Gerçek Sayı Dizileri — Kümülatif Bölüm 1–5

a_n=5-n dizisi pozitif doğal sayılarda tanımlı; a_0 ve a_6 durumlarını ayır. İnceleme kaydındaki belirleyici kanıt şudur: a_0 standart tanım kümesinin dışında ve tanımsızdır; a_6=5-6=-1’dir. Karar verirken yalnız anahtar sözcüğü değil; verilen nicelik, işlem, neden-sonuç veya sınır koşulunu Dizi odağıyla birlikte sınamak gerekir.

1. A “a_0 standart tanım kümesinin dışında ve tanımsızdır; a_6=5-6=-1’dir.” kanıtı İndirgeme bağıntısı kavramıyla açıklanır: İndirgeme bağıntısı sonraki terimi önceki bir veya birkaç terim üzerinden verir; diziyi tekil belirlemek için gerekli başlangıç terimleri de verilmelidir.
2. B “a_0 standart tanım kümesinin dışında ve tanımsızdır; a_6=5-6=-1’dir.” kanıtı Aritmetik dizi kavramıyla açıklanır: Ardışık terimleri arasındaki fark 𝑑 sabit olan aritmetik dizide a_n=a_1+(n-1)𝑑 ve S_n=n(a_1+a_n)/2 olur.
3. C “a_0 standart tanım kümesinin dışında ve tanımsızdır; a_6=5-6=-1’dir.” kanıtı Dizi kavramıyla açıklanır: Gerçek sayı dizisi, tanım kümesi pozitif doğal sayılar veya onların sonlu bir başlangıç kesimi olan gerçek değerli bir fonksiyondur.
4. D “a_0 standart tanım kümesinin dışında ve tanımsızdır; a_6=5-6=-1’dir.” kanıtı Geometrik dizi kavramıyla açıklanır: Ardışık terimleri arasındaki oran r sabit olan geometrik dizide a_n=a_1*r^(n-1); r farklı 1 ise S_n=a_1(r^n-1)/(r-1) olur.
5. E “a_0 standart tanım kümesinin dışında ve tanımsızdır; a_6=5-6=-1’dir.” kanıtı şu yorumu doğrular: Dizi indeksi her zaman sıfırdan başlar.

a_n=a_(n-1)+a_(n-2) bağıntısında yalnız a_1=2 verildiğinde a_3’ü belirlemeyi dene. İnceleme kaydındaki belirleyici kanıt şudur: a_3=a_2+2 olduğundan a_2 bilinmeden tek değer bulunamaz; ikinci başlangıç koşulu gereklidir. Karar verirken yalnız anahtar sözcüğü değil; verilen nicelik, işlem, neden-sonuç veya sınır koşulunu İndirgeme bağıntısı odağıyla birlikte sınamak gerekir.

1. A “a_3=a_2+2 olduğundan a_2 bilinmeden tek değer bulunamaz; ikinci başlangıç koşulu gereklidir.” kanıtı Dizi kavramıyla açıklanır: Gerçek sayı dizisi, tanım kümesi pozitif doğal sayılar veya onların sonlu bir başlangıç kesimi olan gerçek değerli bir fonksiyondur.
2. B “a_3=a_2+2 olduğundan a_2 bilinmeden tek değer bulunamaz; ikinci başlangıç koşulu gereklidir.” kanıtı şu yorumu doğrular: Fibonacci türü bağıntıda yeni terim yalnız hemen önceki terime eşittir.
3. C “a_3=a_2+2 olduğundan a_2 bilinmeden tek değer bulunamaz; ikinci başlangıç koşulu gereklidir.” kanıtı Aritmetik dizi kavramıyla açıklanır: Ardışık terimleri arasındaki fark 𝑑 sabit olan aritmetik dizide a_n=a_1+(n-1)𝑑 ve S_n=n(a_1+a_n)/2 olur.
4. D “a_3=a_2+2 olduğundan a_2 bilinmeden tek değer bulunamaz; ikinci başlangıç koşulu gereklidir.” kanıtı İndirgeme bağıntısı kavramıyla açıklanır: İndirgeme bağıntısı sonraki terimi önceki bir veya birkaç terim üzerinden verir; diziyi tekil belirlemek için gerekli başlangıç terimleri de verilmelidir.
5. E “a_3=a_2+2 olduğundan a_2 bilinmeden tek değer bulunamaz; ikinci başlangıç koşulu gereklidir.” kanıtı Geometrik dizi kavramıyla açıklanır: Ardışık terimleri arasındaki oran r sabit olan geometrik dizide a_n=a_1*r^(n-1); r farklı 1 ise S_n=a_1(r^n-1)/(r-1) olur.

