Analitik Düzlemde Temel Dönüşümler — Bölüm 1–2 Kavram Ayrımı

P(-3,4) noktası (5,-2) vektörüyle öteleniyor; iki bileşeni cebirsel olarak hesapla. İnceleme kaydındaki belirleyici kanıt şudur: P’=(-3+5,4-2)=(2,2); P’-P=(5,-2) olduğundan vektör aynen korunur. Karar verirken yalnız anahtar sözcüğü değil; verilen nicelik, işlem, neden-sonuç veya sınır koşulunu Öteleme odağıyla birlikte sınamak gerekir.

1. A “P’=(-3+5,4-2)=(2,2); P’-P=(5,-2) olduğundan vektör aynen korunur.” kanıtı şu yorumu doğrular: Ötelemede yalnız x koordinatı değişir; y koordinatı her zaman sabit kalır.
2. B “P’=(-3+5,4-2)=(2,2); P’-P=(5,-2) olduğundan vektör aynen korunur.” kanıtı Yansıma kavramıyla açıklanır: x eksenine yansımada y, y eksenine yansımada x işaret değiştirir; y=x doğrusuna yansımada koordinatlar yer değiştirir.
3. C “P’=(-3+5,4-2)=(2,2); P’-P=(5,-2) olduğundan vektör aynen korunur.” kanıtı Öteleme kavramıyla açıklanır: Bir noktanın (𝑎,𝑏) vektörüyle ötelenmesinde (x,y) koordinatları (x+𝑎,y+𝑏) olur; uzaklık, açı ve alan korunur.
4. D “P’=(-3+5,4-2)=(2,2); P’-P=(5,-2) olduğundan vektör aynen korunur.” kanıtı Dönüşümlerin bileşkesi kavramıyla açıklanır: Dönüşüm bileşkesinde işlemler yazılan sırayla uygulanır; öteleme, dönme ve yansıma genel olarak değişmeli değildir.
5. E “P’=(-3+5,4-2)=(2,2); P’-P=(5,-2) olduğundan vektör aynen korunur.” kanıtı Dönme kavramıyla açıklanır: Orijin çevresinde saat yönünün tersine 90 derece dönmede (x,y) noktası (-y,x), 180 derecede (-x,-y) olur; merkez farklıysa önce merkez başlangıca taşınır.

P(3,-2) noktasını orijin çevresinde saat yönünün tersine 90 derece döndür. İnceleme kaydındaki belirleyici kanıt şudur: (x,y)→(-y,x) kuralıyla P’=(2,3); her iki noktanın orijine uzaklık karesi 13’tür. Karar verirken yalnız anahtar sözcüğü değil; verilen nicelik, işlem, neden-sonuç veya sınır koşulunu Dönme odağıyla birlikte sınamak gerekir.

1. A “(x,y)→(-y,x) kuralıyla P’=(2,3); her iki noktanın orijine uzaklık karesi 13’tür.” kanıtı Dönüşümlerin bileşkesi kavramıyla açıklanır: Dönüşüm bileşkesinde işlemler yazılan sırayla uygulanır; öteleme, dönme ve yansıma genel olarak değişmeli değildir.
2. B “(x,y)→(-y,x) kuralıyla P’=(2,3); her iki noktanın orijine uzaklık karesi 13’tür.” kanıtı şu yorumu doğrular: Saat yönünün tersine 90 derece dönmede (x,y) noktası (y,-x) olur.
3. C “(x,y)→(-y,x) kuralıyla P’=(2,3); her iki noktanın orijine uzaklık karesi 13’tür.” kanıtı Dönme kavramıyla açıklanır: Orijin çevresinde saat yönünün tersine 90 derece dönmede (x,y) noktası (-y,x), 180 derecede (-x,-y) olur; merkez farklıysa önce merkez başlangıca taşınır.
4. D “(x,y)→(-y,x) kuralıyla P’=(2,3); her iki noktanın orijine uzaklık karesi 13’tür.” kanıtı Yansıma kavramıyla açıklanır: x eksenine yansımada y, y eksenine yansımada x işaret değiştirir; y=x doğrusuna yansımada koordinatlar yer değiştirir.
5. E “(x,y)→(-y,x) kuralıyla P’=(2,3); her iki noktanın orijine uzaklık karesi 13’tür.” kanıtı Öteleme kavramıyla açıklanır: Bir noktanın (𝑎,𝑏) vektörüyle ötelenmesinde (x,y) koordinatları (x+𝑎,y+𝑏) olur; uzaklık, açı ve alan korunur.

