Gerçek Sayı Dizileri — Bölüm 1–2 Kavram Ayrımı

a_n=3n-2 dizisinin ilk beş terimini n=1’den başlayarak hesapla. İnceleme kaydındaki belirleyici kanıt şudur: a_1=1, a_2=4, a_3=7, a_4=10, a_5=13 olur; ardışık değerler 3 artar. Karar verirken yalnız anahtar sözcüğü değil; verilen nicelik, işlem, neden-sonuç veya sınır koşulunu Dizi odağıyla birlikte sınamak gerekir.

1. A “a_1=1, a_2=4, a_3=7, a_4=10, a_5=13 olur; ardışık değerler 3 artar.” kanıtı şu yorumu doğrular: Dizi, tanım kümesi bütün gerçek sayılar olmak zorunda olan bir fonksiyondur.
2. B “a_1=1, a_2=4, a_3=7, a_4=10, a_5=13 olur; ardışık değerler 3 artar.” kanıtı İndirgeme bağıntısı kavramıyla açıklanır: İndirgeme bağıntısı sonraki terimi önceki bir veya birkaç terim üzerinden verir; diziyi tekil belirlemek için gerekli başlangıç terimleri de verilmelidir.
3. C “a_1=1, a_2=4, a_3=7, a_4=10, a_5=13 olur; ardışık değerler 3 artar.” kanıtı Geometrik dizi kavramıyla açıklanır: Ardışık terimleri arasındaki oran r sabit olan geometrik dizide a_n=a_1*r^(n-1); r farklı 1 ise S_n=a_1(r^n-1)/(r-1) olur.
4. D “a_1=1, a_2=4, a_3=7, a_4=10, a_5=13 olur; ardışık değerler 3 artar.” kanıtı Aritmetik dizi kavramıyla açıklanır: Ardışık terimleri arasındaki fark 𝑑 sabit olan aritmetik dizide a_n=a_1+(n-1)𝑑 ve S_n=n(a_1+a_n)/2 olur.
5. E “a_1=1, a_2=4, a_3=7, a_4=10, a_5=13 olur; ardışık değerler 3 artar.” kanıtı Dizi kavramıyla açıklanır: Gerçek sayı dizisi, tanım kümesi pozitif doğal sayılar veya onların sonlu bir başlangıç kesimi olan gerçek değerli bir fonksiyondur.

a_1=2 ve a_(n+1)=a_n+3 bağıntısıyla a_5’i bul. İnceleme kaydındaki belirleyici kanıt şudur: Terimler 2,5,8,11,14 biçiminde ilerler; a_5=14’tür. Karar verirken yalnız anahtar sözcüğü değil; verilen nicelik, işlem, neden-sonuç veya sınır koşulunu İndirgeme bağıntısı odağıyla birlikte sınamak gerekir.

1. A “Terimler 2,5,8,11,14 biçiminde ilerler; a_5=14’tür.” kanıtı Geometrik dizi kavramıyla açıklanır: Ardışık terimleri arasındaki oran r sabit olan geometrik dizide a_n=a_1*r^(n-1); r farklı 1 ise S_n=a_1(r^n-1)/(r-1) olur.
2. B “Terimler 2,5,8,11,14 biçiminde ilerler; a_5=14’tür.” kanıtı Dizi kavramıyla açıklanır: Gerçek sayı dizisi, tanım kümesi pozitif doğal sayılar veya onların sonlu bir başlangıç kesimi olan gerçek değerli bir fonksiyondur.
3. C “Terimler 2,5,8,11,14 biçiminde ilerler; a_5=14’tür.” kanıtı Aritmetik dizi kavramıyla açıklanır: Ardışık terimleri arasındaki fark 𝑑 sabit olan aritmetik dizide a_n=a_1+(n-1)𝑑 ve S_n=n(a_1+a_n)/2 olur.
4. D “Terimler 2,5,8,11,14 biçiminde ilerler; a_5=14’tür.” kanıtı İndirgeme bağıntısı kavramıyla açıklanır: İndirgeme bağıntısı sonraki terimi önceki bir veya birkaç terim üzerinden verir; diziyi tekil belirlemek için gerekli başlangıç terimleri de verilmelidir.
5. E “Terimler 2,5,8,11,14 biçiminde ilerler; a_5=14’tür.” kanıtı şu yorumu doğrular: a_(n+1)=a_n+3 bağıntısı tek başına bütün diziyi belirler.

b_n=(-1)^n*n dizisinin ilk dört terimini bul. İnceleme kaydındaki belirleyici kanıt şudur: n=1,2,3,4 için değerler sırasıyla -1, 2, -3, 4’tür. Karar verirken yalnız anahtar sözcüğü değil; verilen nicelik, işlem, neden-sonuç veya sınır koşulunu Dizi odağıyla birlikte sınamak gerekir.