18 terimli aritmetik dizide a_1=-4 ve a_18=47 veriliyor; toplamı hesapla. İnceleme kaydındaki belirleyici kanıt şudur: S_18=18(-4+47)/2=9*43=387’dir; ilk-son terim çifti kullanılmıştır. Karar verirken yalnız anahtar sözcüğü değil; verilen nicelik, işlem, neden-sonuç veya sınır koşulunu Aritmetik dizi odağıyla birlikte sınamak gerekir.

1. A “S_18=18(-4+47)/2=9*43=387’dir; ilk-son terim çifti kullanılmıştır.” kanıtı Geometrik dizi kavramıyla açıklanır: Ardışık terimleri arasındaki oran r sabit olan geometrik dizide a_n=a_1*r^(n-1); r farklı 1 ise S_n=a_1(r^n-1)/(r-1) olur.
2. B “S_18=18(-4+47)/2=9*43=387’dir; ilk-son terim çifti kullanılmıştır.” kanıtı şu yorumu doğrular: Aritmetik ortalar eklenirken uçlar hesaba katılmadan 𝑑 doğrudan farktır.
3. C “S_18=18(-4+47)/2=9*43=387’dir; ilk-son terim çifti kullanılmıştır.” kanıtı İndirgeme bağıntısı kavramıyla açıklanır: İndirgeme bağıntısı sonraki terimi önceki bir veya birkaç terim üzerinden verir; diziyi tekil belirlemek için gerekli başlangıç terimleri de verilmelidir.
4. D “S_18=18(-4+47)/2=9*43=387’dir; ilk-son terim çifti kullanılmıştır.” kanıtı Aritmetik dizi kavramıyla açıklanır: Ardışık terimleri arasındaki fark 𝑑 sabit olan aritmetik dizide a_n=a_1+(n-1)𝑑 ve S_n=n(a_1+a_n)/2 olur.
5. E “S_18=18(-4+47)/2=9*43=387’dir; ilk-son terim çifti kullanılmıştır.” kanıtı Dizi kavramıyla açıklanır: Gerçek sayı dizisi, tanım kümesi pozitif doğal sayılar veya onların sonlu bir başlangıç kesimi olan gerçek değerli bir fonksiyondur.

Başlangıç değeri 100 ve oranı 0.8 olan geometrik modelde dördüncü değeri bul. İnceleme kaydındaki belirleyici kanıt şudur: a_4=100*(0.8)^3=100*0.512=51.2 olur. Karar verirken yalnız anahtar sözcüğü değil; verilen nicelik, işlem, neden-sonuç veya sınır koşulunu Geometrik dizi odağıyla birlikte sınamak gerekir.

1. A “a_4=100*(0.8)^3=100*0.512=51.2 olur.” kanıtı şu yorumu doğrular: Geometrik dizide a_q/a_p oranı r^(q+p) biçiminde bulunur.
2. B “a_4=100*(0.8)^3=100*0.512=51.2 olur.” kanıtı İndirgeme bağıntısı kavramıyla açıklanır: İndirgeme bağıntısı sonraki terimi önceki bir veya birkaç terim üzerinden verir; diziyi tekil belirlemek için gerekli başlangıç terimleri de verilmelidir.
3. C “a_4=100*(0.8)^3=100*0.512=51.2 olur.” kanıtı Dizi kavramıyla açıklanır: Gerçek sayı dizisi, tanım kümesi pozitif doğal sayılar veya onların sonlu bir başlangıç kesimi olan gerçek değerli bir fonksiyondur.
4. D “a_4=100*(0.8)^3=100*0.512=51.2 olur.” kanıtı Geometrik dizi kavramıyla açıklanır: Ardışık terimleri arasındaki oran r sabit olan geometrik dizide a_n=a_1*r^(n-1); r farklı 1 ise S_n=a_1(r^n-1)/(r-1) olur.
5. E “a_4=100*(0.8)^3=100*0.512=51.2 olur.” kanıtı Aritmetik dizi kavramıyla açıklanır: Ardışık terimleri arasındaki fark 𝑑 sabit olan aritmetik dizide a_n=a_1+(n-1)𝑑 ve S_n=n(a_1+a_n)/2 olur.

a_n=2n dizisinin a_2+a_5+a_7 toplamını hesapla. İnceleme kaydındaki belirleyici kanıt şudur: a_2=4, a_5=10, a_7=14 ve toplam 4+10+14=28’dir. Karar verirken yalnız anahtar sözcüğü değil; verilen nicelik, işlem, neden-sonuç veya sınır koşulunu Dizi odağıyla birlikte sınamak gerekir.