𝐴(1,1), 𝐵(5,1), 𝐶(2,4) üçgeninin her köşesine (-2,3) vektörünü uygula. İnceleme kaydındaki belirleyici kanıt şudur: Görüntüler 𝐴’=(-1,4), 𝐵’=(3,4), 𝐶’=(0,7) olur; AB ve 𝐴’𝐵’ uzunlukları 4’tür. Karar verirken yalnız anahtar sözcüğü değil; verilen nicelik, işlem, neden-sonuç veya sınır koşulunu Öteleme odağıyla birlikte sınamak gerekir.

1. A “Görüntüler 𝐴’=(-1,4), 𝐵’=(3,4), 𝐶’=(0,7) olur; AB ve 𝐴’𝐵’ uzunlukları 4’tür.” kanıtı şu yorumu doğrular: (𝑎,𝑏) ile ötelenen (x,y) noktası (ax,by) olur.
2. B “Görüntüler 𝐴’=(-1,4), 𝐵’=(3,4), 𝐶’=(0,7) olur; AB ve 𝐴’𝐵’ uzunlukları 4’tür.” kanıtı Yansıma kavramıyla açıklanır: x eksenine yansımada y, y eksenine yansımada x işaret değiştirir; y=x doğrusuna yansımada koordinatlar yer değiştirir.
3. C “Görüntüler 𝐴’=(-1,4), 𝐵’=(3,4), 𝐶’=(0,7) olur; AB ve 𝐴’𝐵’ uzunlukları 4’tür.” kanıtı Öteleme kavramıyla açıklanır: Bir noktanın (𝑎,𝑏) vektörüyle ötelenmesinde (x,y) koordinatları (x+𝑎,y+𝑏) olur; uzaklık, açı ve alan korunur.
4. D “Görüntüler 𝐴’=(-1,4), 𝐵’=(3,4), 𝐶’=(0,7) olur; AB ve 𝐴’𝐵’ uzunlukları 4’tür.” kanıtı Dönüşümlerin bileşkesi kavramıyla açıklanır: Dönüşüm bileşkesinde işlemler yazılan sırayla uygulanır; öteleme, dönme ve yansıma genel olarak değişmeli değildir.
5. E “Görüntüler 𝐴’=(-1,4), 𝐵’=(3,4), 𝐶’=(0,7) olur; AB ve 𝐴’𝐵’ uzunlukları 4’tür.” kanıtı Dönme kavramıyla açıklanır: Orijin çevresinde saat yönünün tersine 90 derece dönmede (x,y) noktası (-y,x), 180 derecede (-x,-y) olur; merkez farklıysa önce merkez başlangıca taşınır.

Q(-4,1) noktasını orijin çevresinde saat yönünde 90 derece döndür. İnceleme kaydındaki belirleyici kanıt şudur: (x,y)→(y,-x) kuralı Q’=(1,4) verir; 16+1=1+16 olduğundan uzaklık korunur. Karar verirken yalnız anahtar sözcüğü değil; verilen nicelik, işlem, neden-sonuç veya sınır koşulunu Dönme odağıyla birlikte sınamak gerekir.