1. A “n=1,2,3,4 için değerler sırasıyla -1, 2, -3, 4’tür.” kanıtı Dizi kavramıyla açıklanır: Gerçek sayı dizisi, tanım kümesi pozitif doğal sayılar veya onların sonlu bir başlangıç kesimi olan gerçek değerli bir fonksiyondur.
2. B “n=1,2,3,4 için değerler sırasıyla -1, 2, -3, 4’tür.” kanıtı şu yorumu doğrular: a_n gösteriminde n terimin değeri, 𝑎 ise terim numarasıdır.
3. C “n=1,2,3,4 için değerler sırasıyla -1, 2, -3, 4’tür.” kanıtı Aritmetik dizi kavramıyla açıklanır: Ardışık terimleri arasındaki fark 𝑑 sabit olan aritmetik dizide a_n=a_1+(n-1)𝑑 ve S_n=n(a_1+a_n)/2 olur.
4. D “n=1,2,3,4 için değerler sırasıyla -1, 2, -3, 4’tür.” kanıtı Geometrik dizi kavramıyla açıklanır: Ardışık terimleri arasındaki oran r sabit olan geometrik dizide a_n=a_1*r^(n-1); r farklı 1 ise S_n=a_1(r^n-1)/(r-1) olur.
5. E “n=1,2,3,4 için değerler sırasıyla -1, 2, -3, 4’tür.” kanıtı İndirgeme bağıntısı kavramıyla açıklanır: İndirgeme bağıntısı sonraki terimi önceki bir veya birkaç terim üzerinden verir; diziyi tekil belirlemek için gerekli başlangıç terimleri de verilmelidir.

a_1=1, a_2=2 ve a_n=a_(n-1)+a_(n-2) için a_6’yı hesapla. İnceleme kaydındaki belirleyici kanıt şudur: a_3=3, a_4=5, a_5=8, a_6=13 olur ve her adım bağıntıyı doğrular. Karar verirken yalnız anahtar sözcüğü değil; verilen nicelik, işlem, neden-sonuç veya sınır koşulunu İndirgeme bağıntısı odağıyla birlikte sınamak gerekir.

1. A “a_3=3, a_4=5, a_5=8, a_6=13 olur ve her adım bağıntıyı doğrular.” kanıtı şu yorumu doğrular: İkinci dereceden indirgeme bağıntısı için yalnız bir başlangıç terimi yeterlidir.
2. B “a_3=3, a_4=5, a_5=8, a_6=13 olur ve her adım bağıntıyı doğrular.” kanıtı Geometrik dizi kavramıyla açıklanır: Ardışık terimleri arasındaki oran r sabit olan geometrik dizide a_n=a_1*r^(n-1); r farklı 1 ise S_n=a_1(r^n-1)/(r-1) olur.
3. C “a_3=3, a_4=5, a_5=8, a_6=13 olur ve her adım bağıntıyı doğrular.” kanıtı İndirgeme bağıntısı kavramıyla açıklanır: İndirgeme bağıntısı sonraki terimi önceki bir veya birkaç terim üzerinden verir; diziyi tekil belirlemek için gerekli başlangıç terimleri de verilmelidir.
4. D “a_3=3, a_4=5, a_5=8, a_6=13 olur ve her adım bağıntıyı doğrular.” kanıtı Dizi kavramıyla açıklanır: Gerçek sayı dizisi, tanım kümesi pozitif doğal sayılar veya onların sonlu bir başlangıç kesimi olan gerçek değerli bir fonksiyondur.
5. E “a_3=3, a_4=5, a_5=8, a_6=13 olur ve her adım bağıntıyı doğrular.” kanıtı Aritmetik dizi kavramıyla açıklanır: Ardışık terimleri arasındaki fark 𝑑 sabit olan aritmetik dizide a_n=a_1+(n-1)𝑑 ve S_n=n(a_1+a_n)/2 olur.

c_n=n^2, n in {1,2,3,4} olarak verilen sonlu diziyi yaz ve c_5’i değerlendir. İnceleme kaydındaki belirleyici kanıt şudur: Dizi (1,4,9,16) olur; 5 tanım kümesinde bulunmadığı için c_5 sıfır değil tanımsızdır. Karar verirken yalnız anahtar sözcüğü değil; verilen nicelik, işlem, neden-sonuç veya sınır koşulunu Dizi odağıyla birlikte sınamak gerekir.