1. A “a_2=4, a_5=10, a_7=14 ve toplam 4+10+14=28’dir.” kanıtı İndirgeme bağıntısı kavramıyla açıklanır: İndirgeme bağıntısı sonraki terimi önceki bir veya birkaç terim üzerinden verir; diziyi tekil belirlemek için gerekli başlangıç terimleri de verilmelidir.
2. B “a_2=4, a_5=10, a_7=14 ve toplam 4+10+14=28’dir.” kanıtı Aritmetik dizi kavramıyla açıklanır: Ardışık terimleri arasındaki fark 𝑑 sabit olan aritmetik dizide a_n=a_1+(n-1)𝑑 ve S_n=n(a_1+a_n)/2 olur.
3. C “a_2=4, a_5=10, a_7=14 ve toplam 4+10+14=28’dir.” kanıtı şu yorumu doğrular: a_n=n^2+1 kuralında a_3=3^2 değil 3+2 olur.
4. D “a_2=4, a_5=10, a_7=14 ve toplam 4+10+14=28’dir.” kanıtı Dizi kavramıyla açıklanır: Gerçek sayı dizisi, tanım kümesi pozitif doğal sayılar veya onların sonlu bir başlangıç kesimi olan gerçek değerli bir fonksiyondur.
5. E “a_2=4, a_5=10, a_7=14 ve toplam 4+10+14=28’dir.” kanıtı Geometrik dizi kavramıyla açıklanır: Ardışık terimleri arasındaki oran r sabit olan geometrik dizide a_n=a_1*r^(n-1); r farklı 1 ise S_n=a_1(r^n-1)/(r-1) olur.

Bir kültür a_1=50’den başlayıp her adımda yüzde 20 büyüyor: a_(n+1)=1.2a_n. Dördüncü ölçümü hesapla. İnceleme kaydındaki belirleyici kanıt şudur: a_2=60, a_3=72, a_4=86.4 olur; her bölüm öncekinin 1.2 katıdır. Karar verirken yalnız anahtar sözcüğü değil; verilen nicelik, işlem, neden-sonuç veya sınır koşulunu İndirgeme bağıntısı odağıyla birlikte sınamak gerekir.

1. A “a_2=60, a_3=72, a_4=86.4 olur; her bölüm öncekinin 1.2 katıdır.” kanıtı şu yorumu doğrular: Önerilen genel terimin başlangıç koşulunu sağlaması gereksizdir.
2. B “a_2=60, a_3=72, a_4=86.4 olur; her bölüm öncekinin 1.2 katıdır.” kanıtı Dizi kavramıyla açıklanır: Gerçek sayı dizisi, tanım kümesi pozitif doğal sayılar veya onların sonlu bir başlangıç kesimi olan gerçek değerli bir fonksiyondur.
3. C “a_2=60, a_3=72, a_4=86.4 olur; her bölüm öncekinin 1.2 katıdır.” kanıtı Aritmetik dizi kavramıyla açıklanır: Ardışık terimleri arasındaki fark 𝑑 sabit olan aritmetik dizide a_n=a_1+(n-1)𝑑 ve S_n=n(a_1+a_n)/2 olur.
4. D “a_2=60, a_3=72, a_4=86.4 olur; her bölüm öncekinin 1.2 katıdır.” kanıtı Geometrik dizi kavramıyla açıklanır: Ardışık terimleri arasındaki oran r sabit olan geometrik dizide a_n=a_1*r^(n-1); r farklı 1 ise S_n=a_1(r^n-1)/(r-1) olur.
5. E “a_2=60, a_3=72, a_4=86.4 olur; her bölüm öncekinin 1.2 katıdır.” kanıtı İndirgeme bağıntısı kavramıyla açıklanır: İndirgeme bağıntısı sonraki terimi önceki bir veya birkaç terim üzerinden verir; diziyi tekil belirlemek için gerekli başlangıç terimleri de verilmelidir.

a_1=7 ve 𝑑=4 olan aritmetik dizide 55’in kaçıncı terim olduğunu bul. İnceleme kaydındaki belirleyici kanıt şudur: 55=7+(n-1)4; 48=4(n-1), n-1=12 ve n=13’tür. Karar verirken yalnız anahtar sözcüğü değil; verilen nicelik, işlem, neden-sonuç veya sınır koşulunu Aritmetik dizi odağıyla birlikte sınamak gerekir.