1. A “(x,y)→(y,-x) kuralı Q’=(1,4) verir; 16+1=1+16 olduğundan uzaklık korunur.” kanıtı şu yorumu doğrular: 180 derece dönmede koordinatlar yer değiştirir fakat işaretleri değişmez.
2. B “(x,y)→(y,-x) kuralı Q’=(1,4) verir; 16+1=1+16 olduğundan uzaklık korunur.” kanıtı Yansıma kavramıyla açıklanır: x eksenine yansımada y, y eksenine yansımada x işaret değiştirir; y=x doğrusuna yansımada koordinatlar yer değiştirir.
3. C “(x,y)→(y,-x) kuralı Q’=(1,4) verir; 16+1=1+16 olduğundan uzaklık korunur.” kanıtı Öteleme kavramıyla açıklanır: Bir noktanın (𝑎,𝑏) vektörüyle ötelenmesinde (x,y) koordinatları (x+𝑎,y+𝑏) olur; uzaklık, açı ve alan korunur.
4. D “(x,y)→(y,-x) kuralı Q’=(1,4) verir; 16+1=1+16 olduğundan uzaklık korunur.” kanıtı Dönüşümlerin bileşkesi kavramıyla açıklanır: Dönüşüm bileşkesinde işlemler yazılan sırayla uygulanır; öteleme, dönme ve yansıma genel olarak değişmeli değildir.
5. E “(x,y)→(y,-x) kuralı Q’=(1,4) verir; 16+1=1+16 olduğundan uzaklık korunur.” kanıtı Dönme kavramıyla açıklanır: Orijin çevresinde saat yönünün tersine 90 derece dönmede (x,y) noktası (-y,x), 180 derecede (-x,-y) olur; merkez farklıysa önce merkez başlangıca taşınır.

y=2x-1 doğrusu (3,-4) vektörüyle öteleniyor; yeni denklemde eski koordinatlar için x=X+3, y=Y-4 dönüşümünü kullan. İnceleme kaydındaki belirleyici kanıt şudur: Y=2X-1 içine X=x-3 ve Y=y+4 yazılınca y+4=2(x-3)-1, dolayısıyla yeni doğru y=2x-11 olur. Karar verirken yalnız anahtar sözcüğü değil; verilen nicelik, işlem, neden-sonuç veya sınır koşulunu Öteleme odağıyla birlikte sınamak gerekir.

1. A “Y=2X-1 içine X=x-3 ve Y=y+4 yazılınca y+4=2(x-3)-1, dolayısıyla yeni doğru y=2x-11 olur.” kanıtı Dönüşümlerin bileşkesi kavramıyla açıklanır: Dönüşüm bileşkesinde işlemler yazılan sırayla uygulanır; öteleme, dönme ve yansıma genel olarak değişmeli değildir.
2. B “Y=2X-1 içine X=x-3 ve Y=y+4 yazılınca y+4=2(x-3)-1, dolayısıyla yeni doğru y=2x-11 olur.” kanıtı şu yorumu doğrular: Negatif öteleme bileşeni koordinatın mutlak değerini artırmak zorundadır.
3. C “Y=2X-1 içine X=x-3 ve Y=y+4 yazılınca y+4=2(x-3)-1, dolayısıyla yeni doğru y=2x-11 olur.” kanıtı Öteleme kavramıyla açıklanır: Bir noktanın (𝑎,𝑏) vektörüyle ötelenmesinde (x,y) koordinatları (x+𝑎,y+𝑏) olur; uzaklık, açı ve alan korunur.
4. D “Y=2X-1 içine X=x-3 ve Y=y+4 yazılınca y+4=2(x-3)-1, dolayısıyla yeni doğru y=2x-11 olur.” kanıtı Dönme kavramıyla açıklanır: Orijin çevresinde saat yönünün tersine 90 derece dönmede (x,y) noktası (-y,x), 180 derecede (-x,-y) olur; merkez farklıysa önce merkez başlangıca taşınır.
5. E “Y=2X-1 içine X=x-3 ve Y=y+4 yazılınca y+4=2(x-3)-1, dolayısıyla yeni doğru y=2x-11 olur.” kanıtı Yansıma kavramıyla açıklanır: x eksenine yansımada y, y eksenine yansımada x işaret değiştirir; y=x doğrusuna yansımada koordinatlar yer değiştirir.