1. A “Dizi (1,4,9,16) olur; 5 tanım kümesinde bulunmadığı için c_5 sıfır değil tanımsızdır.” kanıtı Aritmetik dizi kavramıyla açıklanır: Ardışık terimleri arasındaki fark 𝑑 sabit olan aritmetik dizide a_n=a_1+(n-1)𝑑 ve S_n=n(a_1+a_n)/2 olur.
2. B “Dizi (1,4,9,16) olur; 5 tanım kümesinde bulunmadığı için c_5 sıfır değil tanımsızdır.” kanıtı Geometrik dizi kavramıyla açıklanır: Ardışık terimleri arasındaki oran r sabit olan geometrik dizide a_n=a_1*r^(n-1); r farklı 1 ise S_n=a_1(r^n-1)/(r-1) olur.
3. C “Dizi (1,4,9,16) olur; 5 tanım kümesinde bulunmadığı için c_5 sıfır değil tanımsızdır.” kanıtı şu yorumu doğrular: Sonlu dizide belirtilen son indeksten sonraki terimler otomatik olarak sıfırdır.
4. D “Dizi (1,4,9,16) olur; 5 tanım kümesinde bulunmadığı için c_5 sıfır değil tanımsızdır.” kanıtı Dizi kavramıyla açıklanır: Gerçek sayı dizisi, tanım kümesi pozitif doğal sayılar veya onların sonlu bir başlangıç kesimi olan gerçek değerli bir fonksiyondur.
5. E “Dizi (1,4,9,16) olur; 5 tanım kümesinde bulunmadığı için c_5 sıfır değil tanımsızdır.” kanıtı İndirgeme bağıntısı kavramıyla açıklanır: İndirgeme bağıntısı sonraki terimi önceki bir veya birkaç terim üzerinden verir; diziyi tekil belirlemek için gerekli başlangıç terimleri de verilmelidir.

a_1=3 ve a_(n+1)=2a_n dizisinin beşinci terimini bul. İnceleme kaydındaki belirleyici kanıt şudur: Terimler 3,6,12,24,48 olduğundan a_5=48’dir. Karar verirken yalnız anahtar sözcüğü değil; verilen nicelik, işlem, neden-sonuç veya sınır koşulunu İndirgeme bağıntısı odağıyla birlikte sınamak gerekir.

1. A “Terimler 3,6,12,24,48 olduğundan a_5=48’dir.” kanıtı Geometrik dizi kavramıyla açıklanır: Ardışık terimleri arasındaki oran r sabit olan geometrik dizide a_n=a_1*r^(n-1); r farklı 1 ise S_n=a_1(r^n-1)/(r-1) olur.
2. B “Terimler 3,6,12,24,48 olduğundan a_5=48’dir.” kanıtı Aritmetik dizi kavramıyla açıklanır: Ardışık terimleri arasındaki fark 𝑑 sabit olan aritmetik dizide a_n=a_1+(n-1)𝑑 ve S_n=n(a_1+a_n)/2 olur.
3. C “Terimler 3,6,12,24,48 olduğundan a_5=48’dir.” kanıtı Dizi kavramıyla açıklanır: Gerçek sayı dizisi, tanım kümesi pozitif doğal sayılar veya onların sonlu bir başlangıç kesimi olan gerçek değerli bir fonksiyondur.
4. D “Terimler 3,6,12,24,48 olduğundan a_5=48’dir.” kanıtı şu yorumu doğrular: a_(n+1)=2a_n bağıntısında her terime yalnız 2 eklenir.
5. E “Terimler 3,6,12,24,48 olduğundan a_5=48’dir.” kanıtı İndirgeme bağıntısı kavramıyla açıklanır: İndirgeme bağıntısı sonraki terimi önceki bir veya birkaç terim üzerinden verir; diziyi tekil belirlemek için gerekli başlangıç terimleri de verilmelidir.

a_n=2n+1 ve b_n=n+n+1 dizilerini pozitif doğal sayılarda karşılaştır. İnceleme kaydındaki belirleyici kanıt şudur: Her n için b_n=2n+1=a_n olduğundan tanım kümeleri ve karşılık gelen bütün terimler eşittir. Karar verirken yalnız anahtar sözcüğü değil; verilen nicelik, işlem, neden-sonuç veya sınır koşulunu Dizi odağıyla birlikte sınamak gerekir.