1. A “55=7+(n-1)4; 48=4(n-1), n-1=12 ve n=13’tür.” kanıtı şu yorumu doğrular: Sabit dizi aritmetik dizi sayılmaz.
2. B “55=7+(n-1)4; 48=4(n-1), n-1=12 ve n=13’tür.” kanıtı Geometrik dizi kavramıyla açıklanır: Ardışık terimleri arasındaki oran r sabit olan geometrik dizide a_n=a_1*r^(n-1); r farklı 1 ise S_n=a_1(r^n-1)/(r-1) olur.
3. C “55=7+(n-1)4; 48=4(n-1), n-1=12 ve n=13’tür.” kanıtı Dizi kavramıyla açıklanır: Gerçek sayı dizisi, tanım kümesi pozitif doğal sayılar veya onların sonlu bir başlangıç kesimi olan gerçek değerli bir fonksiyondur.
4. D “55=7+(n-1)4; 48=4(n-1), n-1=12 ve n=13’tür.” kanıtı Aritmetik dizi kavramıyla açıklanır: Ardışık terimleri arasındaki fark 𝑑 sabit olan aritmetik dizide a_n=a_1+(n-1)𝑑 ve S_n=n(a_1+a_n)/2 olur.
5. E “55=7+(n-1)4; 48=4(n-1), n-1=12 ve n=13’tür.” kanıtı İndirgeme bağıntısı kavramıyla açıklanır: İndirgeme bağıntısı sonraki terimi önceki bir veya birkaç terim üzerinden verir; diziyi tekil belirlemek için gerekli başlangıç terimleri de verilmelidir.

5,10,20,... geometrik dizisinde 320’nin kaçıncı terim olduğunu bul. İnceleme kaydındaki belirleyici kanıt şudur: 5*2^(n-1)=320, 2^(n-1)=64=2^6 olduğundan n=7’dir. Karar verirken yalnız anahtar sözcüğü değil; verilen nicelik, işlem, neden-sonuç veya sınır koşulunu Geometrik dizi odağıyla birlikte sınamak gerekir.

1. A “5*2^(n-1)=320, 2^(n-1)=64=2^6 olduğundan n=7’dir.” kanıtı Aritmetik dizi kavramıyla açıklanır: Ardışık terimleri arasındaki fark 𝑑 sabit olan aritmetik dizide a_n=a_1+(n-1)𝑑 ve S_n=n(a_1+a_n)/2 olur.
2. B “5*2^(n-1)=320, 2^(n-1)=64=2^6 olduğundan n=7’dir.” kanıtı şu yorumu doğrular: Geometrik ortalar eklenirken ortak oran aritmetik fark gibi bulunur.
3. C “5*2^(n-1)=320, 2^(n-1)=64=2^6 olduğundan n=7’dir.” kanıtı Dizi kavramıyla açıklanır: Gerçek sayı dizisi, tanım kümesi pozitif doğal sayılar veya onların sonlu bir başlangıç kesimi olan gerçek değerli bir fonksiyondur.
4. D “5*2^(n-1)=320, 2^(n-1)=64=2^6 olduğundan n=7’dir.” kanıtı İndirgeme bağıntısı kavramıyla açıklanır: İndirgeme bağıntısı sonraki terimi önceki bir veya birkaç terim üzerinden verir; diziyi tekil belirlemek için gerekli başlangıç terimleri de verilmelidir.
5. E “5*2^(n-1)=320, 2^(n-1)=64=2^6 olduğundan n=7’dir.” kanıtı Geometrik dizi kavramıyla açıklanır: Ardışık terimleri arasındaki oran r sabit olan geometrik dizide a_n=a_1*r^(n-1); r farklı 1 ise S_n=a_1(r^n-1)/(r-1) olur.

a_n=(-1)^n dizisinde a_2, a_4 ve a_6’yı hesaplayıp fonksiyon koşulunu yorumla. İnceleme kaydındaki belirleyici kanıt şudur: Üç değer de 1’dir; farklı indekslerin aynı çıktıyı vermesi her indeksin tek çıktısı olduğu gerçeğini bozmaz. Karar verirken yalnız anahtar sözcüğü değil; verilen nicelik, işlem, neden-sonuç veya sınır koşulunu Dizi odağıyla birlikte sınamak gerekir.