R(5,-3) noktasına orijin çevresinde 180 derece dönme uygula. İnceleme kaydındaki belirleyici kanıt şudur: R’=(-5,3) olur; R ile R’ orta noktası ((5-5)/2,(-3+3)/2)=(0,0) dönme merkezidir. Karar verirken yalnız anahtar sözcüğü değil; verilen nicelik, işlem, neden-sonuç veya sınır koşulunu Dönme odağıyla birlikte sınamak gerekir.

1. A “R’=(-5,3) olur; R ile R’ orta noktası ((5-5)/2,(-3+3)/2)=(0,0) dönme merkezidir.” kanıtı Dönme kavramıyla açıklanır: Orijin çevresinde saat yönünün tersine 90 derece dönmede (x,y) noktası (-y,x), 180 derecede (-x,-y) olur; merkez farklıysa önce merkez başlangıca taşınır.
2. B “R’=(-5,3) olur; R ile R’ orta noktası ((5-5)/2,(-3+3)/2)=(0,0) dönme merkezidir.” kanıtı Öteleme kavramıyla açıklanır: Bir noktanın (𝑎,𝑏) vektörüyle ötelenmesinde (x,y) koordinatları (x+𝑎,y+𝑏) olur; uzaklık, açı ve alan korunur.
3. C “R’=(-5,3) olur; R ile R’ orta noktası ((5-5)/2,(-3+3)/2)=(0,0) dönme merkezidir.” kanıtı Yansıma kavramıyla açıklanır: x eksenine yansımada y, y eksenine yansımada x işaret değiştirir; y=x doğrusuna yansımada koordinatlar yer değiştirir.
4. D “R’=(-5,3) olur; R ile R’ orta noktası ((5-5)/2,(-3+3)/2)=(0,0) dönme merkezidir.” kanıtı şu yorumu doğrular: Dönme merkezi orijin değilse orijin kuralları doğrudan ham koordinatlara uygulanır.
5. E “R’=(-5,3) olur; R ile R’ orta noktası ((5-5)/2,(-3+3)/2)=(0,0) dönme merkezidir.” kanıtı Dönüşümlerin bileşkesi kavramıyla açıklanır: Dönüşüm bileşkesinde işlemler yazılan sırayla uygulanır; öteleme, dönme ve yansıma genel olarak değişmeli değildir.

Merkezi (1,-2), yarıçapı 3 olan çember (-4,5) ile öteleniyor. İnceleme kaydındaki belirleyici kanıt şudur: Yeni merkez (1-4,-2+5)=(-3,3), yarıçap yine 3 ve denklem (x+3)^2+(y-3)^2=9 olur. Karar verirken yalnız anahtar sözcüğü değil; verilen nicelik, işlem, neden-sonuç veya sınır koşulunu Öteleme odağıyla birlikte sınamak gerekir.

1. A “Yeni merkez (1-4,-2+5)=(-3,3), yarıçap yine 3 ve denklem (x+3)^2+(y-3)^2=9 olur.” kanıtı şu yorumu doğrular: Aynı şeklin farklı köşelerine farklı öteleme vektörleri uygulanabilir.
2. B “Yeni merkez (1-4,-2+5)=(-3,3), yarıçap yine 3 ve denklem (x+3)^2+(y-3)^2=9 olur.” kanıtı Dönme kavramıyla açıklanır: Orijin çevresinde saat yönünün tersine 90 derece dönmede (x,y) noktası (-y,x), 180 derecede (-x,-y) olur; merkez farklıysa önce merkez başlangıca taşınır.
3. C “Yeni merkez (1-4,-2+5)=(-3,3), yarıçap yine 3 ve denklem (x+3)^2+(y-3)^2=9 olur.” kanıtı Yansıma kavramıyla açıklanır: x eksenine yansımada y, y eksenine yansımada x işaret değiştirir; y=x doğrusuna yansımada koordinatlar yer değiştirir.
4. D “Yeni merkez (1-4,-2+5)=(-3,3), yarıçap yine 3 ve denklem (x+3)^2+(y-3)^2=9 olur.” kanıtı Öteleme kavramıyla açıklanır: Bir noktanın (𝑎,𝑏) vektörüyle ötelenmesinde (x,y) koordinatları (x+𝑎,y+𝑏) olur; uzaklık, açı ve alan korunur.
5. E “Yeni merkez (1-4,-2+5)=(-3,3), yarıçap yine 3 ve denklem (x+3)^2+(y-3)^2=9 olur.” kanıtı Dönüşümlerin bileşkesi kavramıyla açıklanır: Dönüşüm bileşkesinde işlemler yazılan sırayla uygulanır; öteleme, dönme ve yansıma genel olarak değişmeli değildir.

