+2=4 denkleminden 𝑎=2 bulunur.” kanıtı Belirsizliği giderme kavramıyla açıklanır: Doğrudan yerine koymada 0/0 biçimi sonucun olmadığı anlamına gelmez; pay ve payda çarpanlara ayrılıp ortak çarpan x farklı 𝑎 için sadeleştirilerek limit bulunabilir.

x 2’ye yaklaşırken (2x^2-8)/(x-2) limitini hesapla. İnceleme kaydındaki belirleyici kanıt şudur: 2(x-2)(x+2) sadeleşir ve 2(x+2) ifadesi 8’𝑒 yaklaşır. Karar verirken yalnız anahtar sözcüğü değil; verilen nicelik, işlem, neden-sonuç veya sınır koşulunu Belirsizliği giderme odağıyla birlikte sınamak gerekir.

1. A “2(x-2)(x+2) sadeleşir ve 2(x+2) ifadesi 8’𝑒 yaklaşır.” kanıtı İki yönlü limit kavramıyla açıklanır: Bir fonksiyonun x=𝑎 noktasındaki iki yönlü limitinin var olması için soldan ve sağdan limitlerin var ve birbirine eşit olması gerekir.
2. B “2(x-2)(x+2) sadeleşir ve 2(x+2) ifadesi 8’𝑒 yaklaşır.” kanıtı Noktada süreklilik kavramıyla açıklanır: 𝑓 fonksiyonunun 𝑎 noktasında sürekli olması için 𝑓(𝑎) tanımlı, iki yönlü limit var ve limit 𝑓(𝑎)’ya eşit olmalıdır.
3. C “2(x-2)(x+2) sadeleşir ve 2(x+2) ifadesi 8’𝑒 yaklaşır.” kanıtı Belirsizliği giderme kavramıyla açıklanır: Doğrudan yerine koymada 0/0 biçimi sonucun olmadığı anlamına gelmez; pay ve payda çarpanlara ayrılıp ortak çarpan x farklı 𝑎 için sadeleştirilerek limit bulunabilir.
4. D “2(x-2)(x+2) sadeleşir ve 2(x+2) ifadesi 8’𝑒 yaklaşır.” kanıtı Limit ile fonksiyon değeri kavramıyla açıklanır: Bir noktadaki limit çevredeki değerlerle, 𝑓(𝑎) ise tek noktadaki tanımla belirlenir; limit var olduğu hâlde 𝑓(𝑎) farklı veya tanımsız olabilir.
5. E “2(x-2)(x+2) sadeleşir ve 2(x+2) ifadesi 8’𝑒 yaklaşır.” kanıtı şu yorumu doğrular: x^2-𝑎^2 ifadesi (x-𝑎)^2 biçiminde ayrılır.