1. A “Her n için b_n=2n+1=a_n olduğundan tanım kümeleri ve karşılık gelen bütün terimler eşittir.” kanıtı Geometrik dizi kavramıyla açıklanır: Ardışık terimleri arasındaki oran r sabit olan geometrik dizide a_n=a_1*r^(n-1); r farklı 1 ise S_n=a_1(r^n-1)/(r-1) olur.
2. B “Her n için b_n=2n+1=a_n olduğundan tanım kümeleri ve karşılık gelen bütün terimler eşittir.” kanıtı Dizi kavramıyla açıklanır: Gerçek sayı dizisi, tanım kümesi pozitif doğal sayılar veya onların sonlu bir başlangıç kesimi olan gerçek değerli bir fonksiyondur.
3. C “Her n için b_n=2n+1=a_n olduğundan tanım kümeleri ve karşılık gelen bütün terimler eşittir.” kanıtı şu yorumu doğrular: İlk birkaç terimi aynı olan iki dizi mutlaka bütünüyle eşittir.
4. D “Her n için b_n=2n+1=a_n olduğundan tanım kümeleri ve karşılık gelen bütün terimler eşittir.” kanıtı İndirgeme bağıntısı kavramıyla açıklanır: İndirgeme bağıntısı sonraki terimi önceki bir veya birkaç terim üzerinden verir; diziyi tekil belirlemek için gerekli başlangıç terimleri de verilmelidir.
5. E “Her n için b_n=2n+1=a_n olduğundan tanım kümeleri ve karşılık gelen bütün terimler eşittir.” kanıtı Aritmetik dizi kavramıyla açıklanır: Ardışık terimleri arasındaki fark 𝑑 sabit olan aritmetik dizide a_n=a_1+(n-1)𝑑 ve S_n=n(a_1+a_n)/2 olur.

a_(n+1)=a_n+4 ve a_4=17 veriliyor; a_1’i geriye doğru hesapla. İnceleme kaydındaki belirleyici kanıt şudur: a_3=13, a_2=9, a_1=5 olur; ileri yönde 5,9,13,17 doğrulanır. Karar verirken yalnız anahtar sözcüğü değil; verilen nicelik, işlem, neden-sonuç veya sınır koşulunu İndirgeme bağıntısı odağıyla birlikte sınamak gerekir.

1. A “a_3=13, a_2=9, a_1=5 olur; ileri yönde 5,9,13,17 doğrulanır.” kanıtı Geometrik dizi kavramıyla açıklanır: Ardışık terimleri arasındaki oran r sabit olan geometrik dizide a_n=a_1*r^(n-1); r farklı 1 ise S_n=a_1(r^n-1)/(r-1) olur.
2. B “a_3=13, a_2=9, a_1=5 olur; ileri yönde 5,9,13,17 doğrulanır.” kanıtı Aritmetik dizi kavramıyla açıklanır: Ardışık terimleri arasındaki fark 𝑑 sabit olan aritmetik dizide a_n=a_1+(n-1)𝑑 ve S_n=n(a_1+a_n)/2 olur.
3. C “a_3=13, a_2=9, a_1=5 olur; ileri yönde 5,9,13,17 doğrulanır.” kanıtı İndirgeme bağıntısı kavramıyla açıklanır: İndirgeme bağıntısı sonraki terimi önceki bir veya birkaç terim üzerinden verir; diziyi tekil belirlemek için gerekli başlangıç terimleri de verilmelidir.
4. D “a_3=13, a_2=9, a_1=5 olur; ileri yönde 5,9,13,17 doğrulanır.” kanıtı Dizi kavramıyla açıklanır: Gerçek sayı dizisi, tanım kümesi pozitif doğal sayılar veya onların sonlu bir başlangıç kesimi olan gerçek değerli bir fonksiyondur.
5. E “a_3=13, a_2=9, a_1=5 olur; ileri yönde 5,9,13,17 doğrulanır.” kanıtı şu yorumu doğrular: İndirgeme bağıntısında n her adımda aynı sabit değerde tutulur.

2,5,10,17 terimleri için önerilen a_n=n^2+1 kuralını dört indiste denetle. İnceleme kaydındaki belirleyici kanıt şudur: n=1,2,3,4 için n^2+1 değerleri 2,5,10,17’dir; öneri verilen dört terimle tutarlıdır fakat sonlu veri tek başına benzersizliği kanıtlamaz. Karar verirken yalnız anahtar sözcüğü değil; verilen nicelik, işlem, neden-sonuç veya sınır koşulunu Dizi odağıyla birlikte sınamak gerekir.