S(-2,-6) noktasını saat yönünün tersine 270 derece döndür. İnceleme kaydındaki belirleyici kanıt şudur: 270 derece ters yön, (x,y)→(y,-x) kuralını verir; S’=(-6,2) olur. Karar verirken yalnız anahtar sözcüğü değil; verilen nicelik, işlem, neden-sonuç veya sınır koşulunu Dönme odağıyla birlikte sınamak gerekir.

1. A “270 derece ters yön, (x,y)→(y,-x) kuralını verir; S’=(-6,2) olur.” kanıtı Öteleme kavramıyla açıklanır: Bir noktanın (𝑎,𝑏) vektörüyle ötelenmesinde (x,y) koordinatları (x+𝑎,y+𝑏) olur; uzaklık, açı ve alan korunur.
2. B “270 derece ters yön, (x,y)→(y,-x) kuralını verir; S’=(-6,2) olur.” kanıtı Dönme kavramıyla açıklanır: Orijin çevresinde saat yönünün tersine 90 derece dönmede (x,y) noktası (-y,x), 180 derecede (-x,-y) olur; merkez farklıysa önce merkez başlangıca taşınır.
3. C “270 derece ters yön, (x,y)→(y,-x) kuralını verir; S’=(-6,2) olur.” kanıtı şu yorumu doğrular: Dönme açısının saat yönünde veya ters yönde olması sonucu etkilemez.
4. D “270 derece ters yön, (x,y)→(y,-x) kuralını verir; S’=(-6,2) olur.” kanıtı Yansıma kavramıyla açıklanır: x eksenine yansımada y, y eksenine yansımada x işaret değiştirir; y=x doğrusuna yansımada koordinatlar yer değiştirir.
5. E “270 derece ters yön, (x,y)→(y,-x) kuralını verir; S’=(-6,2) olur.” kanıtı Dönüşümlerin bileşkesi kavramıyla açıklanır: Dönüşüm bileşkesinde işlemler yazılan sırayla uygulanır; öteleme, dönme ve yansıma genel olarak değişmeli değildir.

𝐴(-2,0) ve 𝐵(4,6) doğru parçası (1,-3) ile öteleniyor; orta noktaları karşılaştır. İnceleme kaydındaki belirleyici kanıt şudur: İlk orta nokta (1,3), görüntü uçları (-1,-3) ve (5,3), yeni orta nokta (2,0) olup eski orta noktanın (1,-3) ötelenmiş hâlidir. Karar verirken yalnız anahtar sözcüğü değil; verilen nicelik, işlem, neden-sonuç veya sınır koşulunu Öteleme odağıyla birlikte sınamak gerekir.