1. A “Üç değer de 1’dir; farklı indekslerin aynı çıktıyı vermesi her indeksin tek çıktısı olduğu gerçeğini bozmaz.” kanıtı Dizi kavramıyla açıklanır: Gerçek sayı dizisi, tanım kümesi pozitif doğal sayılar veya onların sonlu bir başlangıç kesimi olan gerçek değerli bir fonksiyondur.
2. B “Üç değer de 1’dir; farklı indekslerin aynı çıktıyı vermesi her indeksin tek çıktısı olduğu gerçeğini bozmaz.” kanıtı Geometrik dizi kavramıyla açıklanır: Ardışık terimleri arasındaki oran r sabit olan geometrik dizide a_n=a_1*r^(n-1); r farklı 1 ise S_n=a_1(r^n-1)/(r-1) olur.
3. C “Üç değer de 1’dir; farklı indekslerin aynı çıktıyı vermesi her indeksin tek çıktısı olduğu gerçeğini bozmaz.” kanıtı şu yorumu doğrular: Bir dizinin terimleri tekrar ediyorsa fonksiyon olamaz.
4. D “Üç değer de 1’dir; farklı indekslerin aynı çıktıyı vermesi her indeksin tek çıktısı olduğu gerçeğini bozmaz.” kanıtı Aritmetik dizi kavramıyla açıklanır: Ardışık terimleri arasındaki fark 𝑑 sabit olan aritmetik dizide a_n=a_1+(n-1)𝑑 ve S_n=n(a_1+a_n)/2 olur.
5. E “Üç değer de 1’dir; farklı indekslerin aynı çıktıyı vermesi her indeksin tek çıktısı olduğu gerçeğini bozmaz.” kanıtı İndirgeme bağıntısı kavramıyla açıklanır: İndirgeme bağıntısı sonraki terimi önceki bir veya birkaç terim üzerinden verir; diziyi tekil belirlemek için gerekli başlangıç terimleri de verilmelidir.

a_n=2^n önerisinin a_1=2 ve a_(n+1)=2a_n koşullarını sağladığını göster. İnceleme kaydındaki belirleyici kanıt şudur: a_1=2 ve a_(n+1)=2^(n+1)=2*2^n=2a_n olduğundan hem başlangıç hem bağıntı sağlanır. Karar verirken yalnız anahtar sözcüğü değil; verilen nicelik, işlem, neden-sonuç veya sınır koşulunu İndirgeme bağıntısı odağıyla birlikte sınamak gerekir.

1. A “a_1=2 ve a_(n+1)=2^(n+1)=2*2^n=2a_n olduğundan hem başlangıç hem bağıntı sağlanır.” kanıtı Geometrik dizi kavramıyla açıklanır: Ardışık terimleri arasındaki oran r sabit olan geometrik dizide a_n=a_1*r^(n-1); r farklı 1 ise S_n=a_1(r^n-1)/(r-1) olur.
2. B “a_1=2 ve a_(n+1)=2^(n+1)=2*2^n=2a_n olduğundan hem başlangıç hem bağıntı sağlanır.” kanıtı Aritmetik dizi kavramıyla açıklanır: Ardışık terimleri arasındaki fark 𝑑 sabit olan aritmetik dizide a_n=a_1+(n-1)𝑑 ve S_n=n(a_1+a_n)/2 olur.
3. C “a_1=2 ve a_(n+1)=2^(n+1)=2*2^n=2a_n olduğundan hem başlangıç hem bağıntı sağlanır.” kanıtı Dizi kavramıyla açıklanır: Gerçek sayı dizisi, tanım kümesi pozitif doğal sayılar veya onların sonlu bir başlangıç kesimi olan gerçek değerli bir fonksiyondur.
4. D “a_1=2 ve a_(n+1)=2^(n+1)=2*2^n=2a_n olduğundan hem başlangıç hem bağıntı sağlanır.” kanıtı İndirgeme bağıntısı kavramıyla açıklanır: İndirgeme bağıntısı sonraki terimi önceki bir veya birkaç terim üzerinden verir; diziyi tekil belirlemek için gerekli başlangıç terimleri de verilmelidir.
5. E “a_1=2 ve a_(n+1)=2^(n+1)=2*2^n=2a_n olduğundan hem başlangıç hem bağıntı sağlanır.” kanıtı şu yorumu doğrular: Bağıntıyla üretilen ara terimler atlanarak uzak bir terim tahminle seçilebilir.