1. A “n=1,2,3,4 için n^2+1 değerleri 2,5,10,17’dir; öneri verilen dört terimle tutarlıdır fakat sonlu veri tek başına benzersizliği kanıtlamaz.” kanıtı Geometrik dizi kavramıyla açıklanır: Ardışık terimleri arasındaki oran r sabit olan geometrik dizide a_n=a_1*r^(n-1); r farklı 1 ise S_n=a_1(r^n-1)/(r-1) olur.
2. B “n=1,2,3,4 için n^2+1 değerleri 2,5,10,17’dir; öneri verilen dört terimle tutarlıdır fakat sonlu veri tek başına benzersizliği kanıtlamaz.” kanıtı İndirgeme bağıntısı kavramıyla açıklanır: İndirgeme bağıntısı sonraki terimi önceki bir veya birkaç terim üzerinden verir; diziyi tekil belirlemek için gerekli başlangıç terimleri de verilmelidir.
3. C “n=1,2,3,4 için n^2+1 değerleri 2,5,10,17’dir; öneri verilen dört terimle tutarlıdır fakat sonlu veri tek başına benzersizliği kanıtlamaz.” kanıtı şu yorumu doğrular: Bir terim listesi verildiğinde onu üreten yalnız bir genel terim vardır.
4. D “n=1,2,3,4 için n^2+1 değerleri 2,5,10,17’dir; öneri verilen dört terimle tutarlıdır fakat sonlu veri tek başına benzersizliği kanıtlamaz.” kanıtı Aritmetik dizi kavramıyla açıklanır: Ardışık terimleri arasındaki fark 𝑑 sabit olan aritmetik dizide a_n=a_1+(n-1)𝑑 ve S_n=n(a_1+a_n)/2 olur.
5. E “n=1,2,3,4 için n^2+1 değerleri 2,5,10,17’dir; öneri verilen dört terimle tutarlıdır fakat sonlu veri tek başına benzersizliği kanıtlamaz.” kanıtı Dizi kavramıyla açıklanır: Gerçek sayı dizisi, tanım kümesi pozitif doğal sayılar veya onların sonlu bir başlangıç kesimi olan gerçek değerli bir fonksiyondur.

a_1=1 ve a_(n+1)=a_n+n bağıntısında a_5’i bul. İnceleme kaydındaki belirleyici kanıt şudur: a_2=2, a_3=4, a_4=7, a_5=11; eklenen değerler sırasıyla 1,2,3,4’tür. Karar verirken yalnız anahtar sözcüğü değil; verilen nicelik, işlem, neden-sonuç veya sınır koşulunu İndirgeme bağıntısı odağıyla birlikte sınamak gerekir.

1. A “a_2=2, a_3=4, a_4=7, a_5=11; eklenen değerler sırasıyla 1,2,3,4’tür.” kanıtı şu yorumu doğrular: Sonraki terim biliniyorsa önceki terim hiçbir zaman bulunamaz.
2. B “a_2=2, a_3=4, a_4=7, a_5=11; eklenen değerler sırasıyla 1,2,3,4’tür.” kanıtı Geometrik dizi kavramıyla açıklanır: Ardışık terimleri arasındaki oran r sabit olan geometrik dizide a_n=a_1*r^(n-1); r farklı 1 ise S_n=a_1(r^n-1)/(r-1) olur.
3. C “a_2=2, a_3=4, a_4=7, a_5=11; eklenen değerler sırasıyla 1,2,3,4’tür.” kanıtı Aritmetik dizi kavramıyla açıklanır: Ardışık terimleri arasındaki fark 𝑑 sabit olan aritmetik dizide a_n=a_1+(n-1)𝑑 ve S_n=n(a_1+a_n)/2 olur.
4. D “a_2=2, a_3=4, a_4=7, a_5=11; eklenen değerler sırasıyla 1,2,3,4’tür.” kanıtı Dizi kavramıyla açıklanır: Gerçek sayı dizisi, tanım kümesi pozitif doğal sayılar veya onların sonlu bir başlangıç kesimi olan gerçek değerli bir fonksiyondur.
5. E “a_2=2, a_3=4, a_4=7, a_5=11; eklenen değerler sırasıyla 1,2,3,4’tür.” kanıtı İndirgeme bağıntısı kavramıyla açıklanır: İndirgeme bağıntısı sonraki terimi önceki bir veya birkaç terim üzerinden verir; diziyi tekil belirlemek için gerekli başlangıç terimleri de verilmelidir.