1. A “İlk orta nokta (1,3), görüntü uçları (-1,-3) ve (5,3), yeni orta nokta (2,0) olup eski orta noktanın (1,-3) ötelenmiş hâlidir.” kanıtı şu yorumu doğrular: Öteleme bir üçgenin kenar uzunluklarını ve alanını değiştirir.
2. B “İlk orta nokta (1,3), görüntü uçları (-1,-3) ve (5,3), yeni orta nokta (2,0) olup eski orta noktanın (1,-3) ötelenmiş hâlidir.” kanıtı Dönüşümlerin bileşkesi kavramıyla açıklanır: Dönüşüm bileşkesinde işlemler yazılan sırayla uygulanır; öteleme, dönme ve yansıma genel olarak değişmeli değildir.
3. C “İlk orta nokta (1,3), görüntü uçları (-1,-3) ve (5,3), yeni orta nokta (2,0) olup eski orta noktanın (1,-3) ötelenmiş hâlidir.” kanıtı Dönme kavramıyla açıklanır: Orijin çevresinde saat yönünün tersine 90 derece dönmede (x,y) noktası (-y,x), 180 derecede (-x,-y) olur; merkez farklıysa önce merkez başlangıca taşınır.
4. D “İlk orta nokta (1,3), görüntü uçları (-1,-3) ve (5,3), yeni orta nokta (2,0) olup eski orta noktanın (1,-3) ötelenmiş hâlidir.” kanıtı Yansıma kavramıyla açıklanır: x eksenine yansımada y, y eksenine yansımada x işaret değiştirir; y=x doğrusuna yansımada koordinatlar yer değiştirir.
5. E “İlk orta nokta (1,3), görüntü uçları (-1,-3) ve (5,3), yeni orta nokta (2,0) olup eski orta noktanın (1,-3) ötelenmiş hâlidir.” kanıtı Öteleme kavramıyla açıklanır: Bir noktanın (𝑎,𝑏) vektörüyle ötelenmesinde (x,y) koordinatları (x+𝑎,y+𝑏) olur; uzaklık, açı ve alan korunur.

𝐶(2,1) merkezi çevresinde P(5,3) noktası 90 derece ters yönde döndürülüyor. İnceleme kaydındaki belirleyici kanıt şudur: P-𝐶=(3,2), dönüşü (-2,3), merkez geri eklenince P’=(0,4) olur; CP ve CP’ uzunlukları √13’tür. Karar verirken yalnız anahtar sözcüğü değil; verilen nicelik, işlem, neden-sonuç veya sınır koşulunu Dönme odağıyla birlikte sınamak gerekir.

1. A “P-𝐶=(3,2), dönüşü (-2,3), merkez geri eklenince P’=(0,4) olur; CP ve CP’ uzunlukları √13’tür.” kanıtı Dönme kavramıyla açıklanır: Orijin çevresinde saat yönünün tersine 90 derece dönmede (x,y) noktası (-y,x), 180 derecede (-x,-y) olur; merkez farklıysa önce merkez başlangıca taşınır.
2. B “P-𝐶=(3,2), dönüşü (-2,3), merkez geri eklenince P’=(0,4) olur; CP ve CP’ uzunlukları √13’tür.” kanıtı Öteleme kavramıyla açıklanır: Bir noktanın (𝑎,𝑏) vektörüyle ötelenmesinde (x,y) koordinatları (x+𝑎,y+𝑏) olur; uzaklık, açı ve alan korunur.
3. C “P-𝐶=(3,2), dönüşü (-2,3), merkez geri eklenince P’=(0,4) olur; CP ve CP’ uzunlukları √13’tür.” kanıtı şu yorumu doğrular: Dönme noktalar arası uzaklığı açı oranında büyütür.
4. D “P-𝐶=(3,2), dönüşü (-2,3), merkez geri eklenince P’=(0,4) olur; CP ve CP’ uzunlukları √13’tür.” kanıtı Yansıma kavramıyla açıklanır: x eksenine yansımada y, y eksenine yansımada x işaret değiştirir; y=x doğrusuna yansımada koordinatlar yer değiştirir.
5. E “P-𝐶=(3,2), dönüşü (-2,3), merkez geri eklenince P’=(0,4) olur; CP ve CP’ uzunlukları √13’tür.” kanıtı Dönüşümlerin bileşkesi kavramıyla açıklanır: Dönüşüm bileşkesinde işlemler yazılan sırayla uygulanır; öteleme, dönme ve yansıma genel olarak değişmeli değildir.